Exercicis pràctica: RESOLUCIÓ NUMÈRICA D'EDOs
Exercicis resolts
(A1) Donat el PVI 
siguin A i B els valors aproximats de 
i 
obtinguts aplicant el mètode d'Euler amb pas d'integració 
Calculeu la diferència 
siguin A i B els valors aproximats de i obtinguts aplicant el mètode d'Euler amb pas d'integració Calculeu la diferència clear
f=@(t,x) t-x.^2;
t0=0; x0=1;
tf=2;
h=0.05;
N=(tf-t0)/h;
[t,x]=odeEuler(f,[t0,tf],x0,h);
A=x(N/2+1);
B=x(N+1);
dif=B-A;
fprintf('dif = %.6f\n',dif)
(A2) Calculeu el valor de 
si apliquem el mètode ode45 al PVI 
si apliquem el mètode ode45 al PVI clear
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
f=@(t,x) sin(x+2*t.^3);
t0=0; x0=0;
tf=5;
[t,x]=ode45(f,[t0,tf],x0,opcions);
xf=x(end);
fprintf('xf = %.6f\n',xf)
(A3) Donat el PVI següent per a una EDO de segon ordre, 
aplicant el mètode ode45 calculeu el quocient 
aplicant el mètode ode45 calculeu el quocient clear
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
P=@(x,y) y;
Q=@(x,y) -y/2+cos(x);
F=@(t,X) [P(X(1),X(2));Q(X(1),X(2))];
t0=0; X0=[2,-1];
tf=3;
[t,X]=ode45(F,[t0,tf],X0,opcions);
x=X(:,1); y=X(:,2);
quocient=y(end)/x(end);
fprintf('quocient = %.6f\n',quocient)
(A4) Considereu el PVI següent, per a una EDO de tercer ordre no autònoma 
Usant ode45, calculeu la suma 
Usant ode45, calculeu la suma clear
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
P=@(t,x,y,z) y;
Q=@(t,x,y,z) z;
R=@(t,x,y,z) z-2*y+5*x+sin(t);
F=@(t,X) [P(t,X(1),X(2),X(3));Q(t,X(1),X(2),X(3));R(t,X(1),X(2),X(3))];
t0=0; X0=[1,2,-1];
tf=1;
[t,X]=ode45(F,[t0,tf],X0,opcions);
x=X(:,1); y=X(:,2); z=X(:,3);
suma=x(end)+y(end)+z(end);
fprintf('suma = %.6f\n',suma)
(A5) Representeu al pla 
les solucions del sistema d'EDOs 
amb diferents condicions inicials:
les solucions del sistema d'EDOs amb diferents condicions inicials:
Aquestes solucions són òrbites periòdiques. Visualitzeu-ho amd ode45, escollint un temps final 
prou gran.
prou gran.clear
close all %(optatiu)
figure
hold on
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
P=@(x,y) y-y.^2;
Q=@(x,y) x-x.^2;
F=@(t,X) [P(X(1),X(2));Q(X(1),X(2))];
t0=0;
X0=[0.2,0.1; 0.1,0.2; 0.7,0; 0,0.7];
nci=size(X0,1);
tf=12;
%hem anat provant diferents valors de tf fins que amb tf=12
%ja visualitzem que les 4 solucions son periodiques
for i=1:nci
[t,X]=ode45(F,[t0,tf],X0(i,:),opcions);
plot(X(:,1),X(:,2))
end
axis equal
xlabel('x'), ylabel('y')
fprintf('tf = %.2f\n',tf)
(A6) Sigui 
la solució del sistema d'EDOs no autònomes 
amb les condicions inicials 
Usant ode45, calculeu la distància del punt 
a l'origen.
la solució del sistema d'EDOs no autònomes amb les condicions inicials Usant ode45, calculeu la distància del punt a l'origen.clear
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
P=@(t,x,y) t.*sin(x.^2)-y;
Q=@(t,x,y) x-t;
F=@(t,X) [P(t,X(1),X(2));Q(t,X(1),X(2))];
t0=3; X0=[1,-2];
tf=7;
[t,X]=ode45(F,[t0,tf],X0,opcions);
dist=sqrt(X(end,1)^2+X(end,2)^2);
fprintf('dist = %.6f\n',dist)
Altres exercicis
(B1) Considereu el sistema 
on totes les solucions són T-periòdiques, amb període 
Sigui 
la solució que satisfà 
Donat 
calculeu el valor de 
usant ode45.
