Exercicis pràctica: INTEGRACIÓ SOBRE SUPERFÍCIES

Exercicis resolts

(A1) Calculeu l'àrea de la cinta de Möbius, parametritzada per
amb domini definit per essent el radi de la circumferència central i l'amplada.
clear
 
R=1; A=0.5;
 
x=@(th,s) (R+s.*cos(th/2)).*cos(th);
y=@(th,s) (R+s.*cos(th/2)).*sin(th);
z=@(th,s) s.*sin(th/2);
 
Dxth=@(th,s) -s/2.*sin(th/2).*cos(th)-(R+s.*cos(th/2)).*sin(th);
Dyth=@(th,s) -s/2.*sin(th/2).*sin(th)+(R+s.*cos(th/2)).*cos(th);
Dzth=@(th,s) s/2.*cos(th/2);
 
Dxs=@(th,s) cos(th/2).*cos(th);
Dys=@(th,s) cos(th/2).*sin(th);
Dzs=@(th,s) sin(th/2);
 
nx=@(th,s) Dyth(th,s).*Dzs(th,s)-Dzth(th,s).*Dys(th,s);
ny=@(th,s) Dzth(th,s).*Dxs(th,s)-Dxth(th,s).*Dzs(th,s);
nz=@(th,s) Dxth(th,s).*Dys(th,s)-Dyth(th,s).*Dxs(th,s);
 
nn=@(th,s) sqrt(nx(th,s).^2+ny(th,s).^2+nz(th,s).^2);
 
area=integral2(nn,0,2*pi,-A/2,A/2);
fprintf('area = %.6f\n',area)
area = 3.149911
Representació gràfica. A més de la superfície, dibuixem també el vector normal sobre punts de la circumferència central, amb la qual cosa constatem que es tracta d'una superfície no orientable.
% rangs de valors dels parametres i xarxa de punts
N1=80; thv=linspace(0,2*pi,N1+1);
N2=10; sv=linspace(-A/2,A/2,N2+1);
[thm,sm]=meshgrid(thv,sv);
xm=x(thm,sm); ym=y(thm,sm); zm=z(thm,sm);
 
% representacio grafica de la superficie
close all
figure, hold on, axis equal
surf(xm,ym,zm)
 
% dibuix de la vora
xc1=x(thv,-A/2); yc1=y(thv,-A/2); zc1=z(thv,-A/2);
plot3(xc1,yc1,zc1,'r','LineWidth',3)
xc2=x(thv,A/2); yc2=y(thv,A/2); zc2=z(thv,A/2);
plot3(xc2,yc2,zc2,'r','LineWidth',3)
% Nota: podem dibuixar la vora com una unica corba, considerant
% per a theta un rang de valors de 0 a 4*pi
 
%vectors normals sobre la circumferencia central (un de cada dos punts)
thv0=linspace(0,2*pi,N1/2+1);
xv0=x(thv0,0); yv0=y(thv0,0); zv0=z(thv0,0);
nxv0=nx(thv0,0); nyv0=ny(thv0,0); nzv0=nz(thv0,0);
quiver3(xv0,yv0,zv0,nxv0,nyv0,nzv0,0.5,'Color','k')
 
view(70,15)
(A2) Calculeu la massa de la superfície del paraboloide hiperbòlic tallada pel cilindre essent si la densitat superficial és proporcional a la distància al pla i essent la constant de proporcionalitat (vegeu els apunts, exemple 22).
clear
 
a=1; k=2;
 
% funcio que defineix la grafica i element de superficie
h=@(x,y) (x.^2-y.^2)/(2*a);
Dhx=@(x,y) x/a; Dhy=@(x,y) -y/a;
nn=@(x,y) sqrt(1+Dhx(x,y).^2+Dhy(x,y).^2);
 
% funcio densitat
rho=@(x,y,z) k*abs(z);
 
% calcul de la integral
% (per simetria, ens restringim al primer quadrant i multipliquem per 4)
g=@(x,y) rho(x,y,h(x,y)).*nn(x,y); %funcio a integrar
gpolars=@(r,th) g(r.*cos(th),r.*sin(th)).*r;
%hem passat a polars i multiplicat pel jacobia
massa=4*integral2(gpolars,0,1,0,pi/2);
fprintf('massa = %.6f\n',massa)
massa = 1.287581
Representació gràfica. La superfície és la part del paraboloide hiperbòlic que es troba a l'interior del cilindre. Comencem dibuixant el paraboloide hiperbòlic sobre el rectangle (que conté el domini), però fent transparent i amb línia de punts la part que no pertany a la superfície. Després dibuixem el cilindre, també transparent i amb línia de punts.
% xarxa de punts sobre el rectangle
N=50; xv=linspace(-1.5*a,1.5*a,N+1); yv=xv;
[xm,ym]=meshgrid(xv,yv);
zm=h(xm,ym);
 
