Pràctica: RESOLUCIÓ SIMBÒLICA D'EDOs

Podem trobar la solució analítica o simbòlica d'algunes EDOs usant la funció de Matlab dsolve. Vegem-ne alguns exemples.

(1) Trobem la solució general de l' EDO de primer ordre

syms x(t) %definim x(t) com a funcio simbolica

Dx=diff(x,t); %derivada (una altra funcio simbolica)

eq= Dx==t^3-5*t*x; %EDO a resoldre

xsol=dsolve(eq) %solucio general, que depen d'una constant arbitraria

xsol =

Afegim, a l'EDO anterior, la condició inicial

i trobem la solució del PVI. Per a la solució obtinguda, calculem

(com a expressió simbòlica i després el seu valor numèric).

ci= x(0)==2; %condicio inicial

xsol1=dsolve(eq,ci) %solucio del PVI

xsol1 =

xx=subs(xsol1,t,3/2) %substituim t per 3/2 a la solucio obtinguda

xx =

xxnum=eval(xx) %valor numeric de l'expressio anterior

xxnum = 0.3775

(2) Podem fer dependre l'EDO o la condició inicial d'algun paràmetre, que definirem com a variable simbòlica. Com a exemple, resolem el PVI

en funció del paràmetre

Després, fixem el valor

syms x(t)

Dx=diff(x,t);

syms a %variable simbolica

eq= Dx==a*x+exp(t); %EDO depenent d'un parametre a

ci= x(0)==2;

xsol=dsolve(eq) %solucio depenent del parametre

xsol =

xsolsimp=simplify(xsol) %sovint cal simplificar les solucions obtingudes

xsolsimp =

xsolsimp1=subs(xsolsimp,a,5) %podem fixar un valor concret del parametre

xsolsimp1 =

És possible que la solució obtinguda no tingui sentit per alguns valors del paràmetre, com a l'exemple anterior quan

En aquest cas caldria fer la substitució abans de resoldre l'EDO, i podem veure que la solució és d'un altre tipus.

eq1=subs(eq,a,1);

xsol2=dsolve(eq1,ci) %resolem la nova EDO amb la mateixa condicio inicial

xsol2 =

(3) Resolem el PVI següent per a una EDO de segon ordre

syms x(t)

Dx=diff(x,t);

D2x=diff(x,t,2); %derivada segona

eq= t^2*D2x-t*Dx+x==0;

ci1= x(1)==2;

ci2= Dx(1)==-1;

xsol=dsolve(eq,ci1,ci2)

xsol =

(4) Resolem el PVI següent per a un sistema d'EDOs,

(un focus atractor) i representem la corba solució

per a

syms x(t) y(t) %dues funcions simboliques

Dx=diff(x,t);

Dy=diff(y,t);

eq1= Dx==2*x-6*y;

eq2= Dy==3*x-4*y;

ci1= x(0)==1;

ci2= y(0)==-5;

Xsol=dsolve(eq1,eq2,ci1,ci2); %es crea una estructura Xsol amb camps x,y

xsol=Xsol.x %primer camp de l'estructura Xsol

xsol =

ysol=Xsol.y %segon camp de l'estructura Xsol

ysol =

close all %tanquem figures anteriors (optatiu)

figure %nova figura

tv=0:0.01:4; %rang de valors de t

xv=subs(xsol,tv); %substituim t pel rang de valors tv

yv=subs(ysol,tv);

plot(xv,yv)

________