% Handouts
% Tema 2. Integraci\'{o} de funcions en v\`{a}ries variables
\documentclass[slidetop,compress,mathserif,10pt,handout]{beamer}
\setbeamertemplate{theorems}[numbered]
\setbeamertemplate{caption}[numbered]

%\textwidth 1,12\textwidth

%\usecolortheme{lily}
\usepackage{ragged2e}
\justifying

\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{wrapfig}
%\usepackage{theorem}
\usepackage[catalan]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[font=scriptsize,labelformat=simple]{caption}
%\usepackage{sidecap}
%\usepackage{leftidx}

\usepackage{ifpdf}
\usepackage{graphicx}
\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.jpg,.png}
\graphicspath{{figures/}}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{shortlst}
\usepackage{bibentry}
\nobibliography*

%-------------
% pdflatex,
%Macros para producir hyperlinks
\hypersetup{
  pdfauthor   = {J.R. Pacha},
  pdftitle    = {Integraci\'o de funcions de dues o m\'es variables},
  pdfsubject  = {C\`alcul II: integraci\'o},
  % pdfpagemode = {FullScreen},
  pdfstartview = {},
  colorlinks  = {true},
  bookmarks   = {true},
  pagebackref = {true},
  bookmarksnumbered = {true},
  hyperindex  = {true}
}
\pdfadjustspacing=1

\usepackage{url}


% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Teorema}%[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Coro\lgem ari}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposició}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}[thm]{Definició}
\theoremstyle{remark}
%\newtheorem{rem}[thm]{Remarca}
\newtheorem{rem}{Remarca}
%\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}
\newtheorem{ex}{Exemple}
%\numberwithin{equation}{section}

\newenvironment{demo}
{\textsc{Demostraci\'{o}}} {\quad \hfill $\blacksquare$}

% MATH -----------------------------------------------------------
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\bs}[1]{\ensuremath{\boldsymbol{#1}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\M}{\ensuremath{\mathbb{M}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\veps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
\newcommand{\BX}{\mathbf{B}(X)}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\Or}{\mathcal{O}}

\newcommand{\argcosh}{\ensuremath{\mathrm{argcosh}}\,}
\newcommand{\argsinh}{\ensuremath{\mathrm{argsinh}}\,}
\newcommand{\argtanh}{\ensuremath{\mathrm{argtanh}}\,}
\newcommand{\argcoth}{\ensuremath{\mathrm{argcoth}}\,}

\newcommand{\rme}{\mathrm{e}}
\newcommand{\rmi}{\mathrm{i}}
\newcommand{\rmd}{\mathrm{d}}

\newcommand{\re}{\mathrm{Re\:}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im\:}}

\newcommand{\wt}[1]{\ensuremath{\widetilde{#1}}}

\DeclareMathOperator{\Hessian}{Hess}
\DeclareMathOperator*{\maxc}{\text{m\`{a}x}}
\DeclareMathOperator*{\limc}{\text{l\'{\i}m}}
% ----------------------------------------------------------------

\newcommand{\gl}{\guillemotleft}
\newcommand{\gr}{\guillemotright}
\newcommand{\sst}{\ensuremath{\scriptstyle}}
\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} %{$\scriptstyle (*)$}

% Counters -------------------------------------------------------
\newcounter{saveenum}

%\usetheme{boxes}
%\usetheme{Singapore}
%\usetheme{Pittsburgh}
%\usetheme{Rochester}
%\usetheme{progressbar}
%\usefonttheme{progressbar}
%\usecolortheme{progressbar}
%\usecolortheme{crane}
%\useinnertheme{progressbar}
%\useoutertheme{progressbar}

\beamersetuncovermixins{\opaqueness<1>{25}}{\opaqueness<2->{15}}

%\progressbaroptions{headline=none,
%frametitle=picture-section,titlepage=normal,
%imagename=two-squares}

%\logo{\includegraphics[scale=0.25]{logo}}

%\setbeamerfont{title}{shape=\itshape,family=\rmfamily}
%\setbeamercolor{title}{fg=red!80!black,bg=blue!20!white}
\setbeamertemplate{caption}[numbered]
\setbeamerfont{caption}{size=\scriptsize}

\newenvironment<>{varblock}[2][\textwidth]{%
  \setlength{\textwidth}{#1}
  \begin{actionenv}#3%
    \def\insertblocktitle{#2}%
    \par%
    \usebeamertemplate{block begin}}
  {\par%
    \usebeamertemplate{block end}%
  \end{actionenv}}

\begin{document}

\title[2. Integraci\'{o} de funcions de dues o m\'{e}s variables]%
{{\Large C\`{a}lcul II (240022)}\\ \vspace{\baselineskip}
 {\large 2.~Integraci\'{o} de Funcions de dues o m\'{e}s variables}}
\author{ETSEIB. UPC-BarcelonaTech} %\href{http://mat.upc.edu}
                                   %{http://mat.upc.edu}}
\date{Curs 2018-19}

% \href{http://www.gnu.org/licenses/fdl.html}
% {www.gnu.org/licenses/fdl.html}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
%\includegraphics[height=0.1\textheight]{logo-ma1}\hfill
%
%\titlepage
%\end{frame}


\section{Integració de funcions de dues variables}

\begin{frame}{Refer\`{e}ncies}\justifying
El material que presentem en aquestes notes es pot trobar
a~\cite{MarsdenT2004} i a~\cite{Pascual2002}:
% \begin{itemize}
% \item \bibentry{MarsdenT1991}. Cap\'{\i}tols $5$ i $6$.
% \item \bibentry{Pascual2002}. Cap\'{\i}tols $1$, $2$ i $3$.
% \end{itemize}

%  cap\'{\i}tols 5 i 6
% de~\bibentry{MarsdenT1991} i en el cap\'{\i}tols 1, 2 i 3
% de~\bibentry{Pascual2002}

\vspace{0,5\baselineskip}
\bibliographystyle{amsalpha}
\bibliography{biblioC2}
\end{frame}

\begin{frame}\justifying
\frametitle{Integrals dobles}
Sigui $f:R=[a,b]\times [c,d]\subset\R^{2}\longrightarrow\R, f\ge 0$, amb
$a < b$ i $c < d$. La integral doble:
\begin{equation}\label{eq:int_doble}
  \iint_{R}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y,
\end{equation}
dóna el volum en $\R^{3}$ tancat per la gràfica de la funció
$z=f(x,y)$ i el pla $xy$ (veure figura~\ref{fig:volum_integral_doble})
%\hyperlink{figura_fxy}{figura~\ref{fig:volum_integral_doble}}).
\begin{rem}
Si $f(x,y)$ pren valors negatius, llavors es defineix:
\begin{displaymath}
f^{+} = \max_{R} (f, 0) \ge 0,\qquad f^{-} = \max_{R} (-f,0)\ge 0,
\end{displaymath}
i la integral doble~\eqref{eq:int_doble} s'escriu com la diferència:
\begin{displaymath}
   \iint_{R}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y =
\iint_{R}\! f^{+}(x,y)\,\rmd x\rmd y -
\iint_{R}\! f^{-}(x,y)\,\rmd x\rmd y.
\end{displaymath}
\end{rem}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
%\hypertarget{figura_fxy}{
\begin{figure} %}
\centering
\includegraphics[scale=0.35]{fig3-1}
\caption{\justifying
La integral doble $\iint_{R}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y$
dóna el volum la de regió de $\R^{3}$ limitada per la gràfica
de la funció $z=f(x,y)$, el pla $xy$ y els plans $x=a$, $x=b$, $y=c$ i
$y=d$. \label{fig:volum_integral_doble}}
\end{figure}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame} %\justifying
\begin{rem}\justifying
Sigui $A\subset\R^{2}$ un domini acotat però no un rectangle.
Si volem introduir la integral doble
\begin{displaymath}
   \iint_{A}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y,
\end{displaymath}
només cal considerar un rectangle $R$ t.q.~$A\subset R$ i definir
l'extensió:
\begin{displaymath}
\wt{f}(x,y):= \begin{cases}
f(x,y) & \text{si $(x,y)\in A$},\\
0 &      \text{si $(x,y)\in R\setminus A$}.
\end{cases}
\end{displaymath}
Llavors és clar que:
\begin{displaymath}
\iint_{A}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y :=
    \iint_{R}\! \wt{f}(x,y)\,\rmd x\rmd y
\end{displaymath}
donat que els volums coincideixen.
\end{rem}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{defn}[Sumes superiors i inferiors de Riemann]\justifying
\label{defn:SR} %Sumes de Riemann
Sigui $f:R=[a,b]\times [c,d]\subset\R^{2}\longrightarrow\R$ acotada,
$n\in\N$. Definim la suma superior $n$-èsima de  $f$ en $R$ per:
\begin{equation}\label{eq:SSR}
S_{n}(f,R):=\frac{(b-a)(d-c)}{n^{2}}\sum_{i,j=1}^{n}
\sup_{(x,y)\in R_{i,j}}\{f(x,y)\}
\end{equation}
i la suma inferior $n$-èsima per:
\begin{equation}\label{eq:SIR}
s_{n}(f,R):=\frac{(b-a)(d-c)}{n^{2}}\sum_{i,j=1}^{n}
\inf_{(x,y)\in R_{i,j}}\{f(x,y)\},
\end{equation}
on
\begin{displaymath}
 R_{i,j}:= [x_{i-1},x_{i}]\times [y_{j-1},y_{j}]
\end{displaymath}
són subrectangles (veure
\hyperlink{rectangles}{figura~\ref{fig:rectangles}}), amb
\begin{displaymath}
x_{i} = a + i\frac{b-a}{n},\quad y_{j}=c+j\frac{d-c}{n},\qquad i,j=0,1,\dots,n.
\end{displaymath}
\end{defn}
\end{frame}


