Exercicis pràctica: DETERMINACIÓ D'ESDEVENIMENTS EN EDOs

Exercicis resolts

[ Nota: Trobareu les funcions auxiliars condicioA1, condicioA2... al final de tot. ]
(A1) Sigui la solució de l'equació del pèndol amb fricció amb condicions inicials (angle i velocitat angular) Calculeu l'angle que forma el pèndol amb la posició vertical després de 3 oscil·lacions completes.
clear
 
P=@(x,y) y;
Q=@(x,y) -sin(x)-0.1*y;
F=@(t,X) [P(X(1),X(2));Q(X(1),X(2))];
 
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
opcions=odeset(opcions,'Events',@condicioA1);
 
t0=0; X0=[pi/2,0];
tf=25; %cal escollir un temps prou gran
[t,X,te,Xe]=ode45(F,[t0,tf],X0,opcions);
 
angle=Xe(4,1); %descartem la primera fila ja que correspon a t=0
fprintf('angle = %.6f\n',angle)
angle = 0.540842
(A2) Sigui la solució de l'EDO de primer ordre amb condició inicial Trobeu l'instant t en què la gràfica de talla la circumferència
clear
 
f=@(t,x) t^3-x^2;
 
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
opcions=odeset(opcions,'Events',@condicioA2);
 
t0=0; x0=1;
tf=5; %cal escollir un temps prou gran
[t,x,te,xe]=ode45(f,[t0,tf],x0,opcions);
 
temps=te(1);
fprintf('temps = %.6f\n',temps)
temps = 1.963027
(A3) Sigui la solució del sistema amb les condicions inicials Per al primer instant en què la solució talla el pla calculeu la distància del punt de tall a l'eix
clear
 
P=@(x,y,z) cos(y);
Q=@(x,y,z) exp(-x);
R=@(x,y,z) 1+cos(x.*y);
F=@(t,X) [P(X(1),X(2),X(3));Q(X(1),X(2),X(3));R(X(1),X(2),X(3))];
 
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
opcions=odeset(opcions,'Events', @condicioA3);
 
t0=0; X0=[0,0,0];
tf=2;
[t,X,te,Xe]=ode45(F,[t0,tf],X0,opcions);
 
x1=Xe(1,1);
y1=Xe(1,2);
dist=sqrt(x1^2+y1^2);
fprintf('distancia = %.6f\n',dist)
distancia = 0.626883
(A4) Sigui la solució del sistema (no autònom) amb les condicions inicials Trobeu el primer instant t en què la distància a l'origen assoleix el seu primer màxim local. [ Ind.: useu que on P i Q són les components del camp vectorial. ]
clear
 
P=@(t,x,y) -0.5*x+2*y-0.02*x.*y;
Q=@(t,x,y) -x+(1+sin(t)).*y;
F=@(t,X) [P(t,X(1),X(2));Q(t,X(1),X(2))];
 
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
opcions=odeset(opcions,'Events', @(t,X) condicioA4(t,X,P,Q));
%la funcio 'condicio' tambe depen de P i Q, pero els fixem
%per tenir una funcio nomes de (t,X)
t0=0; X0=[-5,1];
tf=8; %cal escollir un temps prou gran pero no massa
[t,X,te,Xe]=ode45(F,[t0,tf],X0,opcions);
 
temps=te(1);
fprintf('temps = %.6f\n',temps)
temps = 3.293479
 
close all
figure
hold on
axis equal
plot(X(:,1),X(:,2)) %dibuix de l'orbita
plot(Xe(1,1),Xe(1,2),'r*') %marquem el punt trobat

