
\documentclass[12pt,reqno]{article}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[catalan]{babel}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\def\p{{\partial}}
\def\dfrac{\displaystyle\frac}
\def\dint{\displaystyle\int}
%\addtolength{\textwidth}{5cm} \addtolength{\textheight}{5cm} \addtolength{\topmargin}{-3.3cm}
\textwidth 18truecm  \textheight 28truecm \addtolength{\topmargin}{-3.5cm}
\oddsidemargin -0.85truecm \evensidemargin -5mm
\pagestyle{empty}

\newif\ifresolved
%\resolvedtrue
\def\resol#1{\ifresolved  \ {#1}\else \hspace{17.5cm} \hfill\fi}


\begin{document}
\hrule\smallskip \medskip \noindent{\textbf{{\large{C\`alcul II / Transformada de Laplace}}} \hfill\textsl{}}
\par\par
                     \medskip\noindent{\textsl{\small{1 de setembre de  2015}}}\hfill \par\par
                     \medskip\hrule\vspace{0.5cm}

%\noindent{\bf{Teoria.}} \hfill {\small{\sl{( punts)}}}

\medskip

%\chapter{Transformada de Laplace}

{ \bf Definicions. Exemples b\`asics}

{\bf Definici\'o} Donada $f:]0,+\infty [\longrightarrow \R$
cont\'{\i}nua a  $]0,+\infty [$.
\begin{enumerate}
\item[{1)}] Se'n diu la seva {\rm transformada de Laplace} (o
${\cal L}$-transformada) a la funci\'o  ${\cal L}[f]$ depenent d'un par\`ametre
  $s\in\R$ mitjan\c cant
$$
{\cal L}[f(t)](s)\equiv F(s)=\int^{+\infty }_{0}e^{-st}f(t)\, dt\leqno
(*)
$$
sempre i quan aquesta integral impr\`opia sigui convergent per a algun
valor del par\`ametre  $s$ (en cas contrari direm que no existeix la
${\cal L}$-transformada de $f$).
\item[{2)}] Aleshores, el domini de definici\'o de ${\cal L}[f]$ \'es el conjunt
dels valors de  $s\in  \R$ per als quals la integral impr\`opia (*)
anterior \'es convergent.
%El seu \'{\i}nfim se'n diu {\rm abscissa de
%converg\`encia}, $s_{c}$, de ${\cal L}[f]$.
\end{enumerate}



{\bf Exemple}

\hfil\vspace{-5pt}
\begin{enumerate}
\item[{1)}] Essent  $f(t)=1$, per a tot $s>0$ \'es:
$$
{\cal L}[1](s)=\int^{+\infty }_{0}e^{-st}\, dt=\left  [-\frac{e^{-st}}{s}
\right]^{t=+\infty }_{t=0}=\frac{1}{s}
$$
Clarament, la corresponent integral impr\`opia \'es divergent per a  $s\leq
0$.
\item[{2)}] Essent $f(t)=e^{t}$, per a tot $s>1$, \'es
$$
{\cal L}\left  [e^{t}\right ](s)=\int^{+\infty }_{0}e^{t}
e^{-st}\, dt=\left  [\frac{e^{(1-s)t}}{1-s} \right
]^{t=+\infty }_{t=0}=\frac{1}{s-1}
$$
Clarament, la corresponent integral impr\`opia \'es divergent per a  $s\leq
1$.
\item[{3)}] Essent $f(t)=1/\sqrt{t}$, per a tot $s>0$, fent
el canvi de variable  $st=z$, s'obt\'e:
$$
{\cal L}\left  [\frac{1}{\sqrt{t}} \right ](s)=\int^{+\infty }_{0}e^{-st}
\frac{1}{\sqrt{t}}\, dt=\int^{+\infty }_{0} e^{-z}
\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{z}} \frac{dz}{s}
=\frac{1}{\sqrt{s}}\Gamma
\left  (\frac{1}{2}
\right)$$
on  $\Gamma(x)\equiv \int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt$ \'es la funci\'o Gamma d'Euler, que té la propietat seg\"uent:
 $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$.
En particular per $n\in N$ tenim
$$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=\dots =n(n-1)\dots 1\times \Gamma(1)=n(n-1)\dots 1=n!,$$

