\documentclass[12pt,reqno]{article}
\usepackage{teoria}
\def\Homogenea{\mathrm{h}}
\def\General{\mathrm{g}}
\def\Particular{\mathrm{p}}
\def\FinEjemplo{\hfill $\heartsuit$}
\def\FinEjemploDisplay{\tag*{$\heartsuit$}}

%\documentclass{amsart}
\begin{document}

\section{EDOs de primer ordre}
\hrule\smallskip \medskip
\noindent{\textbf{{\large{C\`alcul II /
        Introducció a les EDOS (Esquema)}}}
  \hfill\textsl{}} 
\par\par
\medskip\noindent{\textsl{Rafael Ramírez}}\hfill
\par\par\medskip\hrule\vspace{0.5cm}

%\newpage
%\tableofcontents
%\newpage

\noindent
Estudiem les equacions diferencials ordin\`{a}ries (EDOs)
de primer ordre en forma normal:
\[
y' = h(x,y),
\]
on $h: U \to \R$ \'es una funci\'o ``suficientement regular''
en un obert $U \subset \R^2$.
Busquem les seves solucions; \'es a dir,
funcions derivables $y(x)$ definides en un
interval obert $I \subset \R$ tals que
\[
y'(x) = h(x,y(x)),\qquad \forall x \in I.
\]

A continuaci\'o, introduim alguns conceptes:
\begin{itemize}
\item
La \emph{soluci\'o general} d'una EDO \'es
el conjunt de totes les seves solucions;
\item
Qualsevol element de la soluci\'o general rep el nom de
\emph{soluci\'o particular};
\item
Les solucions poden expressar-se en \emph{forma expl{\'\i}cita}: $y=y(x)$ o
\emph{impl{\'\i}cita}: $U(x,y) = 0$; i
\item
Si una EDO de primer ordre no est\'a en forma normal,
podem intentar \emph{normalitzar-la} (\'es a dir, a\"{\i}llar la derivada $y'$),
tot i que aleshores poden apar\`{e}ixer alguns \emph{punts singulars} (\'es a dir,
punts on la funci\'o $h(x,y)$ aix{\'\i} obtinguda no \'es ``suficientement regular'').
\end{itemize}

La soluci\'o general d'una EDO de primer ordre sol ser un conjunt
de solucions que dep\`en d'una constant d'integraci\'o $c \in \R$
que queda lliure.
Aquesta constant s'acostuma a determinar imposant que la soluci\'o de
l'equaci\'o compleixi una \emph{condici\'o inicial (c. i.)} de la forma
\[
y(x_0) = y_0.
\]
Direm que $x_0$ \'es el \emph{punt inicial} i que $y_0$ \'es el \emph{valor inicial}.

\begin{teor}[Teorema d'exist\`{e}ncia i unicitat per a EDOs de primer ordre]
Si la funci\'o $h(x,y)$ \'es de classe $C^1$ en un obert $W \subset \R^2$
i $(x_0,y_0) \in W$, aleshores el problema de valor inicial (PVI)
\[
y' = h(x,y),\qquad y(x_0) = y_0
\]
t\'e exactament una soluci\'o local;
\'es a dir, una \'unica soluci\'o definida en un interval obert $I \subset \R$
que cont\'e al punt inicial $x_0$.
\end{teor}

A l'assignatura de \emph{C\`{a}lcul 2} s'explica quan una funci\'o $h(x,y)$
\'es de classe $C^1$ en un obert $W \subset \R^2$.
Per als nostres prop\`{o}sits actuals \'es suficient con\`{e}ixer que les
sumes, restes, productes, quocients i composicions de polinomis,
exponencials, logaritmes i funcions trigonom\`{e}triques i hiperb\`{o}liques
s\'on de classe $C^1$ en els seus corresponents dominis.

Nom\'es estudiem les EDOs de primer ordre llistades a la taula seg\"uent.