%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{block}{}\justifying
Estem aproximant el volum $\displaystyle\iint_{R}f(x,y)\rmd x\rmd y$ mitjançant
paral·lepípeds (``capses de sabates'') amb base els subrectangles
$R_{i,j}$ i una alçada que
\begin{itemize}\justifying
\item Pel cas de les sumes inferiors, $s_{n}(f,R)$, ve donada per:
\begin{displaymath}
   f(c_{i,j})=\inf_{(x,y)\in R_{i,j}} f(x,y)\qquad\qquad i,j=1,\dots,n.
\end{displaymath}
  Per tant la ``tapa'' inferior de cada capsa està per sota de la
  gràfica de la funció (capses ``inscrites''). Veure figura~\ref{fig:capsesi}.
\item Mentre que per les sumes superiors, $S_{n}(f,R)$, l'alçada ve donada per:
\begin{displaymath}
   f(c_{i,j})=\sup_{(x,y)\in R_{i,j}} f(x,y)\qquad\qquad i,j=1,\dots,n.
\end{displaymath}
  Per tant la ``tapa'' superior de cada capsa està per sobre de la gràfica de
  la funció (capses ``circumscrites''). Veure figura~\ref{fig:capsesc}.
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}\justifying
\hypertarget{rectangles}{}
\begin{figure}
\centering
\begin{minipage}[b]{0.55\textwidth}
\includegraphics[scale=0.25]{fig3-2}
%\caption{\justifying
%Dividim el rectangle $R$ en $n^{2}$ subrectangles ($n=4$ en la
%figura), cadascun d'ells de costats $\frac{b-a}{n}$ i}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[b]{0,4\textwidth}
\caption{\justifying \label{fig:rectangles}
Dividim el rectangle $R$ en $n^{2}$ subrectangles (a la figura es
representa $n=4$), cadascun d'ells de costats $\frac{b-a}{n}$ i
$\frac{d-c}{n}$.}
\end{minipage}
\end{figure}
Llavors és clar que per tot $n\in\N$ tenim:
\begin{displaymath}
s_{n}(f,R) \le \iint_{R}\! f(x,y)\;\rmd x\rmd y\le S_{n}(f,R). %\qquad
%\text{ per tot $n\in\N$.}
\end{displaymath}
És a dir, les sumes inferiors aproximen el volum ``per defecte'',
mentre que les sumes superiors aproximen el volum ``per excés''.
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{figure}[t]
\includegraphics[scale=0.19]{capses_inscrites}
\caption{\justifying\label{fig:capsesi} Les sumes inferiors,
  $s_{n}(f,R)$, aproximen (per defecte) el volum $\iint_{R}f(x,y)\rmd
  x\rmd y$ mitjançant capses inscrites. Fi\-gu\-ra tre\-ta
  de~\cite{MarsdenT2004}, cap\'{\i}tol 5.}
\end{figure}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{figure}[t]
\includegraphics[scale=0.19]{capses_circumscrites}
\caption{\justifying\label{fig:capsesc} Les sumes superiors,
  $S_{n}(f,R)$, aproximen (per excés) el volum $\iint_{R}f(x,y)\rmd
  x\rmd y$ mitjançant capses circumscrites. Fi\-gu\-ra tre\-ta
  de~\cite{MarsdenT2004}, cap\'{\i}tol 5.}
\end{figure}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{ex}\justifying
Sigui $f(x,y)=1-x$ (veure \hyperlink{falca}{figura~\ref{fig:falca}})
i el rectangle
$R=[0,1]\times [0,1]$. Volem calcular:
\begin{displaymath}
\lim_{n} S_{n}(f,R),\qquad\qquad \lim_{n}s_{n}(f,R).
\end{displaymath}
\end{ex}

\begin{minipage}[b]{0,5\linewidth}
Si $(x,y)\in R_{i,j}\Rightarrow
   x_{i-1}\le x\le x_{i}$ i:
\begin{multline*}
   1-x_{i}\le f(x,y) = 1- x\\
       \hfill\le 1-x_{i-1}.
\end{multline*}
Llavors:
\[
\begin{split}
\sup_{(x,y)\in R_{i,j}}\{f(x,y)\} &= 1-x_{i-1},\\
\inf_{(x,y)\in R_{i,j}}\{f(x,y)\} &= 1-x_{i},
\end{split}
\]
per $i,j=1,\dots,n$.

\phantom{Afegim una línia en blanc}
\vfill
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[b]{0,5\textwidth}
\hypertarget{falca}{}
\begin{figure}[t]
\includegraphics[scale=0.3]{fig3-3}
\caption{\justifying La gràfica de la funció $f(x,y)=1-x$ és un tros
  de pla inclinat on $z$ creix de $0$ a $1$ quan $x$ es mou de $1$ a
  $0$.\label{fig:falca} }
\end{figure}
\end{minipage}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}

\vspace{3,5\baselineskip}
En aquest cas $x_{i}= 0 + i\dfrac{1-0}{n}=\dfrac{i}{n}, i=0,1,\dots,n$;
aleshores:
%\begin{displaymath}
%    x_{i} = 0 + i\frac{1-0}{n}=\frac{i}{n},\qquad
%    y_{j}= 0 + j\frac{1-0}{n}=\frac{j}{n},\qquad i,j=0,1,\dots,n.
\begin{displaymath}
\begin{split}
S_{n}(f,R)&=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i,j=1}^{n}(1-x_{i-1})
            =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(1-\frac{i-1}{n}\right)
            = 1 -\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}(i-1)\\
         &= 1-\frac{1}{n^{2}}\left(0 + 1 + \dots + n-1\right)
            = 1 - \frac{1}{n^{2}}\left(\frac{(n-1)n}{2}\right)
            = \frac{n+1}{2n},\\
s_{n}(f,R) &=
\frac{1}{n^{2}}\sum_{i,j=1}^{n}\left(1-\frac{i}{n}\right)
            =\dots
            = 1 - \frac{1}{n^{2}}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)
            = \frac{n-1}{2n}.
\end{split}
\end{displaymath}
El límits buscats són doncs:
\begin{displaymath}
\lim_{n}S_{n}(f,R)=\lim_{n}s_{n}(f,R) = \frac{1}{2}.
\end{displaymath}
Això motiva la definició que donem tot seguit.
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{defn}[Funcions integrables]\justifying\label{def:integrable}
Sigui $f:R=[a,b]\times[c,d]\subset\R^{2}\longrightarrow\R$
acotada. Direm que $f$ és integrable en $R$ si existeixen i són
coincidents els límits:
\begin{displaymath}
  I = \lim_{n} S(f,R)= \lim_{n} s(f,R).
\end{displaymath}
Llavors escriurem:
\begin{displaymath}
  I:=\iint_{R}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y
\end{displaymath}
\end{defn}
%
\noindent
El següent resultat dóna una caracterització de les funcions
integrables sobre rectangles:

\begin{thm}[Criteri d'integrabilitat en un rectangle]\justifying
\label{thm:integrabilitat}
Sigui $f:R=[a,b]\times[c,d]\subset\R^{2}\longrightarrow\R$
acotada i contínua excepte en un conjunt de punts $A\subset R$ que està
contingut en la unió d'un nombre finit de corbes contínues contingudes
en $R$. Llavors $f$ és integrable en el rectangle $R$.
\end{thm}
%\begin{rem}\justifying \label{rem:integrabilitat}
%Recordem que, en el cas de funcions d'$1$ variable
%demanem, per que una funció sigui integrable en un interval, que les
%seves singularitats siguin aïllades. Si demanèssim el mateix per
%funcions de dues variables deixariem ``fora'' moltes funcions
%interessants per les quals el volum sí que està definit. Per exemple,
%la funció esglaó de la figura
%\end{rem}

\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{ex} La funció esglaó:
\begin{equation}\label{eq:esglao}
f(x,y)=\begin{cases}
2 & \text{ si $(x,y)\in R,\ x\in [0,1]$,}\\
1 & \text{ si $(x,y)\in R,\ x\in (1,2]$}
\end{cases},\quad R=[0,2]\times [0,1]
\end{equation}
\end{ex}
\begin{minipage}[b]{0,5\textwidth}
\begin{figure}[t]
\includegraphics[scale=0.3]{fig3-4}
\caption{\justifying
La funció esglaó~\eqref{eq:esglao}
és integrable d'acord amb el
teorema~\ref{thm:integrabilitat}.}
\end{figure}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[b]{0,45\textwidth}
és integrable en $R$ segons el teore\-ma~\ref{thm:integrabilitat},
 ja que la seva fractura es produeix al llarg
d'una recta.

\vspace{0,5\baselineskip}
Clarament, el valor de la integral:
\begin{displaymath}
\iint_{R}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y = 2+1= 3
\end{displaymath}
és el volum sota l'esglaó.