% funcio logica que ens diu si un punt es troba dins el cilindre
chi=@(x,y) ( x.^2+y.^2<=a^2 );
 
% fem una copia zm0 de la matriu zm, a la qual canviem a NaN
% els termes que corresponen a punts del parabolide hiperbolic
% que no pertanyen al cilindre
% (guardem zm per dibuixar el paraboloide sencer)
zm0=zm;
zm0( ~chi(xm,ym) )=NaN;
 
% representem el parabolide hiperbolic dos cops,
% primer usant la matriu zm0, i despres usant la matriu original zm
% pero aquesta darrera amb linies de punts i un grau de transparencia
% definit per 'FaceAlpha'
close all
figure, hold on, axis equal
surf(xm,ym,zm0)
surf(xm,ym,zm,'FaceAlpha',0.2,'LineStyle',':')
 
% dibuixem la vora
N2=100; thv2=linspace(0,2*pi,N2+1);
xc=a*cos(thv2); yc=a*sin(thv2);
zc=h(xc,yc);
plot3(xc,yc,zc,'r','LineWidth',3)
 
% dibuixem el cilindre, tambe amb linies de punts i transparent
xc=@(th,z) a*cos(th); yc=@(th,z) a*sin(th);
N3=20; thcv=linspace(0,2*pi,N3+1);
N4=20; zcv=linspace(-1.5*a,1.5*a,N4+1);
[thcm,zcm]=meshgrid(thcv,zcv);
xcm=xc(thcm,zcm); ycm=yc(thcm,zcm);
surf(xcm,ycm,zcm,'FaceAlpha',0.2,'LineStyle',':')
 
view(25,15)
(A3) Calculeu el flux del camp a través de la superfície helicoidal parametritzada per orientada pel vector normal que té la component vertical positiva en el punt de paràmetres
clear
 
% parametritzacio de la superficie i les seves derivades
x=@(r,th) r.*cos(th); y=@(r,th) r.*sin(th); z=@(r,th) 0.75*th;
Dxr=@(r,th) cos(th); Dyr=@(r,th) sin(th); Dzr=@(r,th) 0;
Dxth=@(r,th) -r.*sin(th); Dyth=@(r,th) r.*cos(th); Dzth=@(r,th) 0.75;
 
% vector normal
nx=@(r,th) Dyr(r,th).*Dzth(r,th)-Dzr(r,th).*Dyth(r,th);
ny=@(r,th) Dzr(r,th).*Dxth(r,th)-Dxr(r,th).*Dzth(r,th);
nz=@(r,th) Dxr(r,th).*Dyth(r,th)-Dyr(r,th).*Dxth(r,th);
 
% camp vectorial
P=@(x,y,z) x.^2+y+z; Q=@(x,y,z) cos(x+z); R=@(x,y,z) y.^2+2*x.*z;
 
% definim la funcio g a integrar i calculem el flux aproximat
g=@(r,th)...
P(x(r,th),y(r,th),z(r,th)).*nx(r,th)...
+Q(x(r,th),y(r,th),z(r,th)).*ny(r,th)...
+R(x(r,th),y(r,th),z(r,th)).*nz(r,th);
flux=integral2(g,0,5,0,2*pi);
 
% calculem el vector normal en el punt (r,theta)=(2.5,pi) per tal
% de verificar-ne l'orientacio i, en cas que no sigui la que es demana,
% canviarem el signe del flux
r0=2.5; th0=pi;
x0=x(r0,th0); y0=y(r0,th0); z0=z(r0,th0);
nx0=nx(r0,th0); ny0=ny(r0,th0); nz0=nz(r0,th0);
if( nz0<0 )
flux=-flux;
end
 
fprintf('flux = %.6f\n',flux)
flux = 504.721963
Representació gràfica.
N1=20; rv=linspace(0,5,N1+1);
N2=40; thv=linspace(0,2*pi,N2+1);
[rm,thm]=meshgrid(rv,thv);
 
xm=x(rm,thm); ym=y(rm,thm); zm=z(rm,thm);
 
close all
figure, hold on, axis equal
surf(xm,ym,zm)
 
view(10,30)
 