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c}
EDO & Tipus & Soluci\'o general & Soluci\'o del PVI \\
\hline
$y' = f(x)$ &
$\begin{array}{c}
\mbox{C\`{a}lcul de} \\ \mbox{primitiva}
\end{array}$ &
$y(x) = F(x) + c$ &
$y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t) \rmd t$ \\
\hline
$g(y) y' = f(x)$ &
$\begin{array}{c}
\mbox{EDO} \\ \mbox{separable}
\end{array}$ &
$\begin{array}{c}
G(y) = F(x) + c \\ \mbox{(en forma impl{\'\i}cita)}
\end{array}$ &
$\begin{array}{c}
\int_{y_0}^y g(s) \rmd s = \int_{x_0}^x f(t) \rmd t \\
\mbox{(en forma impl{\'\i}cita)}
\end{array}$ \\
\hline
$y'=a(x) y$ &
$\begin{array}{c}
\mbox{EDO lineal} \\ \mbox{homog\`enia}
\end{array}$ &
$y_\Homogenea(x) = c \rme^{A(x)}$ &
$y(x) = y_0 \exp \left( \int_{x_0}^x a(t) \rmd t \right)$ \\
\hline
$y'=a(x) y + b(x)$ &
$\begin{array}{c}
\mbox{EDO} \\ \mbox{lineal no} \\ \mbox{homog\`{e}nia}
\end{array}$ &
$\begin{array}{c}
y_\General(x) = y_\Homogenea(x) + y_\Particular(x) \\
y_\Particular(x) = V(x) \rme^{A(x)} \\
V(x) = \int \rme^{-A(x)} b(x) \rmd x
\end{array}$ &
$\begin{array}{c}
\mbox{Es determina $c \in \R$} \\
\mbox{imposant la c. i.} \\
y(x_0) = y_0
\end{array}$
 \\
 \hline
$\begin{array}{c}
 P(x,y) + Q(x,y)y' = 0 \\
 \mbox{amb $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$}
 \end{array}
$ &
$\begin{array}{c}
\mbox{EDO} \\ \mbox{exacta}
\end{array}$ &
$\begin{array}{c}
 U(x,y)=c  \\
 \mbox{on $\frac{\partial U}{\partial x} = P$
       i $\frac{\partial U}{\partial y} = Q$} \\
\mbox{(en forma impl{\'\i}cita)}
\end{array}$  &
$\begin{array}{c}
\mbox{$U(x,y) = U(x_0,y_0)$} \\
\mbox{(en forma impl{\'\i}cita)}
\end{array}$
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Les EDOs de primer ordre m\'es simples i les seves solucions.
Les funcions $F(x)$, $G(y)$ i $A(x)$ s\'on primitives arbitr\`{a}ries
de les funcions $f(x)$, $g(y)$ i $a(x)$.}
\end{table}

A continuaci\'o expliquem com s'obtenen aquestes solucions.

Comencem per l'equaci\'o $y' = f(x)$, que t\'e com a solucions,
per definici\'o, les primitives de $f$.
La seva soluci\'o general \'es $y(x) = F(x) + c$,
perquè les primitives de $f$ difereixen entre elles en
una constant d'integraci\'o.
Tamb\'e podem utilitzar la notaci\'o  $y' = \frac{\rmd y}{\rmd x}$
i operar amb els diferencials $\rmd y$ i $\rmd x$:
\[
y' = f(x) \Leftrightarrow
\rmd y = f(x) \rmd x \Leftrightarrow
y = \int \rmd y = \int f(x) \rmd x = F(x) + c.
\]
Imposant la condici\'o inicial $y(x_0) = y_0$,
la constant de integraci\'o \'es $c = y_0 - F(x_0)$, per tant
\[
y(x) = y_0 + F(x) - F(x_0) =
y_0 + \Big[ F(t) \Big]_{t=x_0}^{t=x} =
y_0 + \int_{x_0}^x f(t) \rmd t.
\]