\vspace{3\baselineskip}
%\emph{Comentari:}
%De fet podem refinar el criteri anterior dient que $f$ és integrable
%en $R$ si el conjunt de les singuilaritats de $f$ forma un
%\emph{conjunt d'àrea zero}.
%
%\vspace{4\baselineskip}
\end{minipage}
%\emph{Comentari:}
%De fet podem refinar el criteri anterior dient que $f$ és integrable
%en $R$ si el conjunt de les singuilaritats de $f$ forma un
%\emph{conjunt d'àrea zero}.

%\begin{thm}[Criteri d'integrabixlitat en un rectangle]\justifying
%Sigui $f:R=[a,b]\times[c,d]\subset\R^{2}\longrightarrow\R$
%acotda i contínua excepte en un conjunt de punts $A\subset R$ que està
%contingut en la unió d'un nombre finit de corbes contínues contingudes
%en $R$. Llavors $f$ és integrable en $R$.
%\end{thm}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{rem}
De fet podem refinar el criteri anterior dient que $f$
és integrable en $R$ si el conjunt de les singuilaritats de $f$ forma un
\emph{conjunt d'àrea zero}.
\end{rem}

\begin{defn}[Àrea d'un conjunt de $\R^{2}$]\justifying
Sigui $D\subset\R^{2}$ un conjunt acotat. Definim l'àrea del conjunt
$D$ per
\begin{displaymath}
\text{Àrea}(D)= \iint_{D}\! 1\,\rmd x\rmd y
\end{displaymath}
(sempre que la integral existeixi).
\end{defn}
Comentaris:
\begin{itemize}\pause
\item L'àrea d'un punt i d'una corba contínua és zero.\pause
\item La unió finita de conjunts d'àrea zero té àrea zero.\pause
\item \justifying
Important!: si modifiquem els valors d'una funció integrable en
  un conjunt d'àrea zero, llavors la funció continua sent integrable i
  el valor de la integral és el mateix.
\end{itemize}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{defn}[Domini elemental del pla]\justifying
Direm que un conjunt $D\subset\R^{2}$ és un domini elemental si és
acotat i la seva frontera està formada per la unió finita de corbes
contínues.
\end{defn}
Exemples de dominis elementals són:\pause
\begin{itemize}
\item El rectangle:\pause\ la seva frontera són els
  seus costats.\pause
\item El disc:\pause\ la seva frontera és una circumferència.\pause
\item L'anell:\pause\ la seva frontera és la unió de dues
  circumferències.\pause
\end{itemize}
Com que nosaltres bàsicament treballarem sobre aquest tipus de
dominis, serà essencial el resultat següent:\pause

\begin{thm}[Criteri d'integrabilitat en dominis elementals]
Sigui $f:D\subset\R^{2}\longrightarrow \R$, $D$ domini elemental, $f$
acotada i contínua excepte en un conjunt de punts $A\subset D$ que té
àrea zero. Llavors $f$ és integrable en $D$.
\end{thm}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\section{Integració de funcions de tres (o més) variables}

\begin{frame}{Integrals triples}
\begin{itemize}
\item\justifying
De manera natural, podem estendre la construcció de la integral d'una
funció $f(x,y)$ de dues variables  sobre un rectangle $R=[a,b]\times
[c,d]$ al cas d'una funció $f(x,y,z)$ de tres variables sobre un
para\lgem epíped $P=[a,b]\times [c,d]\times [e,f]$.

\item\justifying
El punt clau per definir les sumes de Riemann és que el volum de $P$
és
\[
\text{Volum}(P)= (b-a)\times (d-c)\times (f-e).
\]

\item\justifying
En aquest cas el paper dels conjunts d'àrea zero el juguen els
conjunts de volum zero, on si $D\subset\R^{3}$ és acotat, llavors:
\[
\text{Volum}(D)=\iiint_{D}\! 1\,\rmd x\rmd y\rmd z.
\]
En particular, observem que una superfície de $\R^{3}$ té volum zero.

\item\justifying
Finalment, els dominis elementals $D\subset\R^{3}$ són aquells que la
seva frontera està formada per la unió finita de superfícies contínues.
\end{itemize}
Idènticament, podem estendre la noció d'integral a funcions de més de
tres variables.
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Integrals múltiples}
%\begin{itemize}
%\item\justifying
%Idénticament, podem estendre la noció d'integral a funcions de més de
%tres variables.
%\end{itemize}

%\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Notació:}

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
En el que segueix $D\subset\R^{n}$. Llavors escriurem
$\int_{D}\! f$ per referir-nos a la integral de $f$ en $D$,
independentment del valor de $n$. Així:
\begin{itemize}
\item Si $n=2$: $\int_{D}\, f = \iint_{D}\! f(x,y)\,\rmd x \rmd y$.
\item Si $n=3$: $\int_{D}\,
        f = \iiint_{D}\! f(x,y,z)\,\rmd x \rmd y \rmd z$, etc.
\end{itemize}

\begin{prop}[Propietats de la integral]\label{prop:proietats_integral}
Sigui $D\subset\R^{n}$ domini elemental, $f$ i $g$ integrables en
$D$. Aleshores:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\int_{D}\! (a f + b g) = a\int_{D}\! f + b\int_{D}\! g$, per tot
  $a,b\in\R$ (linealitat).
\item Si $f\ge g$ en $D$: $\int_{D}f\ge \int_{D}g$.
\item $\left|\int_{D}\! f\right|\le\int_{D}\!\left|f\right|$.
\item Si $D=D_{1}\cup D_{2}$, $D_{1}\cap D_{2}=\emptyset$ amb
  $D_{1},D_{2}$ dominis elementals:
\[
   \int_{D}\! f = \int_{D_{1}}\! f + \int_{D_{2}}\! f.
\]
\end{enumerate}
\end{prop}

\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{prop}[Teorema del valor mig per a integrals múltiples]
Sigui $f:D\subset\R^{n}\longrightarrow\R$ contínua, $D$ domini
elemental. Llavors $\exists\;\boldsymbol{x}_{0}\in D$ t.q.:
\[
\int_{D}\! f = f(\bs{x}_{0})\cdot\int_{D}\! 1,
\]
on $\int_{D}\! 1 = \text{Àrea}(D)$ si $n=2$, $\int_{D}\! f =
\text{Volum}(D)$ si $n=3$, etc.
\end{prop}
%\begin{block}{Aplicació: acotació del valor de les integrals}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\emph{Aplicació: acotació del valor de les integrals}

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
Si $D=\{(x,y)\in\R^{2}: x^{2}+y^{2}\le 4\}$ (bola tancada de centre
$(0,0)$ i radi $r=2$), tenim:
\[
\iint_{D}\! \rme^{x^{2}+y^{2}}\,\rmd x\rmd y =
f(x_{0},y_{0})\cdot\text{Àrea}(D) = \rme^{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}\pi\cdot 2^{2},
\]
per algun $(x_{0},y_{0})\in D$. D'altra banda és clar que
$1\le\rme^{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}\le \rme^{4}$ en $D$, i llavors:
\[
4\pi\le\iint_{D}\!\rme^{x^{2}+y^{2}}\,\rmd x\rmd y \le 4\pi \rme^{4}.
\]
%\end{block}

\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Càlcul d'integrals}\justifying
\begin{block}{Comentaris:}\justifying
Per calcular integrals de funcions de dues o més variables, els punts
claus són:
\begin{itemize}
\item\justifying Cal saber ``primitivitzar'' les funcions
  involucrades respecte de cadascuna de les variables. Així és molt
  senzill formalitzar el càlcul de la integral d'una funció de dues
  variables sobre un rectangle (o de tres variables sobre un
  para\lgem epíped) en termes d'integrals iterades respecte cadascuna
  de les variables.
%Així, per exemple si, suposant $f(x,y)$ contínua en $R=[a,b]\times
%[c,d]$, es vol calcular $\iint_{R}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y$, integrem
%primer respecte d'una de les variebales, per exemple respecte $x$,
%i.e.:
%\[
%  \int_{a}^{b}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y = F(b,y)-F(a,y),
%\]
%on $F(x,y)$ és tal que $\dfrac{\partial F}{\partial x} = f$.
\item\justifying
 En el cas de funcions de dues o més variables sobre dominis
  elementals, cal a més saber parametritzar adequadament aquests dominis.
\end{itemize}
\end{block}

Comencem introduint el \hyperlink{Cavalieri}{Principi de Cavalieri}
que a més d'oferir una eina potent pel càlcul de volums en $\R^{3}$
també ``motiva'' el càlcul d'integrals en el cas més general via el
\emph{Teorema de Fubini}.