% representem el vector normal nomes en el punt (r,theta)=(2.5,pi)
% per tal de verificar-ne l'orientacio
% (com podem veure, ja tenia l'orientacio demanada)
quiver3(x0,y0,z0,nx0,ny0,nz0,'Color','r')
(A4) Calculeu el flux del camp a través del tros del paraboloide el·líptic limitat pels plans orientat de manera que la tercera component del seu vector normal sigui positiva.
clear
 
% la superficie es una grafica z=z(x,y), definim aquesta funcio
% i les seves derivades parcials
z=@(x,y) 2*x.^2+y.^2;
Dzx=@(x,y) 4*x; Dzy=@(x,y) 2*y;
 
% camp vectorial
P=@(x,y) x.*y.^2; Q=@(x,y) -2*x.^2.*y; R=@(x,y) x.^2+y.^2;
 
% definim la funcio a integrar com a producte escalar del vector F=(P,Q,R)
% pel vector normal (-Dzx,-Dzy,1), el qual te l'orientacio demanada
g=@(x,y) -P(x,y).*Dzx(x,y)-Q(x,y).*Dzy(x,y)+R(x,y);
ymax=@(x) 1-x;
flux=integral2(g,0,1,0,ymax);
fprintf('flux = %.6f\n',flux) %(el valor exacte es 1/6)
flux = 0.166667
Representació gràfica. Es tracta de dibuixar la part de la gràfica de la funció que es troba sobre el triangle Usarem el quadrat auxiliar i una funció lògica que ens dirà si un punt donat d'aquest quadrat pertany o no a
% discretitzacio del domini dels parametres
N=50; xv=linspace(0,1,N+1); yv=xv;
[xm,ym]=meshgrid(xv,yv);
 
% funció logica
chi=@(x,y) ( x>=0 & y>=0 & x+y<=1 );
 
% trobem la coordenada z dels punts de la superficie discretitzada
% i la redefinim com a NaN fora del domini
zm=z(xm,ym);
zm( ~chi(xm,ym) )=NaN;
 
% dibuix de la superfície
close all
figure, hold on, axis equal
surf(xm,ym,zm)
 
view(65,40)
 
% dibuix de la part x=0 del contorn
xc1=0*yv; yc1=yv;
zc1=z(xc1,yc1);
plot3(xc1,yc1,zc1,'r','LineWidth',3)
 
% dibuix de la part y=0 del contorn
xc2=xv; yc2=0*xv;
zc2=z(xc2,yc2);
plot3(xc2,yc2,zc2,'r','LineWidth',3)
 
% dibuix de la part x+y=1 del contorn
xc3=xv; yc3=1-xv;
zc3=z(xc3,yc3);
plot3(xc3,yc3,zc3,'r','LineWidth',3)
(A5) Calculeu el moment d'inèrcia respecte l'eix z de la superfície definida per prenent el valor i suposant que la densitat és (exercici relacionat amb el problema 22 de la llista).
Aquesta superfície, que és una part de la frontera del sòlid de Steinmetz, és formada per dos trossos i que formen part del cilindre i vénen parametritzats per amb dominis i respectivament.
Recordem la fórmula del moment d'inèrcia respecte l'eix vertical: Tant la superfície com la funció a integrar presenten una simetria, en canviar y per Per aquest motiu, calcularem el moment d'inèrcia del tros i multiplicarem per 2.
clear
 
A=1.5;
 
x=@(th,z1) A*cos(th); y=@(th,z1) A*sin(th); z=@(th,z1) z1;
Dxth=@(th,z1) -A*sin(th); Dyth=@(th,z1) A*cos(th); Dzth=@(th,z1) 0;
Dxz=@(th,z1) 0; Dyz=@(th,z1) 0; Dzz=@(th,z1) 1;
% tot i que no es estrictament necessari, hem diferenciat entre
% la component z de la parametritzacio (que hem anomenat 'z')
% i el parametre z (que hem anomenat 'z1')
 
nx=@(th,z1) Dyth(th,z1).*Dzz(th,z1)-Dzth(th,z1).*Dyz(th,z1);
ny=@(th,z1) Dzth(th,z1).*Dxz(th,z1)-Dxth(th,z1).*Dzz(th,z1);
nz=@(th,z1) Dxth(th,z1).*Dyz(th,z1)-Dyth(th,z1).*Dxz(th,z1);
 
nn=@(th,z1) sqrt(nx(th,z1).^2+ny(th,z1).^2+nz(th,z1).^2);
% de fet, podiem haver escrit directament "nn=@(th,z1) A;",
% que es l'element de superficie del cilindre, prou conegut
 