on totes les solucions són T-periòdiques, amb període Sigui la solució que satisfà Donat calculeu el valor de usant ode45.[ Solució: 
]
](B2) Sigui 
la solució del sistema 3D d'EDOs no lineals 
tal que 
Aquest sistema modelitza l'evolució de les concentracions de tres productes en una reacció química, essent 
unes constants de proporcionalitat. Calculeu una aproximació de 
amb ode45 quan 
i 
(vegeu el problema 51 de la llista).
la solució del sistema 3D d'EDOs no lineals tal que Aquest sistema modelitza l'evolució de les concentracions de tres productes en una reacció química, essent unes constants de proporcionalitat. Calculeu una aproximació de amb ode45 quan i (vegeu el problema 51 de la llista).Comprovació: 
ja que la suma de concentracions es conserva.
ja que la suma de concentracions es conserva.[ Solució: 
]
](B3) Sigui 
la solució de l'equació del pèndol sense fricció, 
tal que 
(el coeficient 
depèn de la longitud del pèndol). Calculeu una aproximació de 
amb ode45 quan 
la solució de l'equació del pèndol sense fricció, tal que (el coeficient depèn de la longitud del pèndol). Calculeu una aproximació de amb ode45 quan Comprovació: 
per conservació de l'energia total.
per conservació de l'energia total.[ Solució: 
]
](B4) Sigui la solució del sistema 2D d'EDOs no lineals 
tal que 
Aquest sistema modelitza les trajectòries d'uns platihelmints, on el paràmetre v és la velocitat dels platihelmints (
). Calculeu una aproximació de 
amb ode45 quan 
(vegeu el problema 52 de la llista).
la solució del sistema 2D d'EDOs no lineals tal que Aquest sistema modelitza les trajectòries d'uns platihelmints, on el paràmetre v és la velocitat dels platihelmints (). Calculeu una aproximació de amb ode45 quan (vegeu el problema 52 de la llista).Comprovació: 
que és punt d'equilibri atractor.
que és punt d'equilibri atractor.[ Solució: 
]
](B5) Donat el PVI 
essent 
i 
calculem aproximacions de i 
aplicant el mètode d'Euler amb pas d'integració 
i 
respectivament. Doneu el valor aproximat que obtenim per a 
essent i calculem aproximacions de i aplicant el mètode d'Euler amb pas d'integració i respectivament. Doneu el valor aproximat que obtenim per a [ Solució: 
]
](B6) Sigui 
la solució de l'EDO no lineal de segon ordre 
tal que 
Aquesta equació modelitza el moviment d'una vela solar, essent 
una constant de proporcionalitat que depèn de la massa i de la mida de la vela. Calculeu una aproximació de 
amb ode45 quan 
(vegeu el problema 48 de la llista).
la solució de l'EDO no lineal de segon ordre tal que Aquesta equació modelitza el moviment d'una vela solar, essent una constant de proporcionalitat que depèn de la massa i de la mida de la vela. Calculeu una aproximació de amb ode45 quan (vegeu el problema 48 de la llista).[ Solució: 
]
](B7) Sigui el PVI 
amb les condicions inicials 
i el valor del paràmetre 
Usant ode45, quant val 
?
amb les condicions inicials i el valor del paràmetre Usant ode45, quant val ?[ Solució: 
]
](B8) La solució del PVI 
és periòdica. Si T és el seu període, useu ode45 per trobar el nombre natural N tal que 
i representeu gràficament la solució al pla 
és periòdica. Si T és el seu període, useu ode45 per trobar el nombre natural N tal que i representeu gràficament la solució al pla [ Solució: 
]
]
(B9) Considerem el model SIR que descriiu la proporció (sobre 1) d'individus susceptibles (S), infectats (I) i recuperats (R) durant una epidèmia. Aquest model ve donat pel sistema autònom no lineal 
on 
són paràmetres. Suposem que tenim 
i 
Si comencem amb els valors 
quina és la proporció de recuperats 
a l'instant de temps 
? Dibuixeu les gràfiques de les funcions 
on són paràmetres. Suposem que tenim i Si comencem amb els valors quina és la proporció de recuperats a l'instant de temps ? Dibuixeu les gràfiques de les funcions [ Solució: 
]
]
(B10) Sigui el PVI 
on prenem Aplicant el mètode d'Euler amb pas d'integració 
doneu el valor aproximat de 
on prenem Aplicant el mètode d'Euler amb pas d'integració doneu el valor aproximat de [ Solució: 
]
](B11) Sigui el PVI 
essent Usant ode45, quant val 
?
essent Usant ode45, quant val ?[ Solució: 
]
]