\vfill
%
%
%De fet és senzill formalitzar el càlcul de la integral d'una funció de
%dues variables sobre un rectangle (o una de tres variables sobre un
%para\lgem epíped) en termes d'integrals iterades respecte cadascuna de
%les variables. Però tot es complica quan considerem dominis $D$
%amb geometria més complexa.
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{varblock}[1.035\textwidth]{Bonaventura Cavalieri (1598--1647)}
\begin{columns}
\column{.1\textwidth} \hspace{0.9cm}
\includegraphics[width=1.5\textwidth]{Cavalieri}
\column{.8\textwidth} \justifying
Jesuïta i matemàtic italià, alumne de Galileo, ocupà la càtedra de matemàtiques a
la Universitat de Bolònia. Autor, entre d'altres treballs de l'obra:
\href{http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuViewfull?url=/mpiwg/online/permanent/library/05TCTFNR&tocMode=thumbs&viewMode=images&pn=5}{\it
Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione
promota} (1635, 2ª edició, 1653).
\end{columns}

\vspace{0,5\baselineskip}
\end{varblock}
El principi de Cavalieri, tal com es va formular originalment, es pot
resumir en els termes següents:
\begin{varblock}[1.035\textwidth]{\hypertarget{Cavalieri}{} Principi
    de Cavalieri}
``Si dos sòlids al ser tallats per plans para\lgem els produeixen
sempre seccions d'igual superfície, llavors aquests cossos tenen el
mateix volum''.
\end{varblock}

\vspace{0,5\baselineskip}
(nosaltres aplicarem una versions adaptades d'aquest principi que tot
seguit formalitzarem).

\vspace{0,5\baselineskip}
%Per discutir les aplicacions d'aquest principi, començarem amb el cas
%més senzill del càlcul de l'àrea d'un domini $D\subset\R^{2}$
%determinat per les gràfiques de dues funcions contínues.
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{block}{}
Per discutir les aplicacions d'aquest principi:\pause
\begin{itemize}
\item\justifying
 començarem amb el cas més senzill del càlcul de l'àrea d'un
  domini $D\subset\R^{2}$ determinat per les gràfiques de dues
  funcions contínues. En particular, definirem:\pause \medskip
\begin{itemize}
\item\justifying
 \hyperlink{Domini-x}{Domini $x$-elemental}: la seva frontera es
  pot expressar en termes de gràfiques de y en funció de $x$.
  Figura~\ref{fig:Domini-x}.\pause \medskip
\item\justifying
 \hyperlink{Domini-y}{Domini $y$-elemental}: la seva frontera es
  pot expressar en termes de gràfiques de x en funció de $y$.
  Figura~\ref{fig:Domini-y}.\pause \medskip
\end{itemize}
\item\justifying
 Quan el domini $D$ té una frontera que no es pot expressar en
  termes de gràfiques d'aquesta mena, s'aplica el
  \hyperlink{Cavalieri-A}{principi de Cavalieri per al Càlcul
    d'àrees}. Figura~\ref{fig:Cavalieri-A}.\pause\medskip
%\end{itemize}
\item No farem exemples del càlcul d'àrees, sinó que ens centrarem en el
càlcul de volums de regions $D$ en $\R^{3}$. Per això enunciarem una
versió ''modernitzada'' del principi de Cavalieri \hyperlink{Cavalieri-nou}
{(Proposició~\ref{prop:Cavalieri})}.
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{block}{Domini $x$-elemental}
\[
\text{Àrea}(D) = \iint_{D}\! 1\,\rmd x\rmd y
=\int_{a}^{b}\! (g(x)-h(x))\,\rmd x = \int_{a}^{b}\!\ell(x)\rmd x,
\]
on $\ell(x) :=
\text{longitud del segment vertical }
\overline{(x,h(x)),(x,g(x))}.$
\end{block}
\begin{figure}
%\begin{columns}
%\column{0.6\textwidth}\hspace{0.9cm}
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{fig3-5}
%\column{0.3\textwidth}
\caption{\justifying\hypertarget{Domini-x}{}
 Representació d'un domini $x$-elemental.\label{fig:Domini-x}}
%\end{columns}
\end{figure}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{block}{Domini $y$-elemental}
\[
\text{Àrea}(D) = \iint_{D}\! 1\,\rmd x\rmd y
=\int_{c}^{d}\! (v(y)-u(y))\,\rmd y = \int_{c}^{d}\!\ell(y)\,\rmd y,
\]
on $\ell(y) := \text{longitud del segment horitzontal }
\overline{(u(y),y),(v(y),y)}.$
\end{block}
\begin{figure}
%\begin{columns}
%\column{0.6\textwidth}\hspace{0.9cm}
%\includegraphics[width=0.95\textwidth]{fig3-6}
%\caption{\justifying Domini $y$-elemental.}
%\column{0.4\textwidth}\hspace{-1cm}\justifying
%\caption{\justifying Domini $y$-elemental.
%\vspace{0,5\baselineskip}
%\vfill
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{fig3-6}
\caption{\justifying\hypertarget{Domini-y}{}
 Representaci\'{o} d'un domini $y$-elemental.
\label{fig:Domini-y}}
\end{figure}
\end{frame}
%%----------------------------------------------------------------------------

\begin{frame}
%En el cas més general, i.e., quan el domini $D$ té una frontera que no
%es pot expressar com gràfiques de funcions ($y$ en funció de $x$ o bé $x$
%en funció de $y$), farem ús del resultat següent,
%Per dominis més generals, farem ús del següent resultat:

\vspace{-0,5\baselineskip}
\begin{varblock}[1,06\textwidth]{\hypertarget{Cavalieri-A}{}
Principi de Cavalieri per al càlcul d'àrees}
%\vspace{2\baselineskip}
%\emph{Principi de Cavalieri pel càlcul d'àrees:}
Suposem que si $(x,y)\in D$, aleshores, els valors de $x$ varien entre
$x=a$ i $x=b$ i denotem per $\ell(x_{0})$ la suma de les longituds
dels segments que obtenim si tallem $D$ amb una recta vertical, per
exemple, a la figura~\ref{fig:Cavalieri-A}:
\end{varblock}
\begin{columns}
\column{0.52\textwidth} %\hspace{0.9cm}
\begin{figure}
\includegraphics[width=1.125\textwidth]{fig3-7}
\caption{\justifying\label{fig:Cavalieri-A}
Seccions per rectes horitzontals i verticals del domini $D$.}
\vfill
\end{figure}
\column{0,45\textwidth}\justifying
$\ell(x_{0})$ és la suma de les longituds dels segments
$\overline{EF}$ i $\overline{GH}$, llavors:
\[
 \text{Àrea}(D)=\int_{a}^{b}\! \ell(x)\,\rmd x.
\]
Ídem si fem seccions per rectes horitzontals de la forma $y=y_{0}$:
\[
\text{Àrea}(D)=\int_{c}^{d}\! \ell(y)\,\rmd y,
\]
on ara $\ell(y_{0})$ és la suma de les longituds dels segments
$\overline{H'G'}$ i $\overline{F'E'}$.
\end{columns}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
%\addtocounter{thm}{1}
%\begin{varblock}[1.06\textwidth]
%{Proposició~\theprop. Principi de Cavalieri\label{prop:Cavalieri} }
\begin{prop}[Principi de Cavalieri]
\label{prop:Cavalieri}
\hypertarget{prop-Cavalieri}\justifying
Sigui $D\subset\R^{3}$ un domini elemental tal que si $(x,y,z)\in D$
llavors $x\in [a,b]$. Denotem per $A(x_{0})$ l'àrea de la regió plana
determinada pel tall de $D$ amb el pla $x=x_{0}$. Aleshores:
\[
 \text{Volum}(D)=\int_{a}^{b}\! A(x)\,\rmd x.
\]
%\end{prop}
%\begin{columns}%\hspace{0,9cm}
%\column{0,5\textwidth}
\vspace{-2\baselineskip}
\begin{figure}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig3-8}
\caption{\justifying
  Tall transversal de la regió $D$ pel pla $x=x_{0}$. El mateix
  resultat és vàlid si fem talls per plans de la forma: $y=y_{0}$ ó
  $z=z_{0}$.\label{fig:patata} }
\end{figure}%\hfill
%\column{0,3\textwidth}\justifying
%\begin{block}{}
%El mateix resutat és vàlid si fem talls per plans de la forma:
%$y=y_{0}$ ó $z=z_{0}$.\hfill
%\end{block}
%\[
%y=y_{0}\text{ ó } z=z_{0}.
%\]
%(Veure figura~\ref{fig:patata}).
%\vspace{7\baselineskip}
%\end{columns}
\end{prop}
\end{frame}


%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{ex}
Càlcul del volum d'una bola:
\[
D=\{(x,y,z)\in\R^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2}\}.
\]
\end{ex}
\begin{columns} %{0,6\textwidth}
\column{0,5\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=1.05\textwidth]{fig3-9}
\caption{\justifying
Tall de l'esfera de radi $R$ pel pla $z=z_{0}$.}
\end{figure}
\column{0,5\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig3-10}
\caption{\justifying
La secció $D\cap\{z = z_{0}\}$ és un disc de radi
  $r(z_{0})=\sqrt{R^{2}-z_{0}^{2}}$.}
\end{figure}
\end{columns}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{block}{}
Punts clau:
\begin{enumerate}[(i)]
\item\justifying
L'àrea d'un disc de radi $r$ és $\pi r^{2}$.
\item\justifying
 Si fem $z=\text{const.}$ llavors la secció de $D$ amb el pla és
 la bola
\[
 x^{2}+y^{2}\le R^{2}-z^{2}
\]
(si $-R\le z\le R$) de radi
\[
  r(z)=\sqrt{R^{2}-z^{2}}.
\]
\end{enumerate}
Aleshores:
\end{block}
\begin{multline*}
\text{Volum}(D)=\int_{-R}^{R}\! \pi (R^{2}-z^{2})\,\rmd z\\
 =\pi\left[R^{2}z-\frac{z^{3}}{3}\right]_{z=-R}^{z=R}=2\pi\left(R^{3}-\frac{R^{3}}{3}
\right)=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
\end{multline*}
\end{frame}
%%----------------------------------------------------------------------------

\begin{frame}
\begin{ex}
Sigui $D$ el domini de revolució (entorn de l'eix $z$) definit per
\[
D=\{(x,y,z)\in\R^{3}: -1\le z\le 1, x^{2}+y^{2}\le 1+z^{2}\}.
\]
\end{ex}

