Exercicis pràctica: INTEGRACIÓ SOBRE CORBES
Exercicis resolts
(A1) Per a un filferro (homogeni), en forma d'hèlix "el·líptica" parametritzada per 
i temperatura en cada punt donada per la funció 
calculeu la temperatura mitjana aplicant el mètode dels trapezis amb 
i temperatura en cada punt donada per la funció calculeu la temperatura mitjana aplicant el mètode dels trapezis amb clear
x=@(t) 2*cos(t); y=@(t) sin(t); z=@(t) t;
Dx=@(t) -2*sin(t); Dy=@(t) cos(t); Dz=@(t) 1+0*t;
T=@(x,y,z) x.^2+y.^2+z.^2;
N=50; tv=linspace(0,2*pi,N+1);
xv=x(tv); yv=y(tv); zv=z(tv);
Dxv=Dx(tv); Dyv=Dy(tv); Dzv=Dz(tv);
ntv=sqrt(Dxv.^2+Dyv.^2+Dzv.^2);
longaprox=trapz(tv,ntv);
Tv=T(xv,yv,zv);
gv=Tv.*ntv;
intaprox=trapz(tv,gv);
mitjanaaprox=intaprox/longaprox;
fprintf('mitjanaaprox = %.6f\n',mitjanaaprox)
(A2) Calculeu la massa de la porció del foli de Descartes, parametritzada per 
i amb densitat lineal 
usant quadratura adaptativa.
i amb densitat lineal usant quadratura adaptativa.clear
x=@(t) 3*t./(1+t.^3); y=@(t) 3*t.^2./(1+t.^3);
Dx=@(t) 3*(1-2*t.^3)./(1+t.^3).^2; Dy=@(t) 3*(2*t-t.^4)./(1+t.^3).^2;
nt=@(t) sqrt(Dx(t).^2+Dy(t).^2);
rho=@(x,y) x.^2+y.^2;
g=@(t) rho(x(t),y(t)).*nt(t);
massa=integral(g,0,1);
fprintf('massa = %.6f\n',massa)
(A3) Calculeu la circulació del camp vectorial 
al llarg de l'el·lipse 
recorreguda en sentit antihorari, aplicant el mètode dels trapezis amb 
al llarg de l'el·lipse recorreguda en sentit antihorari, aplicant el mètode dels trapezis amb clear
x=@(t) 3*cos(t); y=@(t) 2*sin(t);
Dx=@(t) -3*sin(t); Dy=@(t) 2*cos(t);
P=@(x,y) y+cos(x.^2);
Q=@(x,y) 0+0*x;
N=20; tv=linspace(0,2*pi,N+1);
xv=x(tv); yv=y(tv);
Dxv=Dx(tv); Dyv=Dy(tv);
Pv=P(xv,yv);
Qv=Q(xv,yv);
gv=Pv.*Dxv+Qv.*Dyv;
intaprox=trapz(tv,gv);
fprintf('intaprox = %.6f\n',intaprox)
(A4) Si calculem el treball efectuat pel camp de forces 
sobre una partícula que es mou al llarg de la corba 
aplicant el mètode dels trapezis amb 
i 
obtenim uns valors 
i 
respectivament. Calculeu 
sobre una partícula que es mou al llarg de la corba aplicant el mètode dels trapezis amb i obtenim uns valors i respectivament. Calculeu clear
x=@(t) cos(t.^2); y=@(t) sin(t.^2); z=@(t) t.^2;
Dx=@(t) -2*t.*sin(t.^2); Dy=@(t) 2*t.*cos(t.^2); Dz=@(t) 2*t;
P=@(x,y,z) cos(y-z);
Q=@(x,y,z) x.^2+sin(y);
R=@(x,y,z) 3*x-cos(2*z.^2);
N=[400,1000];
for i=1:2
tv=linspace(0,1,N(i)+1);
xv=x(tv); yv=y(tv); zv=z(tv);
Dxv=Dx(tv); Dyv=Dy(tv); Dzv=Dz(tv);
Pv=P(xv,yv,zv);
Qv=Q(xv,yv,zv);
Rv=R(xv,yv,zv);
gv=Pv.*Dxv+Qv.*Dyv+Rv.*Dzv;
intaprox(i)=trapz(tv,gv);
end
Delta=intaprox(2)-intaprox(1);
fprintf('Delta = %.6e\n',Delta)
(A5) Considereu la corba de 
parametritzada com 
Calculant sobre ella la circulació del camp de vectors 
per als valors 
i 
usant quadratura adaptativa, obtenim uns resultats 
i 
respectivament. Quant val la diferència 
?