rho=@(x,y,z) x.^4+y.^2;
 
g=@(th,z1)...
(x(th,z1).^2+y(th,z1).^2).*rho(x(th,z1),y(th,z1),z(th,z1)).*nn(th,z1);
 
zmin=@(th) -A*sin(th);
zmax=@(th) A*sin(th);
Iz=2*integral2(g,0,pi,zmin,zmax);
fprintf('Iz = %.6f\n',Iz)
Iz = 101.756250
Representació gràfica. Començarem dibuixant dins de la porció de cilindre Després hi afegirem aprofitant la simetria. També dibuixarem una porció del cilindre per tal de situar millor la superfície.
% rangs de valors dels parametres i xarxa de punts
N1=60; thv=linspace(0,2*pi,N1+1);
N2=50; zv=linspace(-2*A,2*A,N2+1);
[thm,zm]=meshgrid(thv,zv);
xm=x(thm,zm); ym=y(thm,zm);
 
% funcio logica corresponent a S1
chi=@(x,y,z) ( x.^2+z.^2<=A^2 & y>=0 );
 
% redefinim una copia de la matriu zm, per a S1
zm0=zm;
zm0( ~chi(xm,ym,zm) )=NaN;
 
% dibuix de S1, S2 i els dos cilindres
% (notem que podem dibuixar el cilindre horitzontal a partir del vertical,
% simplement intercanviant les coordenades y,z)
close all
figure, hold on, axis equal
surf(xm,ym,zm0) %dibuix de S1
surf(xm,-ym,zm0) %dibuix de S2
surf(xm,ym,zm,'FaceAlpha',0.05,'LineStyle',':') %cilindre vertical
surf(xm,zm,ym,'FaceAlpha',0.05,'LineStyle',':') %cilindre horitzontal
 
view(120,10)
 
% dibuix de les vores de S1 i S2
zc=A*sin(thv); xc=x(thv,zc); yc=y(thv,zc);
plot3(xc,yc,-zc,'r','LineWidth',3) %vora inferior de S1
plot3(xc,yc,zc,'r','LineWidth',3) %vora superior de S1
plot3(xc,-yc,-zc,'r','LineWidth',3) %vora inferior de S2
plot3(xc,-yc,zc,'r','LineWidth',3) %vora superior de S2
Si considerem tota la frontera del sòlid de Steinmetz tenim una superfície formada per 4 trossos, dos dels quals són els i que ja hem dibuixat, i els altres dos trossos i juguen un paper simètric als dos primers, simplement intercanviant les coordenades y i Així doncs, podem afegir els trossos que falten a partir de les matrius xm, ym i zm0 que ja tenim.
surf(xm,zm0,ym)
surf(xm,zm0,-ym)
(A6) Sigui i sigui la superfície definida per i orientada segons el vector normal que té la tercera component positiva. Calculeu el flux del camp de vectors a través de de dues maneres:   (a) usant la definició de flux;   (b) aplicant el teorema de Gauss al sòlid
Com a domini de prenem el quadrat ja que si pertany a D i si no pertany a
clear
 
% comencem definint la funcio h(x,y) i les seves derivades parcials
h=@(x,y) x.*(1-x).*y.*(1-y);
Dhx=@(x,y) (1-2*x).*y.*(1-y); Dhy=@(x,y) x.*(1-x).*(1-2*y);
(a)
% camp vectorial F=(P,Q,R)
P=@(x,y,z) x.*z; Q=@(x,y,z) y.*z; R=@(x,y,z) z.^2;
 
% funcio a integrar, com a producte escalar del camp vectorial,
% avaluat sobre cada punt (x,y,h(x,y)) de la grafica,
% pel vector normal (-Dzx,-Dzy,1), el qual te l'orientacio demanada
g=@(x,y) -P(x,y,h(x,y)).*Dhx(x,y)-Q(x,y,h(x,y)).*Dhy(x,y)+R(x,y,h(x,y));
 