%\vspace{-\baselineskip}
\begin{columns}
\column{0,5\textwidth}\justifying
Les seccions $z=\text{const}$.~són boles de radi
$\sqrt{1+z^{2}}$ i per tant:
\begin{align*}
\text{Volum}(D)&=\int_{-1}^{1}\!\pi(1+z^{2})\,\rmd z\\
&= \pi\left[z +\frac{z^{3}}{3}\right]_{z=-1}^{z=1}=\frac{8\pi}{3}
\end{align*}
En canvi, si fem seccions, per ex.~per $x=\text{const.}$, el càlcul
resulta molt més complicat.
\column{0,4\textwidth}\justifying
\begin{figure}
\includegraphics[width=1\textwidth]{fig3-11}
\caption{\justifying $x^{2}+y^{2}=1+z^{2}$.}
\end{figure}
\end{columns}\hfill
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{varblock}[1,06\textwidth]{}
Apliquem el principi de Cavalieri al càlcul del volum sota la gràfica
d'una funció $f(x,y)\ge 0$ definida al rectangle $R=[a,b]\times [c,d]$. Això és:
\[
 D=\{(x,y,z)\in\R^{3}:(x,y)\in [a,b]\times [c,d], 0\le z\le f(x,y)\}
\]
\end{varblock}

\begin{columns}
\column{0,6\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{fig3-12}
\column{0,4\textwidth}\justifying
Si fem $x=\text{const.}$ obtenim un domini secció que té àrea:
\begin{displaymath}
  A(x)=\int_{c}^{d}\! f(x,y)\, \rmd y.
\end{displaymath}
Llavors:
\begin{displaymath}
   \text{Volum}(D)=\int_{a}^{b}\! A(x)\,\rmd x.
\end{displaymath}

\end{columns}
\end{frame}


%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}

\begin{columns}
\column{0,4\textwidth}\justifying
Si repetim els càlculs fent seccions $y=\text{const.}$ obtenim:
\begin{displaymath}
  A(y)=\int_{a}^{b}\! f(x,y)\, \rmd x
\end{displaymath}
d'on:
\begin{displaymath}
   \text{Volum}(D)=\int_{c}^{d}\! A(y)\,\rmd y.
\end{displaymath}
\column{0,6\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{fig3-13}
\end{columns}
Finalment, si recordem que
$\text{Volum}(D)=\iint_{D}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y$, tenim:
\[
 \int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}\! f(x,y)\,\rmd y\right)\rmd x =
\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}\! f(x,y)\,\rmd x\right)\rmd y =
\iint_{R}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y.
\]
Aquest resultat (vàlid si $f$ és contínua) es coneix com \emph{Teorema de Fubini.}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Teorema de Fubini}\justifying

\vspace{-0,75\baselineskip}
\begin{block}{Guido Fubini (1879-1943)}
\begin{columns}
\column{.1\textwidth}\hspace{0.9cm}

%\vspace{-0.5\baselineskip}
\includegraphics[width=1.2\textwidth]{Fubini}
\column{0.8\textwidth}\justifying
Matemàtic italià destacà en camps tan diversos com l'anàlisi,
la geometria i la física matemàtica. Autor, entre d'altres obres, de
\href{http://www.archive.org/stream/lezionidianalisi00fubirich\#page/n11/mode/2up}{Lezioni Di Analisi Matematica (1920)}

\vspace{2\baselineskip}
\end{columns}
\end{block}

\vspace{0,75\baselineskip}
%\begin{defn}
%Les integrals:
%\[
%I_{1}:=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}\! f(x,y)\,\rmd y\right)\rmd
%x,\qquad\
%I_{2}:=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}\! f(x,y)\,\rmd x\right)\rmd y
%\]
%s'anomenen \emph{integrals iterades}.
%\end{defn}

\vspace{-\baselineskip}
\begin{thm}[Teorema de Fubini]
Sigui $f: R=[a,b]\times [c,d]\subset\R^{2}\longrightarrow\R$
contínua. Aleshores, les \emph{integrals iterades},
\vspace{-0.5\baselineskip}
\[
I_{1}:=\int_{a}^{b}\!\left(\int_{c}^{d}\! f(x,y)\,\rmd y\right)\rmd
x,\qquad\
I_{2}:=\int_{c}^{d}\!\left(\int_{a}^{b}\! f(x,y)\,\rmd x\right)\rmd y
\]
\vspace{-0,75\baselineskip}
existeixen totes dues i verifiquen:
%$\displaystyle I_{1} = I_{2} =
%\iint_{R}\! f(x,y)\,\rmd x \rmd y$.
\[
I_{1} = I_{2} =
\iint_{R}\! f(x,y)\,\rmd x \rmd y.
\]
%\vspace{0,75\baselineskip}
\end{thm}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}

\vspace{-0,5\baselineskip}
\begin{ex}
Si $R=\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\times [0,1]$, volem trobar
$\displaystyle I:=\iint_{R}\! x\cos(xy)\,\rmd x \rmd y$.
\vspace{0,5\baselineskip}
\end{ex}
Com que $f(x,y)= x\cos(xy)$ és una funció contínua:
\begin{multline*}
 \iint_{R}\! x\cos(xy)\,\rmd x \rmd y =
\int_{0}^{\pi/2}\!\left(\int_{0}^{1}\! x\cos(xy)\,\rmd y\right)\rmd x\\
= \int_{0}^{\pi/2}\!\left[\sin(xy)\right]_{y=0}^{y=1}\,\rmd x
=\int_{0}^{\pi/2}\!\sin x\,\rmd x = \left[-\cos x \right]_{x=0}^{x=\pi/2}= \cos 0 = 1.
\end{multline*}
\begin{rem}\justifying
Si considerem l'altra integral iterada,
%\vspace{-0,5\baselineskip}
\begin{displaymath}
\int_{0}^{1}\!\left(\int_{0}^{\pi/2}\! x\cos(xy)\,\rmd
  x\right)\rmd y,
\end{displaymath}
%\vspace{-0,5\baselineskip}
cal calcular una primitiva respecte de $x$ de
$x\cos(xy)$. Obtindríem el mateix resultat, però el càlcul surt més
complicat...
\end{rem}
\end{frame}


%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{cor}
Si $f(x,y)=g(x)h(y)$, aleshores la integral sobre el rectangle
$R=[a,b]\times [c,d]$ es pot expressar com:
\begin{displaymath}
\iint_{R}\! g(x)h(y)\,\rmd x\rmd y =
\left(\int_{a}^{b}\! g(x)\,\rmd x\right)\times
\left(\int_{c}^{d}\! h(y)\,\rmd y\right).
\end{displaymath}
\end{cor}
\begin{ex}
\begin{displaymath}
\begin{split}
\iint_{[1,2]\times [1,3]}\! x y^{2}\,\rmd x\rmd y &=
\left(\int_{1}^{2}\! x\rmd x\right)\times
\left(\int_{1}^{3}\! y^{2}\rmd y\right)\\
&=
\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{x=1}^{x=2}\times
\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=1}^{y=3}\\
&=
\left(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\right)\times
\left(\frac{27}{3}-\frac{1}{3}\right) =
\frac{3}{2}\times\frac{26}{3} = 13.
\end{split}
\end{displaymath}
\end{ex}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{rem}
Si $f(x,y)$ no és contínua però sí integrable, el teorema de Fubini
també és cert però amb matissos. Així:\pause
\begin{itemize}
\item\justifying
 Si $f(x,y)$ és integrable en $R=[a,b]\times [c,d]$ i alguna de
  les integrals iterades existeix, llavors coincideix amb el valor de
  $\iint_{R}\! f$.\pause
\item\justifying
 En alguns casos doncs, malgrat $f$ sigui integrable, pot ser que
  alguna de les integrals iterades no existeixi.\pause
\item\justifying
 Nosaltres no formalitzarem aquest fet però sí donarem el següent
  criteri de no integrabilitat.\pause
\end{itemize}
\end{rem}
\begin{block}{\hypertarget{criteriNI}{} Criteri de no integrabilitat
    de $f$ en $R$}\pause
Si les integrals de iterades existeixen i són diferents, llavors $f$
no és integrable en $R$.
\end{block}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}\justifying
\begin{ex}
Sigui $f(x,y)=\dfrac{x-y}{(x+y)^{3}}$, $R=[0,1]\times [0,1]$. Aleshores:
\vspace{0,5\baselineskip}
\end{ex}
\begin{align*}
\int_{0}^{1}\!\left(\int_{0}^{1}\!\frac{x-y}{(x+y)^{3}}\,\rmd
  x\right)\rmd y &= \int_{0}^{1}\! \left(\int_{0}^{1}\!
\left[\frac{1}{(x+y)^{2}} - \frac{2y}{(x+y)^{3}}\right]\rmd
x\right)\rmd y\\
&= \int_{0}^{1}\!\left[\frac{-1}{x+y} +
  \frac{y}{(x+y)^{2}}\right]_{x=0}^{x=1}\rmd y\\
&= \int_{0}^{1}\!\left[\frac{-1}{1+y} +
   \frac{y}{(1+y)^{2}}\right]\rmd y\\
&= -\int_{0}^{1}\!\frac{\rmd y}{(1+y)^{2}} =
\left[\frac{1}{1+y}\right]_{y=0}^{y=1}=\frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2};
\end{align*}
mentre que, per simetria, es clar que $\displaystyle\int_{0}^{1}\!
\left(\int_{0}^{1}\!\frac{x-y}{(x+y)^{3}}\,\rmd y\right)\rmd x =
\dfrac{1}{2}$. Per tant,
%d'acord amb el \hyperlink{criteriNI}{criteri
%de no integrabilitat},
$f$ no és integrable en $R$.
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{block}{Teorema de Fubini per dominis $x$-elementals}
Si
\[
\footnotesize
D =\{(x,y)\in\R^{2}: a\le x\le b, h(x)\le y\le g(x)\}.
\]
Llavors:
\[
\footnotesize
\iint_{D}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y =
\int_{a}^{b}\left(\int_{h(x)}^{g(x)} f(x,y)\,\rmd y\right)\rmd x.
\]
\end{block}

