% transpas_Extrems.tex
\documentclass[slidetop,compress,mathserif,10pt,handout]{beamer}
\setbeamertemplate{theorems}[numbered]
\setbeamertemplate{caption}[numbered]

%\textwidth 1,12\textwidth

%\usecolortheme{lily}
\usepackage{ragged2e}
\justifying

\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{wrapfig}
%\usepackage{theorem}
\usepackage[catalan]{babel}
\selectlanguage{catalan}
\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[font=scriptsize,labelformat=simple]{caption}
\usepackage[rightcaption]{sidecap}
%\usepackage{leftidx}


\usepackage{ifpdf}
\usepackage{graphicx}
\DeclareGraphicsExtensions{.eps}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{shortlst}

%-------------
% pdflatex,
%Macros para producir hyperlinks
\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.jpg,.png}
\hypersetup{
  pdfauthor   = {J.R. Pacha},
  pdftitle    = {Extrems de funcions de v\`{a}ries variables},
  pdfsubject  = {C\`alcul 2: extrems},
    % pdfpagemode = {FullScreen},
    pdfstartview = {},
    colorlinks  = {true},
    %bookmarks   = {true},
    %pagebackref = {true},
    bookmarksnumbered = {true},
    hyperindex  = {true}
  }
  \pdfadjustspacing=1

\usepackage{url}


% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Teorema}%[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Coro\lgem ari}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposició}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}[thm]{Definició}
\theoremstyle{remark}
%\newtheorem{rem}[thm]{Remarca}
\newtheorem{rem}{Remarca}
%\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}
\newtheorem{ex}{Exemple}
%\numberwithin{equation}{section}

\newenvironment{demo}
{\textsc{Demostració. }}{\quad \hfill $\blacksquare$}

% MATH -----------------------------------------------------------
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\bs}[1]{\ensuremath{\boldsymbol{#1}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\M}{\ensuremath{\mathbb{M}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\eps}{\ensuremath{\epsilon}}
\newcommand{\veps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
\newcommand{\BX}{\mathbf{B}(X)}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\Or}{\mathcal{O}}

\newcommand{\argcosh}{\ensuremath{\mathrm{argcosh}}\,}
\newcommand{\argsinh}{\ensuremath{\mathrm{argsinh}}\,}
\newcommand{\argtanh}{\ensuremath{\mathrm{argtanh}}\,}
\newcommand{\argcoth}{\ensuremath{\mathrm{argcoth}}\,}

\newcommand{\rme}{\mathrm{e}}
\newcommand{\rmi}{\mathrm{i}}
\newcommand{\rmd}{\mathrm{d}}

\newcommand{\re}{\mathrm{Re\:}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im\:}}

\newcommand{\wt}[1]{\ensuremath{\widetilde{#1}}}

\DeclareMathOperator{\Hessian}{Hess}

% ----------------------------------------------------------------

\newcommand{\gl}{\guillemotleft}
\newcommand{\gr}{\guillemotright}
\newcommand{\sst}{\ensuremath{\scriptstyle}}
\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} %{$\scriptstyle (*)$}

% Counters -------------------------------------------------------
\newcounter{saveenum}


%\usetheme{boxes}
%\usetheme{Singapore}
%\usetheme{Pittsburgh}
%\usetheme{Rochester}
%\usetheme{progressbar}
%\usefonttheme{progressbar}
%\usecolortheme{progressbar}
%\usecolortheme{crane}
%\useinnertheme{progressbar}
%\useoutertheme{progressbar}

\beamersetuncovermixins{\opaqueness<1>{25}}{\opaqueness<2->{15}}

%\progressbaroptions{headline=none,
%frametitle=picture-section,titlepage=normal,
%imagename=two-squares}

%\logo{\includegraphics[scale=0.25]{logo}}

%\setbeamerfont{title}{shape=\itshape,family=\rmfamily}
%\setbeamercolor{title}{fg=red!80!black,bg=blue!20!white}
\setbeamertemplate{caption}[numbered]
\setbeamerfont{caption}{size=\scriptsize}

