Introducció

En aquest treball presentem un recull d'informació relacionada amb els reticles de subgrups dels grups finits d'ordre menor o igual que 32. La informació que es dóna de cada grup és:

• Un gràfic del reticle de subgrups. Els gràfics s'han generat amb el paquet xGAP del programa GAP versió 4.4.2. Els subgrups normals estan representats per rombes, mentre que la resta per circumferències. Els subgrups conjugats es representen agrupats.

• L'ordre del grup i la posició. Anomenem posició al nombre natural que fa servir el programa GAP per distingir grups finits del mateix ordre.

• El conjunt de classes de conjugació. Associem a cada classe de conjugació el seu cardinal. Designem les classes de conjugació amb un número i una lletra, on el número indica l'ordre dels elements de la classe i la lletra serveix per distingir classes diferents amb elements d'un mateix ordre. En cas que el grup sigui abelià hem suprimit aquesta informació atès que cada element constitueix una classe de conjugació.

• Un polinomi que tingui el grup donat com a grup de Galois. Una bona part d'aquests polinomis els hem obtingut de la pàgina web de Jürgen Klüners i Gunter Malle:

  http://www.mathematik.uni-kassel.de/ klueners/minimum/minimum.html.

  Els polinomis que generen extensions abelianes i que no hem trobat a la web esmentada els hem pogut generar fent servir que aquestes es poden obtenir com subextensions d'extensions ciclotòmiques (que tenen per grup de Galois $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}$ ) i utilitzant l'acció del grup de Galois sobre les arrels n-èsimes de la unitat per construir el polinomi.

Hem decidit no incloure els quocients de Jordan - Hölder, ja que aquests es dedueixen trivialment de la factorització en primers de l'ordre del grup. En efecte, si un grup és resoluble (i el primer grup no resoluble és d'ordre 60), la seva sèrie de composició dóna lloc a quocients abelians simples $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , on $p$ és un divisor primer de l'ordre del grup.

Una de les qüestions que més problemes ha comportat ha estat la de la nomenclatura dels grups. El criteri que hem seguit ha estat el següent:

• Els grups pertanyents a famílies de grups conegudes els hem anomenat segons la taula següent.

  Família grups	Nomenclatura	Ordre
  Cíclics	$C_n$	$n$
  Simètrics	$S_n$	$n!$
  Alternats	$A_n$	$n!/2$
  Diedrals	$D_{2n}$	$2n$
  Quaternions generalitzats	$Q_{2^n}$	$2^n$

  A més hem considerat els grups aïllats $F_{20}$ , $F_{21}$ (grups de Fröbenius d'ordre 20 i 21), $T$ (l'únic grup no abelià d'ordre 12 que no és ni $A_4$ ni $D_{12}$ ).

• Llevat de tres, la resta de grups els hem pogut identificar amb productes directes i semidirectes dels grups del punt anterior. Notem que el producte semidirecte depèn de l'elecció d'un cert morfisme que, en la nostra notació, nosaltres no hem especificat. Aquesta s'ha d'entendre, doncs, com que existeix un tal morfisme que fa vàlid el producte. Els tres restants els hem batejat com $G_{32,8}$ , $G_{32,15}$ i $G_{32,32}$ (nomenclatura que es correspon amb la que fa servir GAP per referir-s'hi).