Exercicis pràctica: EVOLUCIÓ D'UNA ÀREA EN UN SISTEMA 2D
Exercicis resolts
(A1) Considereu el sistema següent, que correspon a un pèndol amb fricció,
Prenem com a condicions inicials tots els punts de l'el·lipse de centre 
i semieixos 
parametritzada per
i semieixos parametritzada per
Integrant amb ode45 des de 
fins a 
calculeu per quin factor s'ha multiplicat la longitud de la corba de punts finals respecte la longitud de l'el·lipse inicial, usant la regla dels trapezis amb 
subintervals per a calcular les longituds. [ Nota: com que el camp vectorial té divergència negativa, l'àrea encerclada per una corba tancada disminueix, però això pot no ser cert per a la longitud. ]
fins a calculeu per quin factor s'ha multiplicat la longitud de la corba de punts finals respecte la longitud de l'el·lipse inicial, usant la regla dels trapezis amb subintervals per a calcular les longituds. [ Nota: com que el camp vectorial té divergència negativa, l'àrea encerclada per una corba tancada disminueix, però això pot no ser cert per a la longitud. ]clear
P=@(x,y) y;
Q=@(x,y) -sin(x)-0.1*y;
F=@(t,X) [P(X(1),X(2));Q(X(1),X(2))];
c=[0,2]; a=0.1; b=0.2;
N=100;
h=2*pi/N;
s=(0:h:2*pi)';
X0=[c(1)+a*cos(s),c(2)+b*sin(s)];
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
tf=5;
Xf=zeros(N+1,2);
for i=1:N+1
[t,X]=ode45(F,[0,tf],X0(i,:),opcions);
Xf(i,:)=X(end,:);
end
DX0=[-a*sin(s),b*cos(s)];
normaDX0=sqrt(DX0(:,1).^2+DX0(:,2).^2);
L0=trapz(s,normaDX0);
DXf=zeros(N+1,2);
for i=2:N
DXf(i,:)=(Xf(i+1,:)-Xf(i-1,:))/(2*h);
end
DXf(1,:)=(Xf(2,:)-Xf(N,:))/(2*h);
DXf(N+1,:)=DXf(1,:);
normaDXf=sqrt(DXf(:,1).^2+DXf(:,2).^2);
Lf=trapz(s,normaDXf);
factor=Lf/L0;
fprintf('factor = %.6f\n',factor)
(A2) Considereu el camp vectorial 
i el seu sistema d'EDOs associat. Calculeu la circulació de 
al llarg de la trajectòria del sistema 
que compleix la condició inicial 
aplicant el mètode d'Euler i després la regla dels trapezis, les dues coses amb subintervals. [ Ind.: en aquest cas no cal usar derivació numèrica per a calcular 
ja que aquestes derivades vénen donades pel propi sistema d'EDOs. ]
i el seu sistema d'EDOs associat. Calculeu la circulació de al llarg de la trajectòria del sistema que compleix la condició inicial aplicant el mètode d'Euler i després la regla dels trapezis, les dues coses amb subintervals. [ Ind.: en aquest cas no cal usar derivació numèrica per a calcular ja que aquestes derivades vénen donades pel propi sistema d'EDOs. ]clear
P=@(x,y) -3*x+exp(x-y.^2);
Q=@(x,y) y+cos(x);
F=@(t,X) [P(X(1),X(2));Q(X(1),X(2))];
t0=0; tf=4;
X0=[1,0];
N=100;
h=(tf-t0)/N;
[t,X]=odeEuler(F,[t0,tf],X0,h);
for i=1:N+1
DX(i,:)=F(t(i),X(i,:));
g(i)=dot(F(t(i),X(i,:)),DX(i,:));
end
circulacio=trapz(t,g);
fprintf('circulacio = %.6f\n',circulacio)
(A3) Considerem el sistema d'EDOs
i prenem com a condicions inicials 
qualsevol punt de la circumferència 
Usant ode45, integrem el sistema d'EDOs des de fins a 
Calculeu la mitjana de la coordenada y sobre la corba dels punts finals, si apliquem la regla dels trapezis amb 
subintervals.