ja que $ \Gamma(1)=\int_0^{\infty}e^{-t}dt=1$. En particular $0!=\Gamma(1)=1$, de fet podem definir $\forall x>-1$
$x!\equiv \Gamma(x+1)$.

Finalment calculem $\Gamma
\left  (\frac{1}{2}
\right)$. Si fem el canvi de variable $t=x^2$ tindrem
$$\Gamma
\left  (\frac{1}{2}
\right)=2\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx,$$
per tant,
$$\Gamma^2
\left  (\frac{1}{2}
\right)=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx\right)^2=\int_{\R^2}e^{-x^2-y^2}dxdy.$$
Finalment, canviem a polars per obtenir
$$\Gamma^2
\left  (\frac{1}{2}
\right)=\pi\int_0^{\infty}2e^{-r^2}dr=\pi,$$
Per tant,

$$
{\cal L}\left  [\frac{1}{\sqrt{t}} \right ](s)=\sqrt{\frac{{\pi}}{{s}}}.
$$

%Igualment es comprova que la correponent integral impr\`opia \'es divergent
%per a  $s\leq 0$.
\item[{4)}] No existeixen  ${\cal L}[\frac 1t]$ ni ${\cal L}[e^{t^{2}}]$ ja que,
qualsevol que sigui  $s\in \R$, les integrals impr\`opies
$$
\int^{+\infty }_{0}e^{-st}\frac{1}{t}dt\, , \qquad  \int^{+\infty }_{0}
e^{-st}e^{t^{2}} dt
$$
s\'on divergents (en  $0$ i en  $+\infty $ respectivament).
\end{enumerate}



%\begin{propo} En les condicions de la definici\'o anterior:
%\begin{enumerate}
%\item[{1)}] Per a tot $s>s_{c}$, la integral (*) \'es convergent.
%\item[{2)}] Per a tot $s<s_{c}$, la integral (*) \'es divergent.
%\end{enumerate}
%\end{propo}

%\begin{observacio} Per a  $s=s_{c}$, no es pot assegurar res. Per tant,
%el domini de definici\'o de  ${\cal L}[f]$ \'es $s>s_{c}$, o b\'e $s\geq s_{c}$.
%\end{observacio}


%La proposici\'o seg\"uent recull alguns exemples b\`asics de  $
%{\cal L}$-transformada, precisant l'abscissa de converg\`encia i el domini de
%definici\'o.

{\bf Proposici\'o}

Per a qualsevol $a,b\in\R$ i $p\in\N$, es
tenen les seg\"uents  ${\cal L}$-transformades:
$$
{\cal L}[e^{at}]=\frac{1}{s-a}, s>a
%\\ &&\\
\qquad {\cal
L}[t^{p}]=\frac{p!}{s^{p+1}}, s>0$$

$$ {\cal L}[\sin
bt]=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}, s>0
\qquad
{\cal L}[\cos
bt]=\displaystyle\frac{s}{s^{2}+b^{2}}, s>0
%\end{array}
$$
%\end{propo}

{\bf Observaci\'o:}
Noti's que $D^p{\cal L}[1](s)=(-1)^p{\cal
L}[t^{p}](s)$. D'altra banda

$D^p{\cal L}[1](s)=(-1)^pD^p\left(\frac{1}{s}\right)=(-1)^p\frac{p!}{s^{p+1}}$. I s'obt\'e la transformada de $t^p$.