Operem de nou amb els diferencials per obtenir la
soluci\'o general de l'EDO separable:
\[
g(y) y' = f(x) \Leftrightarrow
g(y) \rmd y = f(x) \rmd x \Leftrightarrow
G(y) = \int g(y) \rmd y = \int f(x) \rmd x = F(x) + c.
\]
Imposant la condici\'o inicial $y(x_0) = y_0$,
la constant d'integraci\'o \'es $c = G(y_0) - F(y_0)$, per tant
\[
\int_{y_0}^y g(s) \rmd s =
\Big[ G(s) \Big]_{s=y_0}^{s=y} =
G(y) - G(y_0) =
F(x) - F(x_0) =
\Big[ F(t) \Big]_{t=x_0}^{t=x} =
\int_{x_0}^x f(t) \rmd t.
\]

\begin{exmp}\label{ej:SolucionImplicita}
Considerem l'EDO de primer ordre separable $y y' + x = 0$.
No est\`{a} en forma normal, per\`{o} podem normalitzar-la:
\[
y' = h(x,y) = -x/y.
\]
La funci\'o $h(x,y)=-x/y$ no est\`{a} definida en $y=0$.
Per tant, l'EDO \'es singular en la recta $\{y=0\}$
i treballarem en l'obert $W = \{ (x,y) \in \R^2 : y \neq 0 \}$.
Resolem l'EDO:
\[
\frac{\rmd y}{\rmd x} = -\frac{x}{y} \Leftrightarrow
y^2/2 = \int y \rmd y = - \int x\rmd x = - x^2/2 + c, \mbox{ $c \in \R$} \Leftrightarrow
x^2 + y^2 = r^2, \mbox{ $r^2 = 2c >0$}.
\]
Aquesta \'es la soluci\'o general en forma impl{\'\i}cita.
Les corbes obtingudes s\'on circunfer\`{e}ncies centrades en l'origen.
En aquest cas,
no resulta dif{\'\i}cil a\"{\i}llar la funci\'o inc\`{o}gnita $y=y(x)$
en la relaci\'o impl{\'\i}cita per obtenir la soluci\'o general
en forma expl{\'\i}cita:
\[
y = \pm \sqrt{r^2 - x^2},\qquad x \in I = (-r,r),\qquad r > 0.
\]
Constatem que la forma expl{\'\i}cita deixa d'estar ben definida
quan les circunfer\`{e}ncies-soluci\'o intersequen a la recta
de punts singulars.
\FinEjemplo
\end{exmp}

\begin{teor}
Si $A(x)$ \'es una primitiva de $a(x)$ i
$V(x)$ \'es una primitiva de $\rme^{-A(x)}b(x)$,
aleshores:
\begin{enumerate}
\item
$y_\Homogenea(x) = c \rme^{A(x)}$, $c \in \R$,
\'es la soluci\'o general de l'EDO lineal homog\`{e}nia $y' = a(x) y$.
\item
$y(x) = y_0 \exp \left( \int_{x_0}^x a(t) \rmd t \right)$ \'es la soluci\'o
del PVI lineal homogeni $y' = a(x) y$, $y(x_0) = y_0$.
\item
$y_\Particular(x) = V(x) \rme^{A(x)}$ \'es una soluci\'o particular de
l'EDO lineal no homog\`{e}nia $y' = a(x)y + b(x)$.
\item
$y_\General(x) = y_\Homogenea(x) + y_\Particular(x)$ \'es
la soluci\'o general de l'EDO lineal no homog\`{e}nia $y' = a(x) y + b(x)$.
\end{enumerate}
\end{teor}