\newenvironment<>{varblock}[2][\textwidth]{%
  \setlength{\textwidth}{#1}
  \begin{actionenv}#3%
    \def\insertblocktitle{#2}%
    \par%
    \usebeamertemplate{block begin}}
  {\par%
    \usebeamertemplate{block end}%
  \end{actionenv}}

\begin{document}

 \title[]%
 {{\Large Extrems de funcions de v\`{a}ries variables}\\
  {\large Font: M.L.~Krasnov, G.I.~Makarenko,
    A.I.~Kiseliov.}\\
 {\large\emph{C\'{a}lculo Variacional}.  Ed.~Mir, Mosc\'{u}, 1992.} \\
{\large Cap\'{\i}tol 1 (almost verbatim)}
 }

\date{}
\maketitle

\begin{frame}\justifying
Sigui $f(x)=f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ una funci\'{o} escalar
definida en un cert domini $D\subseteq\R^{n}$.

\hspace*{20pt} Es diu que la funci\'{o} $f(x)$ assoleix el seu valor
m\`{a}xim (m\'{\i}nim) absolut al punt $a =
(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})\in D$ si
\begin{displaymath}
 f(x) \le f(a)\qquad (f(x)\ge f(a))
\end{displaymath}
per a qualsevol punt $x\in D$.

\vspace{\baselineskip}
\begin{thm}[Bolzano-Weierstrass] Tota funci\'{o} cont\'{\i}nua
  definida en un compacte $K$ de $\R^{n}$ assoleix en ell els seus valors
  m\`{a}xim i m\'{\i}nim. Aix\`{o} vol dir que existeixen
  $x^{(M)}$, $x^{(m)}\in K$ tals que,
\begin{displaymath}
   f(x)\le f(x^{(M)}),\qquad
   f(x)\ge f(x^{(m)}),
\end{displaymath}
per a tot $x\in K$.
\end{thm}
\end{frame}


\begin{frame}\justifying
%\frametitle{Continuïtat i límit de funcions  d'$1$ variable}
\begin{defn}%[]
\label{def:extremsRelatius}
\begin{itemize}\justifying
\item Direm que $a = (a_{1},a_{2},\dots,a_{n})\in D$ \'{e}s un punt de
m\`{a}xim relatiu estricte (un punt de m\'{\i}nim relatiu estricte,
respectivament) de la funci\'{o} $f(x)$ si existeix $\delta > 0$
tal que,
\begin{displaymath}
    f(x) < f(a)\qquad (f(x) > f(a), \text{ respectivament})
\end{displaymath}
per a tot $x\in D\cap
\left(B^{n}_{\delta}(a)\setminus\{a\}\right)$.

\item  Per contra, si existeix $\delta > 0$ tal que
\begin{displaymath}
   f(x) \le f(a)\qquad (f(x) \ge f(a), \text{ respectivament})
\end{displaymath}
per a tot $x\in D\cap B^{n}_{\delta}(a)$, direm simplement que el
punt $a$ \'{e}s un punt de m\`{a}xim relatiu (un punt de
m\'{\i}nim relatiu, respectivament).
\end{itemize}
\end{defn}

\begin{defn}\justifying
Ells punts de m\`{a}xim i de m\'{\i}nim de la funci\'{o}
  $f(x)$ s'anomenen punts d'extrem de la funci\'{o}. Aix\'{\i},
  segons sigui el cas, parlarem d'extrems absoluts, o d'extrems
  relatius, o d'extrems relatius estrictes.
\end{defn}
%
\end{frame}