I si usem que ${\cal L}[\frac{d^2}{dt^2}\sin bt]=-b^2{\cal L}[\sin bt] $, i fem integraci\'o dues vegades per parts per arrivar a
$${\cal L}[\frac{d^2}{dt^2}\sin bt]=-b+s^2{\cal L}[\sin bt],
$$

obtenim la transformada de $\sin bt$.

{\bf Exercicis}

\hfil\vspace{-5pt}
\begin{enumerate}
\item[1)]Per a $\alpha >-1$, \'es:
$
{\cal L}[t^{\alpha }]=\frac{\Gamma (\alpha +1)}{s^{\alpha +1}} ,\quad
s>0 \, .
$
\item[2)] ${\cal L}[\ln t]=\displaystyle\frac{\Gamma'(1)-\ln s}s\,
, \quad s>0$.
\end{enumerate}
%\end{exercicis}


%\begin{nota} En tot el que segueix, s'omitir\`a la refer\`encia expl\'{\i}cita a
%l'abscissa de converg\`encia quan no es presti a confusi\'o.
%\end{nota}

%{\bf Interpretaci\'o f\'{\i}sica: domini de freq\"u\`encies}

%F\'{\i}sicament la transformada de Laplace pot interpretar-se com un canvi de
%coordenades del \lq\lq domini temporal\rq\rq \ al \lq\lq domini de
%freq\"u\`encies\rq\rq, fent refer\`encia a l'espai on pertany la variable
%independent de les funcions considerades.

%En efecte, una senyal, vibraci\'o, etc, es pot representar mitjan\c cant una
%funci\'o $y=f(t)$ que per a cada instant $t$ d\'ona la seva amplitud global
%$y$.

%Alternativament, podem considerar-la com la superposici\'o d'harm\`onics
%simples de diverses freq\"u\`encies, i representar-la mitjan\c cant una funci\'o
%$\varphi (\omega )$ que per a cada freq\"u\`encia $\omega $ doni l'amplitud
%del corresponent harm\`onic simple. Aquesta representaci\'o \'es molt \'{u}til,
%per exemple, en filtres, amplificadors, etc: en domini de freq\"u\`encies,
%la gr\`afica de tra\c c discontinu representa la senyal que resulta de la de
%tra\c c continu $\varphi (\omega )$ en fer-la passar per un filtre d'aguts

%\figura{102}

%\centerline{\hbox{
%\psfig{figure=10teor_.eps}}}
%\vskip -6truecm
%\rightline{$\varphi(\omega)$\hbox to 1truecm{\hfill}}
%\vskip 5truecm
%\rightline{$\omega_2$\hbox to 8.3truecm{\hfill} $\omega_1$\hbox to 2.5truecm{\hfill}}
%de freq\"u\`encies superiors a $\omega _{1}$; an\`alogament, la puntejada
%representa la resultant de filtrar greus inferiors a $\omega _{2}$.
%La transformada de Laplace $F(s)={\cal L}[f(t)]$ est\`a \'{\i}ntimament
%relacionada amb la funci\'o $\varphi (\omega )$ anterior. Aix\'{\i}, s\'on
%v\`alides
%per a  $F(s)$ les interpretacions gr\`afiques comentades sobre filtratge,
%amplificaci\'o, etc.

%\vskip -1truecm

{\bf * Exist\`encia: Funcions d'ordre exponencial}

%De (8.6) resulta la proposici\'o seg\"uent, que d\'ona una
%condici\'o suficient per a que una funci\'o $f$ tingui ${\cal L}$-transformada, i una cota de la seva abscissa de converg\`encia:
%\vskip -0.2truecm
{\bf Proposici\'o}

Sigui $f:[0,+\infty [\longrightarrow \R$ cont\'{\i}nua a  $]0,+\infty [$, i tal que
\begin{enumerate}
\item[{(i)}] existeixen $\gamma$, $M$ i $t_{0}$ tals que:
$$
|e^{-\gamma t}f(t)|\leq M \Longleftrightarrow |f(t)|\leq
Me^{\gamma t}\, , \quad\mbox{per a tot}\quad t>t_{0} $$
\end{enumerate}