\begin{proof}
~\begin{enumerate}
\item
L'EDO lineal homog\`{e}nia $y' = a(x) y$ \'es un cas especial d'EDO separable:
\[
y' = a(x)y \Leftrightarrow
\ln |y| = \int \frac{\rmd y}{y} = \int a(x) \rmd x = A(x) + k,
\mbox{ $k \in \R$} \Leftrightarrow
y(x) = c \rme^{A(x)}, \mbox{ $c = \pm \rme^k \neq 0$}.
\]
La funci\'o $y(x) \equiv 0$ tamb\'e \'es una soluci\'o
de l'EDO, de manera que podem treure la restricci\'o $c \neq 0$ i
dir que $c \in \R$.
Veiem on l'hem perdut, per a qu\`{e} no torni a passar.
El problema ha estat dividir per $y$, la qual cosa requereix estudiar el cas
$y = 0$ per separat.
A partir d'ara, cada vegada que resolem una EDO separable tindrem cura
de no perdre cap soluci\'o pel cam{\'\i}.
Finalment, comprovem que no ens hem deixat cap altra soluci\'o.
Si $y(x)$ \'es una soluci\'o qualsevol de
l'EDO lineal homog\`{e}nia $y' = a(x) y$, aleshores
\[
\left(\rme^{-A(x)}y(x)\right)' =
-A'(x) \rme^{-A(x)} y(x) + \rme^{-A(x)} y'(x) =
\big( -a(x) y(x) + a(x) y(x) \big) \rme^{-A(x)} \equiv 0.
\]
Aix\`{o} implica que $\rme^{-A(x)} y(x)$ \'es constant,
de manera que $y(x) = c \rme^{A(x)}$ per a alguna $c \in \R$.

\item
Imposant la c. i. $y(x_0) = y_0$, veiem que $c = y_0 \rme^{-A(x_0)}$.
Per tant, la soluci\'o del PVI \'es
\[
y(x) = y_0 \exp \big( A(x)-A(x_0) \big) =
y_0 \exp \left( \Big[ A(t) \Big]_{t=x_0}^{t=x} \right) =
y_0 \exp \left( \int_{x_0}^x a(t) \rmd t \right).
\]

\item
$y'_\Particular(x) =
 V'(x) \rme^{A(x)} + V(x) A'(x) \rme^{A(x)} =
 \rme^{-A(x)} b(x) \rme^{A(x)} + V(x) a(x) \rme^{A(x)} =
 a(x) y_\Particular(x) + b(x)$.

\item
\'Es suficient observar que $y(x)$ \'es una soluci\'o de l'EDO lineal no homog\`{e}nia
$y' = a(x) y + b(x)$ si i nom\'es si $z(x) = y(x) - y_\Particular(x)$
\'es una soluci\'o de l'EDO lineal homog\`{e}nia $z' = a(x) z$.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{exmp}
La soluci\'o general de l'EDO lineal homog\`{e}nia $y' = y/x$,
definida en $x > 0$, \'es
\[
y_\Homogenea(x) = c \exp \left( \int \frac{\rmd x}{x} \right) =
c \exp(\ln x) = cx,\qquad c \in \R.
\FinEjemploDisplay
\]
\end{exmp}

\begin{exmp}
Resoldre el PVI format per l'EDO lineal homog\`{e}nia $y' = \lambda y$ i
la c. i.~$y(x_0) = y_0$.

La soluci\'o del PVI \'es
$y_\Homogenea(x) =
 y_0 \exp \big( \int_{x_0}^x \lambda \rmd t \big) =
 y_0 \rme^{\lambda(x-x_0)}$.
\FinEjemplo
\end{exmp}

\begin{exmp}\label{ej:EDOLNH}
Resoldre el PVI format por l'EDO lineal no homog\`{e}nia $y' = \lambda y + b$ i
la c. i. $y(x_0) = y_0$.

\begin{itemize}
\item
\emph{Pas 1: Resoldre l'EDO lineal homog\`{e}nia.}
La soluci\'o general de $y' = \lambda y$ \'es
\[
y_\Homogenea(x) = c \rme^{\int \lambda \rmd x} = c \rme^{\lambda x},
\qquad c \in \R.
\]
\item
\emph{Pas 2: Trobar una soluci\'o particular.}
Com $A(x) = \lambda x$ \'es una primitiva de $a(x) \equiv \lambda$,
\[
V(x) = \int \rme^{-\lambda x} b \rmd x = - b \rme^{-\lambda x}/\lambda	.
\]
Per tant, $y_\Particular(x) = V(x) \rme^{A(x)} = -b/\lambda$ \'es
una soluci\'o particular de l'EDO lineal no homog\`{e}nia.
\item
\emph{Pas 3: Imposar la c.i.}
La soluci\'o general de l'EDO lineal no homog\`{e}nia \'es
\[
y_\General(x) = y_\Homogenea(x) + y_\Particular(x) =
c \rme^{\lambda x} - b/\lambda,\qquad c \in \R.
\]
Imposant que $y(x_0) = y_0$, veiem que $c = (y_0+b/\lambda)\rme^{-\lambda x_0}$,
de manera que
\[
y(x) = (y_0+b/\lambda) \rme^{\lambda (x-x_0)} - b/\lambda
\]
\'es la soluci\'o del PVI.
\FinEjemplo
\end{itemize}
\end{exmp}