%%------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{thm}[Condici\'{o} necess\`{a}ria d'extrem]\justifying
Sigui $f(x)$, $x=(x_{1},\dots,x_{n})$ una funci\'{o} definida en
un entorn del punt $a = (a_{1},\dots,a_{n})$. Si aquest punt
\'{e}s un punt d'extrem de la funci\'{o} $f(x)$ i si en ell
existeixen les derivades $D_{x_{j}}f(a)$ $(j = 1,\dots,n)$, totes
aquestes derivades s\'{o}n iguals a zero:
\begin{displaymath}
   D_{x_{j}}f(a) = 0\qquad (j = 1,2,\dots,n).
\end{displaymath}
\end{thm}

\begin{defn}\justifying
Els punts on es verifica la condici\'{o} necess\`{a}ria d'extrem
de la funci\'{o} $f(x)$ s'anomenen punts cr\'{\i}tics de la funci\'{o}.
\end{defn}

\begin{rem}\justifying
\'{E}s clar que no tots els punts cr\'{\i}tics d'una funci\'{o}
corresponen a extrems de la mateixa. Per exemple $(x,y) = (0,0)$
\'{e}s un punt cr\'{\i}tic de $f(x,y) = x^{2}-y^{2}$ per\`{o} la
funci\'{o} no t\'{e} extrems en ell (en qualsevol entorn del $(0,0)$ hi
ha punts on la funci\'{o} pren valors tant positius com negatius,
mentre que $f(0,0) = 0$).
\end{rem}
\end{frame}

%%---------------------------------------------------------------------
\begin{frame}\justifying
Sigui $A\in\M_{n\times n}(\R)$, $A^{\top} = A$.

\begin{defn}
\begin{itemize}\justifying
\item $A$ \'{e}s definida positiva (definida negativa, respect.)
si $x^{\top}A x > 0$ (si $x^{\top}A x < 0$, respect.) per a tot
$x\in\R^{n}$, $x\ne 0$, i s'anu\lgem a nom\'{e}s quan $x = 0$,
aix\`{o} \'{e}s, quan $x_{1}  = x_{2} = \dots = x_{n} = 0$.
\item $A$ s'anomena no negativa si $x^{\top}A x$ mai pren valors
  negatius. Per exemple, les matrius
\begin{displaymath}
   A_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\qquad
   \text{ i }\qquad
   A_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
\end{displaymath}
s\'{o}n totes dues no negatives. La primera \'{e}s definida
positiva perqu\`{e} $x^{\top}A_{1} x$ nom\'{e}s s'anu\lgem a per $x =
(0,0)^{\top}$, mentre que $x^{\top}A_{2} x$ s'anu\lgem a
tamb\'{e}, per exemple, per a $x = (-1,1)^{\top}$.
\item Una matriu sim\`{e}trica definida positiva o definida
  negativa s'anomena matriu definida.
\item Si $x^{\top}A x$ pren valors tant positius com negatius,
  direm que $A$ \'{e}s indefinida.
\end{itemize}
\end{defn}

\end{frame}

%%-----------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\begin{thm}[Condicions suficients d'extrem relatiu estricte]\justifying
Sigui $f(x) = f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ una funci\'{o} definida en
un entorn d'un punt $a = (a_{1},a_{2},\dots,a_{n})$ suposen que
$f(x)$ \'{e}s $C^{2}$ en aquest entorn i sigui $a$ un punt
cr\'{\i}tic de la funci\'{o} $f(x)$. Aleshores, si la matriu
hessiana
\begin{displaymath}
\Hessian f(a) = \begin{pmatrix}
  D^{2}_{x_{1} x_{1}} f(a) &  D^{2}_{x_{1} x_{2}} f(a) & \dots
    & D^{2}_{x_{1} x_{n}} f(a)\\
  D^{2}_{x_{2} x_{1}} f(a) &  D^{2}_{x_{2} x_{2}} f(a) & \dots
    & D^{2}_{x_{2} x_{n}} f(a)\\
   \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
  D^{2}_{x_{n} x_{1}} f(a) &  D^{2}_{x_{n} x_{2}} f(a) & \dots
    & D^{2}_{x_{n} x_{n}} f(a)
 \end{pmatrix}
\end{displaymath}
\'{e}s definida positiva (definida negativa, respectivament) el
punt $a$ \'{e}s un punt de m\'{\i}nim relatiu estricte (de m\`{a}xim
relatiu estricte, respectivament); si \'{e}s indefinida no hi ha
extrem en el punt $a$.
\end{thm}
\end{frame}