% calculem el flux com la integral de sobre el domini D=[0,1]x[0,1]
flux1=integral2(g,0,1,0,1);
fprintf('flux1 = %.6f\n',flux1) %(el valor exacte es 1/450)
flux1 = 0.002222
(b) Per completar la frontera de afegim la tapa Notem que el flux de a través de la tapa és ja que Com que la orientació que ens demanen per a és l'exterior al sòlid pel teorema de Gauss podem calcular el flux com la integral triple de sobre usant la funció integral3 del Matlab.
divF=@(x,y,z) 4*z;
flux2=integral3(divF,0,1,0,1,0,h);
fprintf('flux2 = %.6f\n',flux2)
flux2 = 0.002222
Representació gràfica.
N=30; xv=linspace(0,1,N+1); yv=xv;
[xm,ym]=meshgrid(xv,yv);
zm=h(xm,ym);
 
close all
figure, hold on
% suprimim "axis equal" ja que el rang de valors [0,0.0625] de z
% es petit comparat amb el rang de valors [0,1] de x,y
surf(xm,ym,zm)
view(-20,60)
(A7) Sigui C la circumferència de de centre i radi continguda al pla vertical Fent girar aquesta circumferència al voltant de l'eix obtenim com a superfície de revolució un tor. Sigui S la porció d'aquest tor definida per orientada pel vector normal en el punt Donat el camp vectorial calculeu el flux de a través de S amb l'orientació indicada, de dues maneres:   (a) aplicant el teorema de Stokes (vegeu Examen Parcial 21-22 Q1);   (b) usant la definició de flux.
(a) Per aplicar el teorema de Stokes, observem que la vora de S està formada per dues circumferències. Una d'elles és la pròpia corba generatriu i l'altra es troba sobre el pla Comencem definint parametritzacions de les dues corbes, després definim les components del camp vectorial i, finalment, calculem el flux com a suma de dues circulacions (tenint en compte si les parametritzacions de les dues corbes s'orienten de manera compatible amb l'orientació de ).
clear
 
% primera corba (la corba generatriu)
x1=@(t) 3+cos(t); y1=@(t) 0; z1=@(t) sin(t); %orientacio no compatible
Dx1=@(t) -sin(t); Dy1=@(t) 0; Dz1=@(t) cos(t);
 
% segona corba
x2=@(t) 0; y2=@(t) 3+cos(t); z2=@(t) sin(t); %orientacio compatible
Dx2=@(t) 0; Dy2=@(t) -sin(t); Dz2=@(t) cos(t);
 
% camp vectorial
P=@(x,y,z) x.^2.*z; Q=@(x,y,z) -2*y.^2.*z; R=@(x,y,z) x.*y;
 
% funcions a integrar (entre 0 i 2*pi)
h1=@(t) P(x1(t),y1(t),z1(t)).*Dx1(t)+Q(x1(t),y1(t),z1(t)).*Dy1(t)...
+R(x1(t),y1(t),z1(t)).*Dz1(t);
h2=@(t) P(x2(t),y2(t),z2(t)).*Dx2(t)+Q(x2(t),y2(t),z2(t)).*Dy2(t)...
+R(x2(t),y2(t),z2(t)).*Dz2(t);
 
% calcul del flux com a suma de les dues circulacions
% (canviem el signe de la primera, perque l'orientacio no es compatible
% amb la de la superficie)
flux1=-integral(h1,0,2*pi)+integral(h2,0,2*pi);
fprintf('flux1 = %.6f\n',flux1) %(el valor exacte es 111*pi/4)
flux1 = 87.179196
(b) L'orientació de S és la normal exterior. A partir de la parametritzacó de la corba generatriu definim la parametrització de la superfície Després calculem el vector normal associat a aquesta parametrització com a producte vectorial de les derivades parcials, el qual podem comprovar que té l'orientació demanada.
% parametritzacio de la superficie
x=@(th,t) x1(t).*cos(th);
y=@(th,t) x1(t).*sin(th);
z=@(th,t) z1(t);
 
% derivades parcials de la parametritzacio
Dxth=@(th,t) -x1(t).*sin(th);
Dyth=@(th,t) x1(t).*cos(th);
Dzth=@(th,t) 0;
 
Dxt=@(th,t) Dx1(t).*cos(th);
Dyt=@(th,t) Dx1(t).*sin(th);
Dzt=@(th,t) Dz1(t);
 