%\begin{enumerate}
%\item[{(i)}] per a algun valor  $\delta >0$, la integral $\int^{\delta
%}_{0}f(t)dt$ \'es convergent; per exemple, si per a algun  $\rho <1$,
%existeix i \'es finit $\lim\limits_{0^{+}}t^{\rho }f(t)$.
%\item[{(ii)}] per a algun  $\gamma >0$, existeix i \'es finit
%$\lim\limits_{+\infty }e^{-\gamma t}f(t)$.
%\end{enumerate}

Aleshores ${\cal L}[f]$ \'es ben definida per a $s>\gamma $.


%{\bf Observaci\'o}

%La condici\'o (ii) anterior pot millorar-se a la
%seg\"uent:
%\begin{enumerate}
%\item[{(ii')}] existeixen $\gamma$, $M$ i $t_{0}$ tals que:
%$$
%|e^{-\gamma t}f(t)|\leq M \Longleftrightarrow |f(t)|\leq
%Me^{\gamma t}\, , \quad\mbox{per a tot}\quad t>t_{0} $$
%\end{enumerate}


Es diu que  tota $f$ que cumpleix (i) \'es \lq\lq d'ordre exponencial\rq\rq \ $\gamma $ a
$+\infty $.

%Clarament, aquests valors de $\gamma $ s\'on els que verifiquen (ii), i a
%m\'es, potser, el seu \'{\i}nfim.


{\bf Exemples}

\hfil\vspace{-5pt}
\begin{enumerate}
\item[{(1)}] La funci\'o $e^{at}$ verifica (i) per a tot  $\gamma \geq a$. Doncs, \'es d'ordre exponencial $a$, i
per tant la proposici\'o anterior garanteix que  ${\cal L}[e^{at}]$ \'es ben
definida per a $s>a$.
\item[{(2)}] Les funcions polin\`omiques verifiquen (i) per a tot
$\gamma >0$. Doncs, les seves  ${\cal L}$-transformades s\'on ben definides
per a  $s>0$.
\item[{(3)}] La funci\'o  $e^{t^{2}}$  NO compleix la condici\'o (i) anterior.
\item[{(4)}] Les funcions $e^{t^{2}}$, $\Gamma (t)$, $t^{t}$ no s\'on
d'ordre exponencial.
\item[{(5)}] La funci\'o $f(t)$ definida per $f(p)=p!$, si $p\in\N$, i
$f(p)=0$, si $p\not\in\N$, no \'es d'ordre exponencial, per\`o t\'e
${\cal L}$-transformada (que \'es  $0$).
\end{enumerate}



%{\bf Derivabilitat i l\'{\i}mit a l'infinit}

%Es demostra que les funcions ${\cal L}$-transformades verifiquen
%propietats an\`alogues a les de (9.2), (9.3) i (9.5). En particular:

%{\bf Proposici\'o}

%En les condicions de la definici\'o de (10.1):
%\begin{enumerate}
%\item[{(1)}]  $\lim\limits_{+\infty }F(s)=0$.
%\item[{(2)}]  $F(s)$ \'es infinitament derivable en $s>s_{c}$.
%\end{enumerate}

%{\bf Observaci\'o}

%Igualment la derivaci\'o i integraci\'o respecte a $s$
%permuten amb la integraci\'o respecte a  $t$. S'aplicar\`a a l'apartat
%(10.9).
%\end{observacio}

{\bf Linealitat}

De la linealitat de la integraci\'o \'es dedueix immediatament:

{\bf Proposici\'o}

Si ${\cal L}[f(t)]=F(s)$i ${\cal L}[g(t)]=G(s)$,
aleshores:
\begin{eqnarray*}
&&{\cal L}[f(t)+g(t)]=F(s)+G(s)\\
&&{\cal L}[\lambda f(t)]=\lambda F(s)
\end{eqnarray*}
per a tot $\lambda \in\R$.
%\end{propo}