%\end{block}
%\column{0,5\textwidth}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{fig3-5}
\caption{Domini $x$-elemental.}
\end{figure}
%
%Si
%\[
%\footnotesize
%D =\{(x,y)\in\R^{2}: a\le x\le b, h(x)\le y\le g(x)\}.
%\]
%Llavors:
%\[
%\footnotesize
%\iint_{D}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y =
%\int_{a}^{b}\left(\int_{h(x)}^{g(x)} f(x,y)\,\rmd y\right)\rmd x
%\]
%\end{columns}
%\end{block}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{block}{Teorema de Fubini per dominis $y$-elementals}
Si
\[
\footnotesize
D =\{(x,y)\in\R^{2}: c\le x\le d, u(y)\le x\le v(y)\}.
\]
Llavors:
\[
\footnotesize
\iint_{D}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y =
\int_{c}^{d}\left(\int_{u(y)}^{v(y)} f(x,y)\,\rmd x\right)\rmd y.
\]
\end{block}
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{fig3-6}
\caption{Domini $y$-elemental.}
\end{figure}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{rem}
\begin{itemize}
\item\justifying
 És molt normal que un domini $D\subset\R^{2}$ sigui
  simultàniament $x$-elemental i $y$-elemental. Aleshores, totes dues
  opcions són vàlides per integrar $\iint_{D} f$, però s'ha de veure
  quina dóna lloc a càlculs més simples.\medskip

\item\justifying
 Si el domini $D$ no encaixa en cap dels casos anteriors, sempre
 tenim la opció de dividir el domini en trossos que siguin
 $x$-elementals ó $y$-elementals i integrar per separat cadascun
 d'ells. De vegades, però, resulta més convenient l'ús de coordenades
 adaptades. Ho discutirem més endavant quan parlem de \emph{canvis de
  variables}.
\end{itemize}
\end{rem}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{ex}\justifying
Escriviu les dues integrals iterades de la funció $f(x,y)$ corresponents als
dominis següents:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $D=\{(x,y)\in\R^{2}: 0\le x \le 1, 0\le y\le x^{2}\}$.
%(figura~\ref{fig:parabola})
\setcounter{saveenum}{\value{enumi}}
\end{enumerate}
\end{ex}
%\vspace{\baselineskip}
\begin{columns}
\column{0,33\textwidth}
%\begin{figure}
\includegraphics[width=1.25\textwidth]{fig3-14}
%\caption{figura limitada per la paràbola $y=x^{2}$ i l'eix horitzontal
%per $0\le x\le 1$.\label{fig:parabola}}
%\end{figure}
\column{0,64\textwidth}
\begin{align*}
\iint_{D}\! f(x,y)\,\rmd x \rmd y &=
\int_{0}^{1}\!\left(\int_{0}^{x^{2}}\! f(x,y)\,\rmd y\right)\rmd x\\
&= \int_{0}^{1}\!\left(\int_{\sqrt{y}}^{1}\! f(x,y)\,\rmd x\right)\rmd y.
\end{align*}
\end{columns}
%\end{enumerate}
%\end{ex}

\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{block}{}
\begin{enumerate}[(i)]
\setcounter{enumi}{\value{saveenum}}
\item $D:$ domini limitat per les corbes $y=x^{2}$ i $y^{2}=x$.
%(veure figura~\ref{fig:circ-par} )
\setcounter{saveenum}{\value{enumi}}
\end{enumerate}
\end{block}
\begin{columns}
\column{0,33\textwidth}
%\flushleft
%\begin{figure}
\includegraphics[width=1.4\textwidth]{fig3-15}
%\caption{\justifying
%domini limitat per $y=x^{2}$ i $y^{2}=x$.\label{fig:parboles}}
%\end{figure}
\column{0,64\textwidth}
\begin{align*}
\iint_{D}\! f(x,y)\,\rmd x \rmd y
&=\int_{0}^{1}\!\left(\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}\! f(x,y)\,
\rmd y\right)\rmd x\\
&= \int_{0}^{1}\!\left(\int_{y^{2}}^{\sqrt{y}}\! f(x,y)\,
\rmd x\right)\rmd y.
\end{align*}
\end{columns}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
%\vspace{-\baselineskip}
\begin{block}{}
\begin{enumerate}[(i)]
\setcounter{enumi}{\value{saveenum}}
\item $D:$ domini limitat per les corbes $y^{2}=x$,
  $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ i $y\ge 0$. %(figura~\ref{fig:circ-par}).
\end{enumerate}
\end{block}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{fig3-16}
%\caption{\label{fig:circ-par} Domini limitat per les corbes
%$y^{2}=x$, $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ i $y\ge 0$.}
\end{figure}
%\vspace{-0,75\baselineskip}
\begin{align*}
\iint_{D}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y
&= \int_{0}^{1}\!\left(\int_{y^{2}}^{1+\sqrt{1-y^{2}}}\! f(x,y)\,
\rmd x\right)\rmd y\\
&= \int_{0}^{1}\!\left(\int_{0}^{\sqrt{x}}\! f(x,y)\,\rmd y\right)
\rmd x +
\int_{1}^{2}\!\left(\int_{0}^{\sqrt{2x-x^{2}}}\! f(x,y)\,\rmd y\right)
\rmd x.
\end{align*}
%
%\begin{columns}
%\column{0,65\textwidth}
%\begin{align*}
%\iint_{D}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y
%&= \int_{0}^{2}\!\left(\int_{y^{2}}^{1+\sqrt{1-y^{2}}}\! f(x,y)\,
%\rmd x\right)\rmd y\\
%&= \int_{0}^{1}\!\left(\int_{0}^{\sqrt{x}}\! f(x,y)\,\rmd y\right)
%\rmd x +
%\int_{1}^{2}\!\left(\int_{0}^{\sqrt{2x-x^{2}}}\! f(x,y)\,\rmd y\right)
%\rmd x
%\end{align*}
%\column{0,33\textwidth}
%\includegraphics[width=1.3\textwidth]{fig3-16}
%\end{columns}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\vspace{-0,75\baselineskip}
\begin{ex}
Calculeu $I=\iint_{D}\! \rme^{\frac{y}{x}}\,\rmd x\rmd
y$ on $D$ és el triangle de vèrtexs $(0,0)$, $(1,0)$ i $(1,1)$.
\end{ex}
%\begin{columns}
%\column{0,7\linewidth}\justifying
Veiem que no podem calcular la integral:
\[
 I=\int_{0}^{1}\!\left(
\int_{y}^{1} \rme^{\frac{y}{x}}\,\rmd x\right)\rmd y,
\]
ja que la primitiva $\int\!\rme^{\frac{y}{x}}\,\rmd x$
no és expressable en termes de funcions elementals. Així que ho haurem
de calcular amb l'altra:
\begin{columns}
\column{0,65\textwidth}
\begin{align*}
\int_{0}^{1}\!\left(\int_{0}^{x}\! \rme^{\frac{y}{x}}\,\rmd y\right)\rmd x &=
\int_{0}^{1}\left[ x\rme^{\frac{y}{x}}\right]_{y=0}^{y=x}\,\rmd x\\
&= \int_{0}^{1}\! x(\rme -1)\,\rmd x\\
&= (\rme -1)\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{x=0}^{x=1}
=\frac{\rme -1}{2}.
\end{align*}
\column{0,3\textwidth}
\includegraphics[width=1.1\textwidth]{fig3-17}
\end{columns}
\end{frame}
%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Teorema de Fubini per funcions de tres variables}
\begin{itemize}
\item\justifying
Si $g(x,y,z)$ és contínua en $P=[a,b]\times [c,d]\times [e,f]$,
llavors totes les \emph{integrals iterades} existeixen i el seu valor
és el mateix i igual al valor de la integral sobre $P$. Així:
\begin{displaymath}
\iiint_{P}\! g(x,y,z)\,\rmd x\rmd y\rmd z =
\int_{a}^{b}\!\left[\!\int_{c}^{d}\left(\!\int_{e}^{f}\! g(x,y,z)\,\rmd z
\right)\rmd y\right]\rmd x
\end{displaymath}
o en qualsevol ordre en què es considerin les integrals iterades
respecte $x, y, z$.
%