Altres exercicis

(B1) Sigui la solució de l'equació del pèndol amb fricció essent i partint de la posició vertical i amb velocitat angular inicial Quin és el primer instant T en què el pèndol es troba en posició vertical i amb velocitat angular (en valor absolut) més petita que ?
[ Solució: ]
(B2) Sigui la solució del PVI essent i Aquest sistema és un focus. Un cop la solució ha donat una volta sencera a l'origen (és a dir, torna a tallar el semieix x positiu), assoleix un punt Calculeu el valor de
Comprovació: on α i β són les parts real i imaginària dels valors propis de la matriu del sistema.
[ Solució: ]
(B3) Sigui la solució del PVI Aquest sistema és un centre i, per tant, l'òrbita recorreguda és una el·lipse (centrada a l'origen). Trobeu-ne la longitud i el pendent dels seus semieixos. [ Ind.: en una el·lipse, els semieixos (que són ortogonals) corresponen a punts de màxima i mínima distància al seu centre. ]
[ Solució: semieixos i pendents i ]
(B4) Sigui la solució del sistema lineal 5D homogeni atractor amb les condicions inicials Trobeu el primer instant t en què la funció assoleix el valor [ Nota: aquest sistema modelitza la neteja dels cinc Grans Llacs (Superior, Michigan, Huron, Erie i Ontario), i estem calculant el temps necessari perquè la concentració de contaminant al darrer llac (Ontario) es redueixi a la meitat. ]
[ Solució: ]
(B5) Considerem el model SIR que descriu la proporció (sobre 1) d'individus susceptibles (S), infectats (I) i recuperats (R) durant una epidèmia. Aquest model ve donat pel sistema autònom no lineal on són paràmetres. Suposem que tenim i Si comencem amb els valors trobeu l'instant en què la proporció de recuperats iguala la de susceptibles,
[ Solució: ]
(B6) Sigui la solució de l'EDO de segon ordre amb les condicions inicials essent i Sabent que és periòdica, trobeu-ne el període.
[ Solució: ]
(B7) La trajectòria al pla d'una massa puntual sotmesa a la gravetat i amb un coeficient de fricció ve modelitzada pel sistema 2D de segon ordre on y és la coordenada vertical. Donades les les condicions inicials trobeu el temps que triga la massa a caure al terra, és a dir, el primer instant en què val zero.
[ Solució: ]
(B8) Sigui la solució del sistema no lineal essent amb les condicions inicials Aquest sistema modelitza les trajectòries d'uns platihelmints que volen apropar-se a un llum i es mouen a velocitat v dins d'un recipient cilíndric de radi 1 que gira amb velocitat angular Trobeu el primer instant t en què la distància a l'origen assoleix el seu primer màxim local (vegeu el problema 52 de la llista). [ Ind.: useu que on P i Q són les components del camp vectorial. ]
Comprovació: tots els màxims i mínims locals estan situats sobre la circumfèrencia de centre i radi per a tota velocitat v tal que
[ Solució: ]
(B9) Donada l'equació del pèndol amb fricció essent i sigui la solució que compleix les condicions inicials (angle i velocitat angular) L'angle inicial correspon a la posició vertical inferior, i la velocitat inicial és suficient perquè el pèndol sobrepassi la posició vertical superior. Si són els primers instants en què la velocitat assoleix un mínim i un màxim, trobeu els angles i en aquests instants. Representeu l'òrbita i els punts trobats, al pla de coordenades
Comprovació: en un mínim o màxim, l'acceleració és 0 i per tant la component tangencial del pes s'equilibra amb la força de fricció: noteu que quan hi ha fricció el mínim i el màxim no corresponen a les posicions verticals de pèndol, de fet tenim
[ Solució: mínim màxim ]

Funcions auxiliars

function [expr,aturar,signe]=condicioA1(t,X)
expr=X(2);
aturar=0;
signe=-1;
end
 
function [expr,aturar,signe]=condicioA2(t,x)
expr=t^2+x^2-9;
aturar=0;
signe=1;
end
 
function [expr,aturar,signe]=condicioA3(t,X)
expr=X(3)-1;
aturar=0;
signe=0;
end
 
function [expr,aturar,signe]=condicioA4(t,X,P,Q)
%afegim P i Q com a variables addicionals per tal que
%es reconeguin dins la funcio 'condicio'
expr=X(1)*P(t,X(1),X(2))+X(2)*Q(t,X(1),X(2));
aturar=0;
signe=-1;
end