{\bf Exemple}

Per a tot $b\in\R$
\begin{eqnarray*}
&&{\cal L}[\sinh bt]=\frac{b}{s^{2}-b^{2}}\, , \qquad s>|b|\\
&&{\cal L}[\cosh bt]=\frac{s}{s^{2}-b^{2}}\, , \qquad s>|b|
\end{eqnarray*}
%\end{unexemp}

{\bf Canvi d'escala}

Un simple canvi de variables demostra que:

{\bf Proposcici\'o}

Si ${\cal L}[f(t)]=F(s)$, aleshores per a tot $a>0$:
$$
{\cal L}[f(at)]=\frac{1}{a}F\left  (\frac{s}{a} \right )\, .
$$
%\end{propo}



{\bf Exemple}

Segons (10.5), \'es clar que ${\cal L}[2^{p}t^{p}]=2^{p}\frac{p!}{s^{p+1}}$. Vegem com el mateix resultat pot
obtenir-se per la propietat anterior:
$$
{\cal L}[2^{p}t^{p}]={\cal L}[(2t)^{p}]=\frac{1}{2}{\cal L}[t^{p}]\left
(\frac{s}{2}\right
)=\frac{1}{2}\frac{p!}{(s/2)^{p+1}}=2^{p}\frac{p!}{s^{p+1}}\, .
$$
%\end{unexemp}

{\bf Teoremes de translaci\'o}

\'Es igualment trivial que:

{\bf Proposici\'o}

Si ${\cal L}[f(t)]=F(s)$, aleshores:
\begin{eqnarray*}
&&{\cal L}[e^{-at}f(t)]=F(s+a)\, , \quad\mbox{per a
tot}\quad a\in\C\\
&&{\cal L}[f(t-a){\cal U}(t-a)]=e^{-as}F(s)\, ,
\quad\mbox{per a tot}\quad a>0
\end{eqnarray*}
%\end{propo}

{\bf Observaci\'o}

A la proposici\'o anterior,  ${\cal U}(t-a)$ \'es la
funci\'o {\sl esgra\'o unitari en  $a$}, definida per
\begin{eqnarray*}
&&{\cal U}(t-a)=0\, , \quad\mbox{si}\quad t<a\\ &&{\cal U}(t-a)=1\, ,
\quad\mbox{si}\quad t>a
\end{eqnarray*}
Per conveni, fins i tot si $f$ nom\'es est\`a definida en
$]0,+\infty [$, se suposa: $$ f(t-a){\cal U}(t-a)=0\, , \quad
\mbox{si}\quad t<a $$
%\end{observacio}

{\bf Exemple}

\hfil\vspace{-5pt}
\begin{enumerate}
\item[{(1)}] ${\cal L}[e^{-t}\sqrt{t}]=
{\cal L}[\sqrt{t}](s+1)=\frac{\sqrt{\pi }}{2\sqrt{s+1}^{3}}$.
\item[{(2)}] Sigui $f(t)=\sqrt{t-1}$, la qual suposarem perllongada
per $0$ si $t<1$. Podem escriure, doncs: $f(t)=\sqrt{t-1}{\cal U}(t-1)$.
Per tant:
$$
{\cal L}[\sqrt{t-1}]\equiv{\cal L}[\sqrt{t-1}{\cal U}(t-1)]=e^{-s}
{\cal L}[\sqrt{t}]=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\frac{e^{-s}}{\sqrt{s}^{3}}
$$
\item[{(3)}] Considerem  $f(t)$ definifa per:
$$
\begin{array}{lll}
f(t)=\sin t\, , &&\mbox{si $0<t<2\pi$} \\
f(t)=0\, ,      &&\mbox{si $t>2\pi$}
\end{array}
$$
Per a calcular ${\cal L}[f]$ observem que:
$$
f(t)=\sin t-\sin t{\cal U}(t-2\pi )=\sin t-\sin (t-2\pi ){\cal U}(t-2\pi )
$$
Per tant:
$$
{\cal L}[f(t)]={\cal L}[\sin t]-e^{-2\pi s}{\cal L}[\sin t]=(1-e^{-2\pi s})
\frac{1}{s^{2}+1}
$$
\end{enumerate}
%\end{exemp}