\begin{ex}
Les f\'ormules de l'exemple~\ref{ej:EDOLNH} no s\'on v\`{a}lides quan $\lambda = 0$.
Provar que si $y(x)$ \'es la soluci\'o trobada en aquell exemple,
aleshores $\lim_{\lambda \to 0} y(x) = y_0 + b(x-x_0)$.
Comprovar que el l{\'\i}mit anterior \'es la soluci\'o del
PVI $y' = b$, $y(x_0) = y_0$.
\end{ex}

\begin{definition}
L'EDO $P(x,y)+Q(x,y)y'=0$ \'es \emph{exacta} quan
$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$.
\end{definition}

La notaci\'o anterior $\partial$ (derivada parcial) per a funcions de
v\`{a}ries variables substitueix a la derivada per a funcions d'una variable.
A l'assignatura de \emph{C\`{a}lcul 2} es defineixen les derivades parcials.
Per als nostres prop\`{o}sits actuals \'es suficient con\`{e}ixer que
la derivada parcial respecte una variable es determina derivant respecte
aquesta variable, considerant la resta de variables constants.

\begin{exmp}
L'EDO $P(x,y) + Q(x,y) y' = 0$, $P(x,y) = 2x + 1/y$
i $Q(x,y) = 1/y - x/y^2$, \'es exacta:
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{y^2} = \frac{\partial Q}{\partial x}.
\]
\end{exmp}

La soluci\'o general en forma impl{\'\i}cita de
l'EDO exacta $P(x,y)+Q(x,y)y'=0$ \'es
\[
U(x,y) = c,
\]
on $U(x,y)$ es \emph{qualsevol} funci\'o que compleix les condicions
$\frac{\partial U}{\partial x} = P$ i
$\frac{\partial U}{\partial y} = Q$.
Efectivament.
Derivant impl{\'\i}citament la relaci\'o $U(x,y) = c$ respecte la variable $x$,
veiem que
\[
P(x,y) + Q(x,y) y' =
\frac{\partial U}{\partial x}(x,y) + \frac{\partial U}{\partial y}(x,y) y' =
\frac{\rmd}{\rmd x} \big[ U(x,y) \big] =
\frac{\rmd}{\rmd x} \big[ c \big] = 0.
\]

\begin{exmp}
Per resoldre l'EDO exacta de l'exemple anterior,
busquem una funci\'o $U(x,y)$.
\begin{align*}
\frac{\partial U}{\partial x} = P = 2x + 1/y & \Rightarrow
U(x,y) = \int (2x+1/y) \rmd x = x^2 + x/y + k(y) \\
& \Rightarrow
k'(y) - x/y^2 = \frac{\partial U}{\partial y} = Q = 1/y - x/y^2 \Rightarrow
k'(y) = 1/y \\
& \Rightarrow
k(y) = \int \frac{\rmd y}{y} = \ln |y| \Rightarrow
U(x,y) = x^2 + x/y + \ln |y|.
\end{align*}
Per tant, la soluci\'o general en forma impl{\'\i}cita de l'EDO \'es
$x^2 + x/y + \ln |y| = c$, $c \in \R$.
\FinEjemplo
\end{exmp}

Poques EDOs de la forma $P(x,y) + Q(x,y) y'=0$ s\'on exactes,
per\`o algunes es poden convertir en exactes si les multipliquem per un
factor adequat.

\begin{definition}
Una funci\'o $\mu(x,y)$ \'es un \emph{factor integrant} de l'EDO
$P + Q y'=0$ quan l'EDO $\mu P + \mu Qy' = 0$ \'es exacta,
\'es a dir, quan
$\displaystyle \frac{\partial (\mu P)}{\partial y} =
\frac{\partial (\mu Q)}{\partial x}$.
\end{definition}