\begin{frame}\justifying
\frametitle{Criteri de Sylvester}
Condici\'{o} necess\`{a}ria i suficient perqu\`{e} $A\in\M_{n\times
  n}$, $A^{\top} = A$, sigui definida positiva \'{e}s que es
verifiqui
\begin{align*}
\varDelta_{1} &= a_{11} > 0,\quad
\varDelta_{2} = \begin{vmatrix}
              a_{11} & a_{12}\\
              a_{21}  & a_{22}\end{vmatrix} > 0,\quad
 \varDelta_{3} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
                                a_{21}  & a_{22} & a_{23}\\
                                a_{31}  & a_{32} &
                                a_{33}\end{vmatrix} > 0,\dots\\
&\qquad\quad \dots,\varDelta_{n} = \begin{vmatrix}
       a_{11} & a_{12} & \dots  & a_{1n}\\
       a_{21}  & a_{22} &\dots & a_{2n}\\
      \vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\
       a_{n1} & a_{n2} &\dots &
       a_{nn}\end{vmatrix} > 0. & &
\end{align*}
Condici\'{o} necess\`{a}ria i suficient perqu\`{e} $A\in\M_{n\times
  n}(\R)$, $A^{\top} = A$, sigui definida negativa \'{e}s que es
verifiqui
\begin{displaymath}
   \varDelta_{1} < 0,\quad \varDelta_{2} > 0,\quad
   \varDelta_{3} < 0, \dots,
   (-1)^{n}\varDelta_{n} > 0.
\end{displaymath}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Cas $n = 2$}\justifying
Sigui $f(x,y)$ una funci\'{o} definida en un entorn del punt
$(a_{1}, a_{2})$. Suposem que,
\begin{enumerate}\justifying
\item $f(x,y)$ \'{e}s de classe $C^{2}$ en aquest entorn.
\item $(a_{1}, a_{2})$ \'{e}s un punt cr\'{\i}tic, i.e.,
  $D_{x}f(a_{1},a_{2}) = D_{y}f(a_{1},a_{2}) = 0.$
% \begin{displaymath}
%   D_{x}f(a_{1},a_{2}) = D_{y}f(a_{1},a_{2}) = 0,
% \end{displaymath}
\end{enumerate}
Aleshores,
\begin{itemize}\justifying
\item Si $\varDelta(a_{1},a_{2}) := D^{2}_{xx}f(a_{1},a_{2})
  D^{2}_{yy}f(a_{1},a_{2}) - \left(D^{2}_{xy}f(a_{1},a_{2})\right)^{2} >
  0$, la funci\'{o} $f(x,y)$ t\'{e} un extrem relatiu estricte en aquest
  punt. Concretament:
\begin{itemize}
\item Un m\`{a}xim relatiu estricte si
\begin{displaymath}
    D^{2}_{xx}f(a_{1},a_{2}) < 0 \qquad (D^{2}_{yy}f(a_{1},a_{2}) < 0)
\end{displaymath}
\item Un m\'{\i}nim relatiu estricte si
\begin{displaymath}
    D^{2}_{xx}f(a_{1},a_{2}) > 0 \qquad (D^{2}_{yy}f(a_{1},a_{2}) > 0)
\end{displaymath}
\end{itemize}\justifying
\item Si $\varDelta(a_{1},a_{2}) < 0$ no hi ha extrem al punt
  $(a_{1},a_{2})$.
\item Per \'{u}ltim, si $\varDelta(a_{1},a_{2}) = 0$, en aquest punt
  pot haver o no un extrem. Aquest cas requereix un estudi
  complementari.
\end{itemize}
\end{frame}

%%----------------------------------------------------------------

\end{document}


%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% Endf