\item\justifying
Si $D$ és un domini elemental i el podem parametritzar, per exemple,
com:
\[
a\le x\le b,\quad \varphi_{1}(x)\le y\le \varphi_{2}(x),\quad
\gamma_{1}(x,y)\le z\le \gamma_{2}(x,y).
\]
Llavors:
\[
\iiint_{D}\! f(x,y,z)\,\rmd x\rmd y\rmd z =
\int_{a}^{b}\!\left[\!\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}
\left(\!\int_{\gamma_{1}(x,y)}^{\gamma_{2}(x,y)}\! g(x,y,z)\,\rmd z
\right)\rmd y
\right]\rmd x.
\]
\end{itemize}
%\begin{block}{}

\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}

\vspace{-\baselineskip}
\begin{ex}
Calculeu $I=\iiint_{D}\! 2 z\,\rmd x\rmd y\rmd z$, on $D$ és el domini
de $\R^{3}$ definit per les restriccions:
\[
 x, y, z\ge 0,\qquad x^{2}+y\le 1,\qquad z\le x^{2}+y^{2}.
\]
\end{ex}

\vspace{-0,5\baselineskip}
\begin{align*}
I &= \int_{0}^{1}\!\left[\!\int_{0}^{1-x^{2}}\!\left(\!
\int_{0}^{z=x^{2}+y^{2}}\!
2z\,\rmd z\right)\rmd y\right]\rmd z
=
\int_{0}^{1}\!\left(\!\int_{0}^{1-x^{2}}\!\left[
    z^{2}\right]_{z=0}^{z=x^{2}+y^{2}}\,\rmd y\right)\rmd x\\
&=
\int_{0}^{1}\!\left(\!\int_{0}^{1-x^{2}}\! (x^{2}+y^{2})^{2}\,
\rmd y\right)\rmd x
= \int_{0}^{1}\!\left(\!\int_{0}^{1-x^{2}}\!
  (x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4})\,\rmd y\right)\rmd x\\
&=
\int_{0}^{1}\!\left[x^{4}y
  +\frac{2}{3}x^{2}y^{3}+\frac{y^{5}}{5}\right]_{y=0}^{y=1-x^{2}}\,
\rmd x\\
&= \int_{0}^{1}\!\left[x^{4}(1-x^{2}) +\frac{2}{3}x^{2}(1-x^{2})^{3}+
\frac{1}{5}(1-x^{2})^{5}\right]\,\rmd x\\
&=
\int_{0}^{1}\!\left[\frac{1}{5} - \frac{x^{2}}{3} + x^{4} -x^{6} +
\frac{x^{8}}{3} -\frac{x^{10}}{5}\right]\rmd x = \dots = \frac{1714}{10395}.
\end{align*}
\end{frame}

\section{Canvis de coordenades (CdCs) }
%\subsection{CdCs per integrals dobles}
\begin{frame}{CdCs per integrals dobles}\justifying
Siguin $D, D^{\ast}$ oberts acotats de $\R^{2}$. Considrem l'aplicació
\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
T: D^{\ast} & \longrightarrow & D\\
(u,v) & \longrightarrow &
(x,y) = (x(u,v),y(u,v))
\end{array}
\end{displaymath}
$(u,v)$ són les coordenades ``noves'' i $(x,y)$ són les coordenades
``velles'', on:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $T$ és almenys $C^{1}$ i bijectiva i per tant $\exists\,
  T^{-1}:D\rightarrow D^{\ast}$.
\item\justifying $\det D T(u,v)\ne 0\,\forall (u,v)\in
  D^{\ast}\Rightarrow T^{-1}$ també és de classe $C^{1}$ (Teorema de
  la funció Inversa).
\item La matriu:
\begin{displaymath}
DT(u,v) =
\left(\!\!\begin{array}{cc}
\dfrac{\partial x}{\partial u}{(u,v)} &
       \dfrac{\partial x}{\partial v}{ (u,v)}\\ [0.1in]
\dfrac{\partial y}{\partial u}{(u,v)} &
       \dfrac{\partial y}{\partial v}{(u,v)}
\end{array}\!\!\!\right)
\end{displaymath}
és la matriu de derivades parcials o \emph{matriu Jacobiana}.
\end{enumerate}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{defn}\justifying
Anomenarem \emph{Jacobià} de $T$ al determinant de $DT(u,v)$.
%  i el
% denotarem per
% \[
% \mathcal{J}_{T}(u,v):=\det DT(u,v).
% \]
\end{defn}

\vspace{\baselineskip}
\begin{thm}[canvi de variables per funcions de dues variables]
\justifying
Siguin $D, D^{\ast}$ dos oberts acotats del pla y
$T: D^{\ast}\rightarrow D$ un canvi de variable. Si $f:D\rightarrow\R$
és una funció integrable, es satisfà:
\begin{displaymath}
\iint_{D}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y =
\iint_{D^{\ast}} f(x(u,v),y(u,v)) |\det DT(u,v)|\,\rmd u\rmd v.
\end{displaymath}

\end{thm}
\begin{cor}[Canvi de variables pel càlcul d'àrees]
\[
\iint_{D}\! 1\,\rmd x\rmd y = \iint_{D^{\ast}}\! |\det DT(u,v)|\,
\rmd u\rmd v.
\]
\end{cor}

El canvi de variables més important en el pla són les
\emph{coordenades polars.}

\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Coordenades polars (1/2)}\justifying
Les coordenades polars vénen definides pel canvi:
\[
\begin{array}{rcl}
  T: (0,+\infty)\times (0,2\pi) & \longrightarrow &
 \R^{2}\setminus \{(x,y)\in\R^{2}: x\ge 0, y=0\}\\ [0.05in]
(r,\theta) & \longrightarrow &
(x,y) = (r\cos\theta,r\sin\theta).
\end{array}
\]

\vspace{-\baselineskip}
\begin{columns}
\column{0,3\textwidth}
\includegraphics[width=1.1\textwidth]{fig3-18}
\column{0,7\textwidth}

\vspace{0,5\baselineskip}
%\begin{rem}\justifying
\begin{itemize}
\item El fet de què les coordenades polars no recobreixin la semi-recta:

\vspace{-\baselineskip}
\[
\{(x,y)\in\R^{2}: x\ge 0, y=0\}
\]

%\vspace{-0,4\baselineskip}
no té influència en el càlcul de la integral ja que és un conjunt
d'àrea zero.
%\end{rem}
\end{itemize}
\end{columns}

%\vspace{-\baselineskip}
%\[
%\begin{array}{rl}
%r =& \sqrt{x^{2}+y^{2}},\\ [0.1in]
%\theta =& \arctan\dfrac{y}{x}.
%\end{array}
%\quad\text{ o millor: }
\[
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad
\theta = \begin{cases}
2\arctan\frac{y}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & \text{ si } y\ge 0,\\
2\pi+2\arctan\frac{y}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, &
\text{ si } y < 0.
\end{cases}
\]
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Coordenades polars (2/2)}\justifying
%\begin{block}{Jacobià}
%\end{block}
%\flushleft {\Large Coordenares polars}

\vspace{-2,5\baselineskip}
\begin{itemize}
\item El jacobià de les coordenades polars és:
\begin{multline*}
\det DT(r,\theta)= \left|\!\begin{array}{cc}
\dfrac{\partial x}{\partial r}(r,\theta) &
\dfrac{\partial x}{\partial\theta}(r,\theta)\\ [0.1in]
 \dfrac{\partial y}{\partial r}(r,\theta) &
\dfrac{\partial y}{\partial\theta}(r,\theta)
\end{array}\!\right|\\
 =\left|\!\begin{array}{cr}
   \cos\theta & -r\sin\theta\\
   \sin\theta &  r\cos\theta
 \end{array}\!\right| = r(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta) = r.
\end{multline*}
\item Per tant, si $D= T(D^{\ast})$, tenim:
\[
\iint_{D}\! f(x,y)\,\rmd x\rmd y =
\iint_{D^{\ast}}\! f(r\cos\theta,r\sin\theta) r\,\rmd r\rmd\theta.
\]
\end{itemize}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{CdCs per funcions de 3 variables (1/2)}\justifying
L'extensió de dels CdCs al cas de funcions de tres o més
variables \'{e}s directa i no presenta cap dificultat conceptual.