qualsevol punt de la circumferència Usant ode45, integrem el sistema d'EDOs des de fins a Calculeu la mitjana de la coordenada y sobre la corba dels punts finals, si apliquem la regla dels trapezis amb subintervals.clear
P=@(x,y) 1-y^2;
Q=@(x,y) x.^2;
F=@(t,X) [P(X(1),X(2));Q(X(1),X(2))];
N=400;
h=2*pi/N;
s=(0:h:2*pi)';
X0=[cos(s),sin(s)];
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
tf=1.5;
Xf=zeros(N+1,2);
for i=1:N+1
[t,X]=ode45(F,[0,tf],X0(i,:),opcions);
Xf(i,:)=X(end,:);
end
DXf=zeros(N+1,2);
for i=2:N
DXf(i,:)=(Xf(i+1,:)-Xf(i-1,:))/(2*h);
end
DXf(1,:)=(Xf(2,:)-Xf(N,:))/(2*h);
DXf(N+1,:)=DXf(1,:);
normaDXf=sqrt(DXf(:,1).^2+DXf(:,2).^2);
Lf=trapz(s,normaDXf);
yf=Xf(:,2);
g=yf.*normaDXf;
intyf=trapz(s,g);
mitjana=intyf/Lf;
fprintf('mitjana = %.6f\n',mitjana)
(A4) Donat el sistema d'EDOs
imposem condicions inicials 
prenent valors 
amb un increment 
i integrem fins a 
Trobeu s per tal que el valor de 
sigui mínim.
prenent valors amb un increment i integrem fins a Trobeu s per tal que el valor de sigui mínim.clear
P=@(x,y) -x+sin(y);
Q=@(x,y) y-cos(x.^2);
F=@(t,X) [P(X(1),X(2));Q(X(1),X(2))];
h=0.005;
N=2/h;
s=(-1:h:1)';
X0=[s,0*s];
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
tf=4;
Xf=zeros(N+1,2);
for i=1:N+1
[t,X]=ode45(F,[0,tf],X0(i,:),opcions);
Xf(i,:)=X(end,:);
end
[ymin,i]=min(Xf(:,2));
smin=s(i);
fprintf('smin = %.2f\n',smin)
(A5) Considereu el sistema 
(lineal no homogeni a coeficients variables), donat per
(lineal no homogeni a coeficients variables), donat per
Prenem condicions inicials al triangle de vèrtexs 
Integrant des de fins a 
calculeu per quin factor s'ha multiplicat l'àrea del triangle final respecte l'àrea del triangle inicial. [ Ind.: com que en un sistema lineal les rectes es transformen en rectes, i per tant els triangles en triangles, només cal trobar els punts finals per als 3 vèrtexs del triangle, i aplicar la fórmula de l'àrea del triangle. ]
Integrant des de fins a calculeu per quin factor s'ha multiplicat l'àrea del triangle final respecte l'àrea del triangle inicial. [ Ind.: com que en un sistema lineal les rectes es transformen en rectes, i per tant els triangles en triangles, només cal trobar els punts finals per als 3 vèrtexs del triangle, i aplicar la fórmula de l'àrea del triangle. ]Comprovació: per la fórmula de Liouville, el quocient entre les dues àrees és 
clear
A=@(t) [sin(t),t/2; 3*exp(-t),0];
b=@(t) [-t.*cos(t); 1];
F=@(t,X) A(t)*X+b(t);
%definicio alternativa:
% P=@(t,x,y) sin(t).*x+t/2.*y-t.*cos(t);
% Q=@(t,x,y) 3*exp(-t).*x+1;
% F=@(t,X) [P(t,X(1),X(2));Q(t,X(1),X(2))];
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
tf=2;
X0=[1,0; 0,1; -0.5,0];
Xf=zeros(3,2);
for i=1:3
[t,X]=ode45(F,[0,tf],X0(i,:),opcions);
Xf(i,:)=X(end,:);
end
area0=1/2*det([X0(2,:)-X0(1,:);X0(3,:)-X0(1,:)]);
areaf=1/2*det([Xf(2,:)-Xf(1,:);Xf(3,:)-Xf(1,:)]);
factor=areaf/area0;
fprintf('factor = %.6f\n',factor)
% comprovacio:
factorexacte=exp(-cos(tf)+1); %formula de Liouville
dif=factor-factorexacte;
fprintf('\ncomprovacio: dif = %.4e\n',dif)
Altres exercicis
(B1) Sigui 
l'evolució del segment 
pel sistema del pèndol sense fricció 
durant l'interval de temps 
amb 
Calculeu 
on 
són valors entre 1 i 4 amb un increment 
usant la instrucció ode45. Després, trobeu el paràmetre s que correspon al punt de 
més proper al punt 
(és a dir, a la posició d'equilibri superior).