parametritzada com Calculant sobre ella la circulació del camp de vectors per als valors i usant quadratura adaptativa, obtenim uns resultats i respectivament. Quant val la diferència ?clear
x=@(t) t.^2; y=@(t) 1./(1+t); z=@(t) cos(t);
Dx=@(t) 2*t; Dy=@(t) -1./(1+t).^2; Dz=@(t) -sin(t);
P=@(t,a) 1+a*x(t).*y(t).*z(t);
Q=@(t,a) 1./(a+x(t).*y(t)+x(t).*z(t)+y(t).*z(t));
R=@(t,a) exp(a*x(t).*y(t).*z(t));
a=0.9;
g1=@(t) P(t,a).*Dx(t)+Q(t,a).*Dy(t)+R(t,a).*Dz(t);
circ1=integral(g1,0,1);
a=1.0;
g2=@(t) P(t,a).*Dx(t)+Q(t,a).*Dy(t)+R(t,a).*Dz(t);
circ2=integral(g2,0,1);
Delta=circ2-circ1;
fprintf('Delta = %.6e\n',Delta)
Altres exercicis
(B1) Calculeu la massa d'una espira de l'hèlix de radi 
i alçària 
parametritzada per 
si la densitat en cada punt és proporcional a la distància a l'origen, essent 
la constant de proporcionalitat. Utilitzeu 
divisions i la regla dels trapezis per aproximar la integral.
i alçària parametritzada per si la densitat en cada punt és proporcional a la distància a l'origen, essent la constant de proporcionalitat. Utilitzeu divisions i la regla dels trapezis per aproximar la integral.[ Solució: 
]
](B2) Calculeu la circulació del camp 
al llarg de la corba parametritzada per 
amb 
essent 
i 
Utilitzeu subintervals i la regla dels trapezis per aproximar la integral.
al llarg de la corba parametritzada per amb essent i Utilitzeu subintervals i la regla dels trapezis per aproximar la integral.[ Solució: 
]
](B3) Calculeu la mitjana de la coordenada y al llarg de la trajectòria 
essent 
i 
usant quadratura adaptativa.
essent i usant quadratura adaptativa.[ Solució: 
]
](B4) Calculeu la circulació del camp vectorial 
al llarg del segment que va des del punt 
fins al punt 
essent 
i 
Useu subintervals i la regla dels trapezis.
al llarg del segment que va des del punt fins al punt essent i Useu subintervals i la regla dels trapezis.[ Solució: 
]
](B5) Calculeu el treball realitzat per la força 
sobre una partícula que es mou al llarg de la corba 
mitjançant trapezis amb 
subintervals. Preneu els valors 
i 
sobre una partícula que es mou al llarg de la corba mitjançant trapezis amb subintervals. Preneu els valors i [ Solució: 
]
](B6) Calculeu la circulació del camp vectorial 
essent 
al llarg de la semiel·lipse 
essent 
recorreguda en sentit antihorari, mitjançant trapezis amb 
subintervals.
essent al llarg de la semiel·lipse essent recorreguda en sentit antihorari, mitjançant trapezis amb subintervals.[ Solució: 
]
](B7) Considereu la corba plana 
(és el quart d'una el·lipse) i suposeu que sobre ella hem construït una tanca d'alçària variable 
Prenent 
i 
calculeu l'àrea d'aquesta tanca utilitzant quadratura adaptativa.