{\bf Exercici} Proveu que:
\begin{eqnarray*}
&&{\cal L}\left  [\frac{\cos bt}{\sqrt{t}} \right]=\sqrt{\frac{\pi }{2}}
\sqrt{\frac{\sqrt{s^{2}+b^{2}}+s}{s^{2}+b^{2}}}\\
&&{\cal L}\left  [\frac{\sin bt}{\sqrt{t}} \right]=\sqrt{\frac{\pi }{2}}
\sqrt{\frac{\sqrt{s^{2}+b^{2}}-s}{s^{2}+b^{2}}}
\end{eqnarray*}
%\end{exercici}

HINT: useu que $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ i $\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$. A m\'es s'ha d'usar que

$$\left(\sqrt{s+ib}\pm \sqrt{s-ib}\right)^2=2s\pm 2\sqrt{s^2+b^2}.$$

\vspace{0.5cm}

{\bf Transformades de derivades i integrals}

Operant per parts, es demostra f\`acilment:

{\bf Proposici\'o}

Essent  $f:[0,+\infty [\longrightarrow \R$ $k$ vegades derivable en $[0,+\infty [$, aleshores
%\begin{enumerate}
%\item[{(i)}]  $f$ \'es  $k$-derivable en $[0,+\infty [$
%\item[{(ii)}]  $D^{k}f$ \'es cont\'{\i}nua a trossos en tot subinterval compacte
%de $]0,+\infty [$
%\item[{(iii)}]  $f,f',\dots, D^{k-1}f$ s\'on d'ordre exponencial.
%\item[{}] Aleshores, existeix  ${\cal L}[D^{k}f]$, i:
$$
{\cal L}[D^{k}f](s)=s^{k}F(s)-s^{k-1}f(0)-s^{k-2}f'(0)-\dots-D^{k-1}f(0),
$$

on $F\equiv{\cal L}[f]$.
%\end{enumerate}
%\end{propo}


{\bf Exemple} Es pot calcular  ${\cal L}[\sin bt]$, ${\cal L}[\cos bt]$
aplicant la proposici\'o anterior per a  $k=2$:
\begin{eqnarray*}
&&{\cal L}[-b^{2}\sin bt]=s^{2}{\cal L}[\sin bt]-b\\
&&{\cal L}[-b^{2}\cos bt]=s^{2}{\cal L}[\cos bt]-s
\end{eqnarray*}
%\end{unexemp}

%\pagebreak
%{\bf Observacions}

%\hfil\vspace{-5pt}
%\begin{enumerate}
%\item[{(1)}] La proposici\'o anterior pot adaptar-se, per exemple, al cas en
%que $f$ no \'es cont\'{\i}nua en un punt $\alpha $:
%$$
%{\cal L}[f']=sF(s)-f(0) -e^{-\alpha s}(f(\alpha ^{+})-f(\alpha ^{-}))
%$$
%\item[{(2)}] L'expressi\'o anterior per a  ${\cal L}[D^{k}f]$ \'es igualment
%certa amb les hip\`otesis seg\"uents:
%\begin{enumerate}
%\item[{(i')}]      $f$ \'es  $k$-derivable en $]0,+\infty [$.
%\item[{(ii')}] existeix ${\cal L}[D^{k}f]$.
%\end{enumerate}
%\item[{}] per b\'e que substituint  $f(0)$, $f'(0)$, $\dots$ per
%$f(0^{+})$, $f'(0^{+})$, $\dots$
%\end{enumerate}
%\end{observacions}