l'evolució del segment pel sistema del pèndol sense fricció durant l'interval de temps amb Calculeu on són valors entre 1 i 4 amb un increment usant la instrucció ode45. Després, trobeu el paràmetre s que correspon al punt de més proper al punt (és a dir, a la posició d'equilibri superior).Comprovació: avaluant l'energia 
sobre les components del punt obtingut 
tindrem 
que és l'energia del punt 
sobre les components del punt obtingut tindrem que és l'energia del punt [ Solució: 
]
](B2) Considereu el camp vectorial 
i el seu sistema d'EDOs associat. Calculeu la circulació de al llarg de la trajectòria del sistema 
amb t entre 0 i 
que compleix la condició inicial 
aplicant el mètode d'Euler i després la regla dels trapezis, ambdós amb 
intervals. Preneu 
i 
i el seu sistema d'EDOs associat. Calculeu la circulació de al llarg de la trajectòria del sistema amb t entre 0 i que compleix la condició inicial aplicant el mètode d'Euler i després la regla dels trapezis, ambdós amb intervals. Preneu i [ Solució: 
]
](B3) Sigui 
la solució periòdica del sistema depredador-presa 
tal que 
i 
essent 
Volem calcular una aproximació del període 
del qual sabem que 
Calculeu la solució amb la instrucció ode45 (amb tolerància 
per a l'error absolut i relatiu) durant un interval de temps 
La instrucció ode45 ens dóna un vector columna t amb tots els instants en què tenim la solució aproximada. Busqueu l'instant 
amb 
per al qual la solució és més a prop de la posició inicial 
Llavors tenim 
la solució periòdica del sistema depredador-presa tal que i essent Volem calcular una aproximació del període del qual sabem que Calculeu la solució amb la instrucció ode45 (amb tolerància per a l'error absolut i relatiu) durant un interval de temps La instrucció ode45 ens dóna un vector columna t amb tots els instants en què tenim la solució aproximada. Busqueu l'instant amb per al qual la solució és més a prop de la posició inicial Llavors tenim [ Solució: 
]
](B4) Considereu el sistema 
Considereu l'el·lipse de centre 
i semieixos a i parametritzada per 
Prenem punts equiespaiats en s sobre l'el·lipse com a condicions inicials i integrem el sistema per a temps entre i 
Tenim l'àrea inicial 
limitada per l'el·lipse, i la final 
limitada pels punts a temps 
Calculeu el quocient 
Preneu 
Considereu l'el·lipse de centre i semieixos a i parametritzada per Prenem punts equiespaiats en s sobre l'el·lipse com a condicions inicials i integrem el sistema per a temps entre i Tenim l'àrea inicial limitada per l'el·lipse, i la final limitada pels punts a temps Calculeu el quocient Preneu [ Solució: 
]
](B5) Considereu el sistema d'EDOs 
i preneu com a condicions inicials qualsevol punt de l'el·lipse de centre 
i semieixos 
amb parametrització 
amb 
Usant ode45 integreu el sistema d'EDOs des de fins a Calculeu la suma de la mitjana de les coordenades x i y sobre la corba de punts finals, si apliquem la regla dels trapezis amb 
intervals. Preneu 
i preneu com a condicions inicials qualsevol punt de l'el·lipse de centre i semieixos amb parametrització amb Usant ode45 integreu el sistema d'EDOs des de fins a Calculeu la suma de la mitjana de les coordenades x i y sobre la corba de punts finals, si apliquem la regla dels trapezis amb intervals. Preneu [ Solució: 
]
](B6) Considereu el sistema d'EDOs 