(és el quart d'una el·lipse) i suposeu que sobre ella hem construït una tanca d'alçària variable Prenent i calculeu l'àrea d'aquesta tanca utilitzant quadratura adaptativa.[ Solució: 
]
](B8) Calculeu el treball realitzat per la força 
on 
sobre una partícula que es mou al llarg de la corba 
aplicant el mètode dels trapezis amb
on sobre una partícula que es mou al llarg de la corba aplicant el mètode dels trapezis amb [ Solució: 
]
](B9) Per calcular la massa d'un filferro donat per 
essent 
amb densitat 
essent 
utilitzem la regla dels trapezis amb 
i 
subintervals, obtenint uns resultats 
i 
respectivament. Quant val la diferència 
?
essent amb densitat essent utilitzem la regla dels trapezis amb i subintervals, obtenint uns resultats i respectivament. Quant val la diferència ?[ Solució: 
]
](B10) Calculeu la circulació del camp 
al llarg de la corba parametritzada per 
amb 
essent 
i 
Utilitzeu subintervals i la regla dels trapezis per aproximar la integral.
al llarg de la corba parametritzada per amb essent i Utilitzeu subintervals i la regla dels trapezis per aproximar la integral.[ Solució: 
]
](B11) Calculeu l'àrea de la tanca que té com a base la corba expressada en coordenades polars per 
essent on l'angle θ pertany a 
i l'alçària ve donada per 
Useu trapezis amb subintervals.
essent on l'angle θ pertany a i l'alçària ve donada per Useu trapezis amb subintervals.[ Solució: 
]
](B12) Calculeu la circulació del camp 
al llarg de la corba parametritzada per 
amb 
essent 
i 
Utilitzeu subintervals i la regla dels trapezis per aproximar la integral.
al llarg de la corba parametritzada per amb essent i Utilitzeu subintervals i la regla dels trapezis per aproximar la integral.[ Solució: 
]
](B13) Calculeu la circulació del camp vectorial 
al llarg de la corba plana expressada en polars per 
amb 
recorreguda en sentit antihorari, essent 
i 
usant quadratura adaptativa.
al llarg de la corba plana expressada en polars per amb recorreguda en sentit antihorari, essent i usant quadratura adaptativa.[ Solució: 
]
](B14) Trobeu el treball realitzat pel camp 
al llarg del quart d'astroide "el·líptic" 
si 
i 
usant quadratura adaptativa.
al llarg del quart d'astroide "el·líptic" si i usant quadratura adaptativa.[ Solució: 
]
](B15) Useu quadratura adaptativa per tal de calcular la coordenada x del centre de masses d'una espira de l'hèlix de radi R i alçària 
parametritzada per 
si la densitat en cada punt és proporcional a la distància a l'origen. Preneu 
i 
parametritzada per si la densitat en cada punt és proporcional a la distància a l'origen. Preneu i [ Solució: 
]
](B16) Calculeu la longitud de la corba de Viviani de radi 
(obtinguda tallant una esfera de radi 
amb un cilindre de radi R que passa pel centre de l'esfera), que té la parametrització 
utilitzant quadratura adaptativa.
(obtinguda tallant una esfera de radi amb un cilindre de radi R que passa pel centre de l'esfera), que té la parametrització utilitzant quadratura adaptativa.[ Solució: 
]
](B17) Calculeu l'àrea de la tanca de base la corba donada en polars per 
amb 
i alçària 
essent 
i Utilitzeu subintervals i la regla dels trapezis per aproximar la integral.
amb i alçària essent i Utilitzeu subintervals i la regla dels trapezis per aproximar la integral.[ Solució: 
]
]