Equacions Diferencials

Grau en Enginyeria en Tecnologies Industrials - ETSEIB (240131)

Temari

L'assignatura consta de tres blocs diferenciats però relacionats.

EDOs - Equacions diferencials ordinàries (24h)
- Conceptes i teoremes generals sobre sistemes d'EDOs. EDOs d'ordre n. Sistemes d'EDOs. Problemes de valors inicials (PVI), teorema d'existència i unicitat de solucions. Sistemes autònoms i camps vectorials, retrats de fase. Estudi de les EDOs autònomes de 1^er ordre.
- Sistemes d'EDOs lineals. Sistemes lineals i EDOs lineals d'ordre n. Propietats de les solucions. Resolució en el cas de coeficients constants. Estabilitat de sistemes lineals a coeficients constants. Classificació i retrats de fase en el cas 2D.
- Sistemes d'EDOs no lineals. Estabilitat de punts d'equilibri de sistemes no lineals. Mètodes de linealització i de les funcions de Lyapunov.
- Modelització (aplicacions de les EDOs).
EDPs - Equacions en derivades parcials (8h)
- Les equacions clàssiques. Equacions d'ones, de la calor i de Laplace/Poisson. Condicions inicials (CI) i de contorn (CC). Estats d'equilibri. Evolució d'integrals, flux de calor. Fórmula de D'Alembert per a l'equació d'ones.
- Separació de variables. Ús de la linealitat (superposició i homogeneïtzació). Problemes de valors a la frontera (PVF) per a EDOs lineals de 2^on ordre. Sèries de Fourier. Separació de variables, solucions com a superposició de modes normals.
CV - Càlcul vectorial (22h)
- Integració sobre corbes. Corbes. Longitud d'una corba. Integral d'una funció escalar sobre una corba. Circulació d'un camp vectorial al llarg d'una corba.
- Els teoremes integrals I. Teoremes de Newton-Leibniz (gradient) i de Green (rotacional 2D).
- Integració sobre superfícies. Superfícies de R³. Àrea d'una superfície. Integral d'una funció escalar sobre una superfície. Flux d'un camp vectorial 3D a través d'una superficíe.
- Els teoremes integrals II. Teoremes de Gauss (divergència) i de Stokes (rotacional 3D).

Paral·lelament, es realitzen pràctiques de Matlab relacionades amb diverses parts del temari.

Material bàsic

Apunts [pdf] (per Rafael Ramírez)
Llista de problemes [pdf]
Solucions de problemes de la llista [pdf]
Altre material:
- CV:
  - Problemes resolts de CV [pdf] (per estudiants del GTIAE curs 19-20) [ALERTA: Problemes no revisats pel professorat]
  - Teoremes integrals II: idees bàsiques [pdf] (per Pere Gutiérrez)

Pràctiques de Matlab

Els guions de les pràctiques són d'autoaprenentatge. Hi ha disponible, per a cada pràctica, un recull d'exercicis resolts i una llista d'exercicis addicionals.

P1 (CV) - Integració sobre corbes: guió i exercicis
P2 (CV) - Integració sobre superfícies: guió i exercicis
P3 (EDOs) - Resolució numèrica d'EDOs: guió i exercicis
P4 (EDOs) - Determinació d'esdeveniments en EDOs: guió i exercicis
Altres pràctiques (optatives):
- Resolució simbòlica d'EDOs: guió
- Evolució d'una àrea en un sistema 2D: guió i exercicis
- Determinació d'esdeveniments en EDOs (versió ampliada): guió
- Animacions de solucions d'EDPs d'evolució (ones i calor): guió
Algunes qüestions d'exàmens de pràctiques [html]

Bibliografia

bàsica:
- P. Pascual (ed.) et al., Càlcul integral per a enginyers. UPC, Barcelona 2002 [biblio, pdf].
- D.G. Zill, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 9^a ed. International Thomson, México DF, 2009 [biblio].
complementària:
- R. Larson i B.H. Edwards, Cálculo 2 de varias variables, 9^a ed. McGraw-Hill, México DF, 2010 [biblio].
- J.E. Marsden i A.J. Tromba, Cálculo vectorial, 5^a ed. Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, Delaware, 1991 [biblio].
- R.L. Borrelli i C.S. Coleman, Ecuaciones diferenciales: una perspectiva de modelación. Oxford Univ. Press, 2002 [biblio].
- P. Puig Adam, Curso teórico práctico de ecuaciones diferenciales aplicado a la física y técnica, 15^a ed. Roberto Puig Alvarez, Madrid 1980 [biblio].
- M. Tenenbaum i H. Pollard, Ordinary differential equations. Dover, New York 1985 [biblio].
- E.A. Bender, An introduction to mathematical modeling. Wiley, New York 1978 [biblio].
- H.F. Weinberger, Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Reverté, Barcelona 1988 [biblio].
- A. Quarteroni i F. Saleri, Cálculo científico con MATLAB y Octave. Springer-Verlag, Milano 2006 [biblio] (3^a ed. en anglès, [biblio]).