En general, trobar factors integrants d'una EDO donada \'es una tasca tit\`anica,
per\`o es simplifica molt quan el factor integrant nomes dep\`en d'una variable:
\begin{enumerate}
\item
Si
\(
K = \displaystyle \frac{\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}
\)
no dep\`en de $y$,
llavors $\mu(x) =\rme^{\int K(x)\rmd x}$ \'es un factor integrant.
\item
Si
\(
K = \displaystyle \frac{\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}{P}
\)
no dep\`en de $x$,
llavors $\mu(y) = \rme^{\int K(y) \rmd y}$ \'es un factor integrant.
\end{enumerate}

\begin{exmp}
Resoldre el PVI $y^2/2 + 2y \rme^x+(y+\rme^x)y'=0$, $y(0) = -2$,
sabent que l'EDO associada admet un factor integrant de la forma $\mu = \mu(x)$.
Expresseu la soluci\'o en forma expl{\'\i}cita.

En aquest cas, $P(x,y) = y^2/2 + 2y \rme^x$ i $Q(x,y) = y+\rme^x$.
La funci\'o
\[
K(x) = \frac{\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}}{Q} =
\frac{y + 2 \rme^x - \rme^x}{y + \rme^x} \equiv 1
\]
no dep\`en de $y$.
Llavors $\mu(x) = \rme^{\int \rmd x} = \rme^x$
\'es un factor integrant i l'EDO $\tilde{P}(x,y) + \tilde{Q}(x,y) y' = 0$,
amb
\[
\tilde{P}(x,y) = \mu(x) P(x,y) = \rme^x y^2/2 + 2 \rme^{2x} y,\qquad
\tilde{Q}(x,y) = \mu(x) Q(x,y) = \rme^x y + \rme^{2x},
\]
\'es exacta.
Finalment, busquem una funci\'o $U(x,y)$ adequada:
\begin{align*}
\frac{\partial U}{\partial x} = \tilde{P} = \rme^x y^2/2 + 2 \rme^{2x} y & \Rightarrow
U(x,y) =
\int \left(\rme^x y^2/2 + 2 \rme^{2x} y\right) \rmd x =
\rme^x y^2/2 + \rme^{2x} y + k(y) \\
& \Rightarrow
\rme^x y + \rme^{2x} + k'(y) =
\frac{\partial U}{\partial y} = \tilde{Q} = \rme^x y + \rme^{2x} \Rightarrow
k'(y) = 0 \\
& \Rightarrow
k(y) = \int  0 \rmd y = 0 \Rightarrow
U(x,y) = \rme^x y^2/2 + \rme^{2x} y.
\end{align*}
Per tant, la soluci\'o general en forma impl{\'\i}cita de l'EDO \'es
$\rme^x y^2/2 + \rme^{2x} y = c$, $c \in \R$.
Finalment, determinen la constant d'integraci\'o imposant la
condici\'o inicial:
\[
(x_0,y_0) = (0,-2) \Rightarrow
\rme^x y^2/2 + \rme^{2x} y = \rme^{x_0} y_0^2/2 + \rme^{2x_0} y_0 = 2 - 2 = 0 
\Rightarrow
y(x) = -2\rme^x.
\FinEjemploDisplay
\]
\end{exmp}

Acabem aquest tema amb una llista molt incompleta d'aplicacions on apareixen
EDOs de primer ordre com les aqu{\'\i} descrites:
\begin{itemize}
\item
Calcular el temps que triga un compost granular en disoldre's;
\item
Calcular la semivida de materials radioactius;
\item
Datar mostres pel m\`{e}tode del Carboni-14;
\item
Calcular el temps que triga en buidar-se un dip\`{o}sit de
l{\'\i}quid amb un petit forat;
\item
Calcular la concentraci\'o d'un contaminant en un llac; i
\item
Calcular la velocitat terminal d'un paracaigudista.
\end{itemize}
Totes aquestes aplicacions estan descrites a la llista de problemes del tema.
\end{document}