% vector normal
nx=@(th,t) Dyth(th,t).*Dzt(th,t)-Dzth(th,t).*Dyt(th,t);
ny=@(th,t) Dzth(th,t).*Dxt(th,t)-Dxth(th,t).*Dzt(th,t);
nz=@(th,t) Dxth(th,t).*Dyt(th,t)-Dyth(th,t).*Dxt(th,t);
Ara definim les components de i en calculem el flux com una integral doble sobre el domini
Prot=@(x,y,z) x+2*y.^2; Qrot=@(x,y,z) x.^2-y; Rrot=@(x,y,z) 0;
 
g=@(th,t)...
Prot(x(th,t),y(th,t),z(th,t)).*nx(th,t)...
+Qrot(x(th,t),y(th,t),z(th,t)).*ny(th,t)...
+Rrot(x(th,t),y(th,t),z(th,t)).*nz(th,t);
 
flux2=integral2(g,0,pi/2,0,2*pi);
fprintf('flux2 = %.6f\n',flux2)
flux2 = 87.179196
Representació gràfica.
N1=15; thv=linspace(0,pi/2,N1+1);
N2=40; tv=linspace(0,2*pi,N2+1);
[thm,tm]=meshgrid(thv,tv);
xm=x(thm,tm); ym=y(thm,tm); zm=z(thm,tm);
 
close all
figure, hold on, axis equal
surf(xm,ym,zm,'LineStyle',':')
view(-20,30)
 
xc1=x1(tv); yc1=0*tv; zc1=z1(tv);
plot3(xc1,yc1,zc1,'r','LineWidth',2)
 
xc2=0*tv; yc2=y2(tv); zc2=z2(tv);
plot3(xc2,yc2,zc2,'r','LineWidth',2)
 
th0=pi/4; t0=pi/2;
x0=x(th0,t0); y0=y(th0,t0); z0=z(th0,t0);
nx0=nx(th0,t0); ny0=ny(th0,t0); nz0=nz(th0,t0);
quiver3(x0,y0,z0,nx0,ny0,nz0,0.5,...
'Color','k','LineWidth',2,'MaxHeadSize',0.8)
 
x01=x1(pi/2); y01=y1(pi/2); z01=z1(pi/2);
tx01=Dx1(pi/2); ty01=Dy1(pi/2); tz01=Dz1(pi/2);
quiver3(x01,y01,z01,-tx01,-ty01,-tz01,1.25,...
'Color','b','LineWidth',2,'MaxHeadSize',1)
 
x02=x2(pi/2); y02=y2(pi/2); z02=z2(pi/2);
tx02=Dx2(pi/2); ty02=Dy2(pi/2); tz02=Dz2(pi/2);
quiver3(x02,y02,z02,tx02,ty02,tz02,1.25,...
'Color','b','LineWidth',2,'MaxHeadSize',1)

Altres exercicis

(B1) Considereu la superfície parametritzada quan els paràmetres es mouen en el conjunt Calculeu el flux del camp a través d'aquesta superfície, orientada de manera que la primera component del seu vector normal en el punt sigui positiva.
[ Solució: ]
(B2) Calculeu l'àrea de la porció del semicilindre definit per continguda a la semiesfera de dues maneres:   (a) parametritzant el semicilindre com una gràfica;   (b) com una integral sobre una corba (àrea d'una tanca)   (exercici relacionat amb el problema 25 de la llista).
[ Solució: ]
(B3) Calculeu la massa de la superfície d'equació definida sobre el domini si la densitat en cada punt ve donada per la seva distància a l'origen.
[ Solució: ]
(B4) Calculeu la massa total del tros de l'esfera limitat pels plans i que es troba al semiespai sabent que la seva densitat superficial és
[ Solució: ]
(B5) Donat el quart de cilindre el·líptic calculeu la circulació del camp vectorial al llarg de la vora orientada de manera que el segment de a es recorri en sentit ascendent, de dues maneres:   (a) usant la definició de circulació;   (b) aplicant el teorema de Stokes.
[ Solució: ]
(B6) Calculeu el flux del camp de vectors a través de l'octant positiu de l'esfera de radi 1 centrada a l'origen, de dues maneres:   (a) usant la definició de flux;   (b) aplicant el teorema de Gauss a l'octant sòlid.
[ Solució: ]
(B7) La superfície S formada per la revolució al voltant de l'eix z de la corba ha estat considerada un bon model de la forma d'un ou de gallina [enllaç]. Per a podem escriure la corba generatriu C en la forma
(podeu representar gràficament la corba generatriu C i la superfície S per veure que és un model raonable, si més no a simple vista).
Es demana calcular el flux a través de orientada segons la normal exterior, del camp de dues maneres:   (a) usant la definició de flux;   (b) aplicant el teorema de Gauss al sòlid W tancat per
Aprofitant els codis ja fets, calculeu també l'àrea de S i el volum de
[ Solució: flux àrea volum ]
(B8) Calculeu el flux del camp vectorial a través de la superfície d'equació limitada per i orientada pel vector normal de component vertical positiva.
[ Solució: ]