Exàmens anteriors

Reculls d'enunciats per temes
- CV: problemes [pdf]
- CV: preguntes de test i qüestions curtes [pdf]
- EDOs: problemes [pdf]
- EDOs: preguntes de test i qüestions curtes [pdf]
- EDPs: problemes [pdf]
- EDPs: preguntes de test i qüestions curtes [pdf]
Exàmens resolts per quadrimestres
- curs 25-26 Q1: ex. parcial / ex. final
- curs 24-25 Q2: ex. parcial / ex. final
- curs 24-25 Q1: ex. parcial / ex. final
- curs 23-24 Q2: ex. parcial / ex. final / reavaluació
- curs 23-24 Q1: ex. parcial / ex. final
- curs 22-23 Q2: ex. parcial / ex. final / reavaluació
- curs 22-23 Q1: ex. parcial / ex. final
- curs 21-22 Q2: ex. parcial / ex. final / reavaluació
- curs 21-22 Q1: ex. parcial / ex. final
- curs 20-21 Q2: ex. parcial / av. cont. / ex. final / reavaluació
- curs 20-21 Q1: ex. parcial / av. cont. / ex. final
- curs 19-20 Q2: ex. parcial / av. cont. / ex. final / reavaluació
- curs 19-20 Q1: ex. parcial / ex. final
- curs 18-19 Q2: ex. parcial / ex. final / reavaluació
- curs 18-19 Q1: ex. parcial / ex. final
- curs 17-18 Q2: ex. parcial / ex. final / reavaluació
- curs 17-18 Q1: ex. parcial / ex. final
- curs 16-17 Q2: ex. parcial / ex. final / reavaluació
- curs 16-17 Q1: ex. parcial / ex. final
- curs 15-16 Q2: ex. parcial / av. cont. / ex. final / reavaluació
- curs 15-16 Q1: ex. parcial / av. cont. / ex. final
- curs 14-15 Q2: av. cont. / ex. parcial / ex. final / reavaluació
- curs 14-15 Q1: av. cont. / ex. parcial / ex. final
- curs 13-14 Q2: ex. parcial / av. cont. / ex. final
- curs 13-14 Q1: av. cont. / ex. parcial / ex. final
- curs 12-13 Q2: av. cont. / ex. parcial / ex. final
- curs 12-13 Q1: av. cont. / ex. parcial / ex. final
- curs 11-12 Q2: ex. parcial / ex. final
- curs 11-12 Q1: ex. parcial / ex. final

Recursos d'internet

Avui dia és possible trobar gran quantitat de material a internet, relacionat amb el contingut de l'assignatura: llibres digitals, apunts, problemes resolts, classes en vídeo, software de càlcul, Java applets, etc. Indiquem la referència per a alguns d'aquests materials.

Llibres, apunts, problemes:
- Michael Corral (Schoolcraft College, Livonia, MI), Vector calculus [pdf]. El darrer capítol correspon al tema CV; conté nombrosos exemples resolts i exercicis.
- Frank Jones (Rice Univ., Houston, TX), notes d'un curs [web]. Els darrers capítols corresponen al tema CV.
- Paul Dawkins (Lamar Univ., Beaumont, TX), Differential equations [web i pdf]. Per als temes EDOs i EDPs; molt complet i de nivell assequible.
- Robert E. Terrell (Cornell Univ., Ithaca, NY), Notes on differential equations [pdf]. Per als temes EDOs i EDPs, essent destacables els seus gràfics.
- Jiří Lebl (Oklahoma State Univ.), Notes on Diffy Qs: Differential equations for engineers [web i pdf]. Per als temes EDOs i EDPs; també assequible tot i que tracta un temari més ampli.
- Norman Lebovitz (Univ. Chicago, IL), Textbook in ordinary differential equations [web]. Per al tema EDOs, però més abstracte que els anteriors.
- MIT OpenCourseWare (cursos d'accés obert del Massachusetts Inst. of Technology). De qualsevol matèria, s'hi poden trobar apunts, problemes amb solucions, i en molts casos classes en vídeo. Entre els cursos més relacionats amb el contingut de l'assignatura, podem esmentar: "Multivariable Calculus with Theory " [web], "Differential Equations " [web], "Linear Partial Differential Equations " [web].
Applets:
- David Little (Pennsylvania State Univ.) [applets]. Relacionats amb CV.
- MIT Mathlets (Java applets del Massachusetts Inst. of Technology). Permeten visualitzar la solució o els fenòmens associats a problemes de tipus molt diversos, molts del quals relacionats amb EDOs i EDPs.
- Math Insight. Col·lecció de pàgines explicatives i applets sobre temes diversos, alguns dels quals relacionats amb CV i EDOs.
- Paul Falstad [web]. Visualització de fenòmens relacionats amb diferents parts del temari.
- Walter Fendt [web]. Visualització de diversos fenòmens físics, principalment modelitzats per EDOs.
- Luis Silvestre [web]. Visualització intuïtiva de la solució d'EDPs d'evolució (ones i calor).