{\bf Corol.lari}

Si ${\cal L}[f]=F(s)$, aleshores:
$$
{\cal L}\left  [\int^{t}_{0}f(\tau )d\tau  \right]=\frac{F(s)}{s}
$$
%\end{coro}

{\bf Exemple} ${\cal L} \left  [\displaystyle\int^{t}_{0}e^{-\tau
}\displaystyle\sqrt{\tau } d\tau \right
]=\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt{\pi
}}{2}\displaystyle\frac{1}{s\displaystyle\sqrt{s+1}^{3}}$.
%\end{unexemp}

{\bf  Transformada del producte i divisi\'o per un monomi}

Derivant respecte al par\`ametre subintegral $s$,  resulta:

{\bf Proposici\'o}  Si ${\cal L}[f]=F(s)$, aleshores:
$$
{\cal L}[t^{p}f(t)]=(-1)^{p}D^{p}F(s)\, .
$$
%\end{propo}

Es veu derivant $p$ vegades $F(s)$.

{\bf Corol.lari} Si existeix  $\lim\limits_{0^{+}}\displaystyle\frac{f(t)}{t}$,
aleshores:
$$
{\cal L}\left  [\frac{f(t)}{t} \right  ]=\int^{+\infty }_{s}F(\sigma
)d\sigma  \, .
$$
%\end{coro}
es veu derivant $
{\cal L}\left  [\frac{f(t)}{t} \right  ](s)$ i despr\`es integrant.

{\bf Exemples}

\hfil\vspace{-5pt}
\begin{enumerate}
\item[{(1)}] ${\cal L} [t^{2}\sin bt]=(-1)^{2}D^{2}\frac{b}{s^{2}+b^{2}}=
D\frac{-2bs}{(s^{2}+b^{2})^{2}}=\frac{6bs^{2}-2b^{3}}
{(s^{2}+b^{2})^{3}}$
\item[{(2)}] ${\cal L} \left[\displaystyle\frac{\sin
bt}{t}\right]=\displaystyle\int^{+\infty
}_{s}\displaystyle\frac{b}{\sigma ^{2}+b^{2}}d\sigma
=\left[-\arctan\displaystyle\frac{b}{\sigma }\right]^{+\infty
}_{s}=\arctan\displaystyle\frac{b}{s}$
\end{enumerate}
%\end{exemp}


{\bf  Transformada de la convoluci\'o}

{\bf Definici\'o} Essent $f,g:]0,+\infty [\longrightarrow \R$, se'n
diu el seu {\rm producte de convoluci\'o}, $f\ast g$, la funci\'o definida
mitjan\c cant
$$
(f\ast g)(t)=\int^{t}_{0}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \, , \quad t>0
$$
si aquesta integral existeix.
%\end{defi}
%\pagebreak

{\bf Exemple}\hfil\vspace{-5pt}
\begin{enumerate}
\item[{(1)}] Per a tot $t>0$, fent el canvi $z=\tau /t$, resulta:
$$
\frac{1}{\sqrt{t}}\ast
\frac{1}{\sqrt{t}}=\int^{t}_{0}\frac{1}{\sqrt{\tau
}}\frac{1}{\sqrt{t-\tau }}d\tau =B\left  (\frac{1}{2},\frac{1}{2}
\right)=\pi \, , \quad t>0
$$
\item[{(2)}] An\`alogament:
$$
t^{p-1}\ast t^{q-1}=B(p,q)t^{p+q-1},
$$
on $B(x,y)\equiv\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ \'es la funci\'o Beta d'Euler.