\vspace{\baselineskip}
Siguin $D, D^{\ast}$ oberts acotats de $\R^{3}$ i,
\[
(u,v,w)\in D^{\ast} \xrightarrow{T}
(x,y,z) = (x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\in D
\]
%\begin{displaymath}
%\begin{array}{rcl}
%T: D^{\ast} & \longrightarrow & D\\
%(u,v,w) & \longrightarrow &
%(x,y,z) = (x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))
%\end{array}
%\end{displaymath}
un canvi de variables $C^{1}$. El seu jacobià \'{e}s:
\[
\det DT(u,v,w) =
\left|\!\!\begin{array}{ccc}
\dfrac{\partial x}{\partial u}{(u,v,w)} &
       \dfrac{\partial x}{\partial v}{(u,v,w)} &
       \dfrac{\partial x}{\partial w}{(u,v,w)} \\ [0.1in]
\dfrac{\partial y}{\partial u}{(u,v,w)} &
       \dfrac{\partial y}{\partial v}{(u,v,w)} &
       \dfrac{\partial y}{\partial w}{(u,v,w)} \\ [0.1in]
\dfrac{\partial z}{\partial u}{(u,v,w)} &
       \dfrac{\partial z}{\partial v}{(u,v,w)} &
       \dfrac{\partial z}{\partial w}{(u,v,w)}
\end{array}\!\!\!\right|.
\]
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{CdCs per funcions de 3 variables (2/2)}

\vspace{-2,5\baselineskip}
Així, si $f:D\rightarrow\R$ és integrable i $D = T(D^{\ast})$, tenim:
\begin{multline*}
\iiint_{D}\! f(x,y,z)\,\rmd x\rmd y\rmd z =\\
\iiint_{D^{\ast}}\! f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) |\det DT(u,v,w)|\,
\rmd u\rmd v\rmd w.
\end{multline*}
Les coordenades més usuals en $\R^{3}$ són les
\emph{cilíndriques i les esfèriques.}

\vfill
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Coordenades cilíndriques (1/2)}\justifying
Estan definides de la  forma següent:
\[
\begin{array}{rcl}
  T: (0,+\infty)\times (0,2\pi)\times\R & \longrightarrow &
 \R^{3}\setminus \{(x,y,z)\in\R^{3}: x\ge 0, y=0, z\in\R\}\\ [0.05in]
(r,\theta, z) & \longrightarrow &
(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta, z).
\end{array}
\]

%\vspace{0,25\baselineskip}
\begin{columns}
\column{0,2\textwidth}
\includegraphics[width=1.4\textwidth,height=0.4\textheight]{cilindricas}
\column{0,8\textwidth}

%\vspace{-2\baselineskip}
\begin{itemize}
\item\justifying
Si projectem $P=(x,y,z)$ en el pla $xy$, obtenim el punt $Q=(x,y,0)$,
llavors $(r,\theta)$ són les corresponents coordenades
polars d'aquest punt,
%\[
%x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
%\]
mentre que $z$ dóna l'alçada del punt.
\item\justifying El nom de coordenades cilíndriques és clar, ja que si
  fixem el valor de $r=R$, llavors la transformació:
\[
(x,y,z)=T_{R}(\theta,z):= T(R,\theta,z)=(R\cos\theta, R\sin\theta, z)
\]
parametritza un cilindre de base circular amb radi $R$.
\end{itemize}
\end{columns}

\vspace{0,5\baselineskip}
\begin{columns}
\column{1.1\textwidth}
\begin{itemize}
\item\justifying
 Les coordenades cilíndriques són útils quan el
 domini d'integra\-ció presenti simetria cilíndrica, i.e., de rotació
 respecte de una recta.
\end{itemize}
\end{columns}

\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Coordenades cilíndriques (2/2)}\justifying
\begin{itemize}
\item\justifying
 El conjunt de punts per als quals les coordenades no estan
  definides és un semiplà. Com que és un conjunt de volumn zero això
  no comporta cap dificultat en el càlcul de la integral.
\item\justifying
el seu jacobià és $\det DT(r,\theta,z)=$
\begin{displaymath}
\left|\!\!\begin{array}{ccc}
\dfrac{\partial x}{\partial r}{(r,\theta,z)} &
       \dfrac{\partial x}{\partial\theta}{(r,\theta,z)} &
       \dfrac{\partial x}{\partial z}{(r,\theta,z)} \\ [0.1in]
\dfrac{\partial y}{\partial r}{(r,\theta,z)} &
       \dfrac{\partial y}{\partial\theta}{(r,\theta,z)} &
       \dfrac{\partial y}{\partial z}{(r,\theta,z)} \\ [0.1in]
\dfrac{\partial z}{\partial r}{(r,\theta,z)} &
       \dfrac{\partial z}{\partial\theta}{(r,\theta,z)} &
       \dfrac{\partial z}{\partial z}{(r,\theta,z)}
\end{array}\!\!\right| =
\left|\!\!\begin{array}{crc}
\cos\theta & -r\sin\theta & 0\\
\sin\theta & r\cos\theta & 0\\
0 & \multicolumn{1}{c}{0} & 1
\end{array}\!\!\right| = r.
\end{displaymath}
\item Aleshores:
\[
\iiint_{D}\! f(x,y,z)\,\rmd x\rmd y\rmd z =
\iiint_{D^{\ast}}\! f(r\cos\theta,r\sin\theta,z) r\,
\rmd r\rmd \theta \rmd z.
\]
\end{itemize}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Coordenades esfèriques (1/2)}
Estan definides per:
\[
\begin{array}{rcl}
  T:(0,+\infty)\times (0,2\pi)\times (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
  & \longrightarrow &
 \R^{3}\setminus \{x\ge 0, y=0, z\in\R\}\\ %[0.05in]
(r,\theta,\varphi) & \longrightarrow &
(x,y,z) = \\
& & (r\cos\theta\cos\varphi,r\sin\theta\cos\varphi,
r\sin\varphi).
\end{array}
\]

%\vspace{0,25\baselineskip}
\begin{columns}
\column{0,3\textwidth}
\includegraphics[width=1.2\textwidth]{esfericas}
\column{0,75\textwidth}

\vspace{-0,75\baselineskip}
\begin{itemize}
\item\justifying
$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ és la distància del punt $M=(x,y,z)$ a
l'origen $O=(0,0,0)$.
\item\justifying $\varphi\equiv$ latitud: l'angle que forma el
  vector de posició del punt $M=(x,y,z)$ amb la seva projecció al pla
  $xy$ ($\varphi>0$ en l'hemisferi nord).
\item\justifying
 $\theta\equiv$ longitud: l'angle que forma la projecció $(x,y,0)$
del vector de posició del punt $M=(x,y,z)$ sobre el pla $xy$ amb l'eix $x$.
%\item\justifying
%El nom de coordenades esfèriques és clar: si fixem $r=R$, llavors la
%transformació $T_{R}(\theta,\varphi):=T(R,\theta,\varphi)$ parametritza
%una esfera de radi $R$.
\end{itemize}
\end{columns}

\vspace{0,5\baselineskip}
\begin{columns}
\column{1.1\textwidth}
\begin{itemize}
\item\justifying
El nom de coordenades esfèriques és clar: si fixem $r=R$, llavors la
transforma\-ció $T_{R}(\theta,\varphi):=T(R,\theta,\varphi)$ parametritza
una esfera de radi $R$.
\end{itemize}
\end{columns}

%\vspace{0,5\baselineskip}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------------------
%\begin{frame}
\begin{frame}{Coordenades esfèriques (2/2)}
%
%\vspace{1,75\baselineskip}
\begin{itemize}
\item\justifying
 Les coordenades esfèriques són útils quan el
 domini d'integra\-ció presenti simetria esfèrica, i.e., simetria
 respecte un punt.
\item\justifying
El seu jacobià és:
%\begin{align*}
%J_{T}(r,\theta,\varphi)&=
%\left|\!\!\begin{array}{ccc}
%\dfrac{\partial x}{\partial r}{(r,\theta,\varphi)} &
%       \dfrac{\partial x}{\partial\theta}{(r,\theta,\varphi)} &
%       \dfrac{\partial x}{\partial\varphi}{(r,\theta,\varphi)} \\ [0.1in]
%\dfrac{\partial y}{\partial r}{(r,\theta,\varphi)} &
%       \dfrac{\partial y}{\partial\theta}{(r,\theta,z)} &
%       \dfrac{\partial y}{\partial\varphi}{(r,\theta,\varphi)} \\ [0.1in]
%\dfrac{\partial z}{\partial r}{(r,\theta,\varphi)} &
%       \dfrac{\partial z}{\partial\theta}{(r,\theta,\varphi)} &
%       \dfrac{\partial z}{\partial\varphi}{(r,\theta,\varphi)}
%\end{array}\!\!\right|\\
\begin{align*}
\det DT(r,\theta,\varphi) &=
\left|\!\!\begin{array}{crc}
\cos\varphi\cos\theta & -r\cos\varphi\sin\theta &
-r\sin\varphi\cos\theta\\
\cos\varphi\sin\theta & r\cos\varphi\cos\theta &
-r\sin\varphi\sin\theta\\
\sin\varphi & \multicolumn{1}{c}{0} & r\cos\varphi
\end{array}\!\!\right|\\
&= r^{2}\cos\varphi.
\end{align*}
%\end{align*}
Observem que  $r^{2}\cos\varphi > 0$ si $r>0$ i $-\frac{\pi}{2} < \varphi
< \frac{\pi}{2}$.
\item Així:
\begin{multline*}
\iiint_{D}\! f(x,y,z)\,\rmd x\rmd y\rmd z\\
 = \iiint_{D^{\ast}}\!
f(r\cos\theta\cos\varphi,r\sin\theta\cos\varphi,r\sin\varphi)
r^{2}\cos\varphi\,
\rmd r \rmd\theta \rmd\varphi.
\end{multline*}
\end{itemize}
\end{frame}

\end{document}

%%----------------------------------------------------------------------------


%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