i preneu com a condicions inicials qualsevol punt del tros de recta que uneix els punts 
i 
parametritzada per 
amb s entre 1 i 
Usant ode45 integreu el sistema d'EDOs des de fins a Calculeu la mitjana de la coordenada x sobre la corba de punts finals, si apliquem la regla dels trapezis amb 
intervals. Preneu 
i 
[ Ind.: com que no tenim una corba tancada, per poder calcular numèricament la derivada als extrems haurem de considerar valors de s entre 
i 
essent 
]
i preneu com a condicions inicials qualsevol punt del tros de recta que uneix els punts i parametritzada per amb s entre 1 i Usant ode45 integreu el sistema d'EDOs des de fins a Calculeu la mitjana de la coordenada x sobre la corba de punts finals, si apliquem la regla dels trapezis amb intervals. Preneu i [ Ind.: com que no tenim una corba tancada, per poder calcular numèricament la derivada als extrems haurem de considerar valors de s entre i essent ][ Solució: 
]
](B7) Considereu el sistema d'EDOs 
i preneu com a condicions inicials qualsevol punt de la circumferència de centre 
i radi 
parametritzada per 
amb s entre 0 i 
Usant ode45, integreu el sistema des de fins a 
obtenint així una nova corba. Aixequem, sobre la nova corba, una tanca d'alçària definida per la funció 
Aplicant trapezis amb intervals, calculeu-ne l'àrea. Preneu els valors 
i preneu com a condicions inicials qualsevol punt de la circumferència de centre i radi parametritzada per amb s entre 0 i Usant ode45, integreu el sistema des de fins a obtenint així una nova corba. Aixequem, sobre la nova corba, una tanca d'alçària definida per la funció Aplicant trapezis amb intervals, calculeu-ne l'àrea. Preneu els valors [ Solució: 
]
](B8) Sigui 
la solució periòdica del pèndol sense fricció 
tal que 
i 
essent 
Volem calcular una aproximació del període del qual sabem que Per la simetria de les solucions, és suficient buscar el semiperíode 
Calculeu la solució amb la instrucció ode45 (amb tolerància per a l'error absolut i relatiu) durant un interval de temps 
La instrucció ode45 ens dóna un vector columna t amb tots els instants on tenim la solució aproximada. Busqueu l'instant amb 
en què el pèndol és més a prop de l'angle oposat a l'inicial, és a dir, busqueu 
tal que 
Llavors el període és 
la solució periòdica del pèndol sense fricció tal que i essent Volem calcular una aproximació del període del qual sabem que Per la simetria de les solucions, és suficient buscar el semiperíode Calculeu la solució amb la instrucció ode45 (amb tolerància per a l'error absolut i relatiu) durant un interval de temps La instrucció ode45 ens dóna un vector columna t amb tots els instants on tenim la solució aproximada. Busqueu l'instant amb en què el pèndol és més a prop de l'angle oposat a l'inicial, és a dir, busqueu tal que Llavors el període és Comprovació: 
[ Solució: 
]
](B9) Donat el sistema d'EDOs 
preneu com a condicions inicials punts sobre el segment parametritzat per 
amb 
amb increment 
Utilitzeu ode45 per obtenir numèricament la solució per a cada 
per a temps entre i 
Trobeu el màxim dels valors de 
obtinguts d'aquesta manera.
preneu com a condicions inicials punts sobre el segment parametritzat per amb amb increment Utilitzeu ode45 per obtenir numèricament la solució per a cada per a temps entre i Trobeu el màxim dels valors de obtinguts d'aquesta manera.[ Solució: 
(obtingut per a 
) ]
(obtingut per a ) ]