\end{enumerate}
%\end{exemp}



{\bf Observaci\'o} Es demostra que el producte de convoluci\'o \'es
commutatiu i associatiu.
%\end{observacio}

{\bf Teorema} Si $f$, $g$, i tamb\'e  $|f|$ i $|g|$, tenen
${\cal L}$-transformada, aleshores tamb\'e en t\'e la seva convoluci\'o $f\ast g$, i
resulta:
$$
{\cal L}[f\ast g]={\cal L}[f]{\cal L}[g]
$$
%\end{teo}


{\bf Exemple} Verifiquem aquesta f\'ormula per a  $f(t)=t^{p-1}$,
$g(t)=t^{q-1}$:
\begin{eqnarray*}
&&{\cal L}[t^{p-1}\ast t^{q-1}]={\cal L}[B(p,q)t^{p+q-1}]=\\ &&\qquad
=B(p,q)\frac{(p+q-1)!}{t^{p+q}}=\frac{(p-1)!(q-1)!}{t^{p+q}}\\
&&{\cal L}[t^{p-1}]{\cal L}[t^{q-1}]=\frac{(p-1)!}{t^{p}}\frac{(q-1)!}{t^{q}}
\end{eqnarray*}
%\end{unexemp}

{\bf * Transformada d'una funci\'o peri\`odica}

\'Es f\`acil demostrar que per a funcions peri\`odiques, el c\`alcul de la
${\cal L}$-transformada es redueix a una integral pr\`opia:

{\bf Proposici\'o} Sigui $f:]0,+\infty [\longrightarrow \R$
$T$-peri\`odica (\'es a dir: $f(t+T)=f(t)$, per a tot $t>0$), cont\'{\i}nua a
trossos en $[0,T]$. Aleshores  $f$ t\'e  ${\cal L}$-transformada i ve donada
per:
$$
{\cal L}[f](s)\equiv F(s)=\frac{1}{1-e^{-sT}}\int^{T}_{0}e^{-st}f(t)dt
$$
%\end{propo}

{\bf Exemple}
$$
{\cal L}[|\sin x|]=\frac{1}{1-e^{-s\pi }}\int^{\pi }_{0}e^{-st}\sin
tdt=\frac{1+e^{-\pi s}}{1-e^{-\pi s}}\frac{1}{s^{2}+1}
$$
%\end{unexemp}

{\bf * Transformada per desenvolupament en s\`erie}

Donada una funci\'o suma d'una s\`erie de pot\`encies
$$
f(t)=\sum^{\infty
}_{0}a_{p}t^{p}=a_{0}+a_{1}t+\dots+a_{p}t^{p}+\dots\leqno(*)
$$
\'es plantegen criteris sobre el coeficient  $a_{p}$ per tal que $f$
tingui  ${\cal L}$-transformada, i pugui \'esser obtinguda \lq\lq terme a
terme\rq\rq, \'es a dir, per tal que
$$
\begin{array}{rcl}
F(s)\!\!\!\!&\equiv&\!\!\!\!{\cal L}[f(t)]=\displaystyle
\sum^{\infty }_{0}a_{p}
{\cal L}[t^{p}]=\displaystyle\sum^{\infty }_{0}a_{p}
\displaystyle\frac{p!}{s^{p+1}}=\\ &&\\
\!\!\!\!&=&\!\!\!\!
\displaystyle\frac{a_{0}}{s}+
\displaystyle\frac{a_{1}}{s^{2}}+
\displaystyle\frac{2!a_{2}}{s^{3}}+\dots+
\displaystyle\frac{p!a_{p}}{s^{p+1}}+\dots
\end{array}\leqno(**)
$$

{\bf Proposici\'o} Amb les notacions anteriors:
\begin{enumerate}
\item[{(1)}] Una condici\'o necess\`aria per a (**) \'es que la s\`erie (*)
convergeixi per a tot $t\in\R$ (radi de converg\`encia $r=+\infty $), \'es
a dir:
$$
\lim \sup\root p\of{|a_{p}|} =0
$$
\item[{(2)}] Aleshores, una condici\'o suficient per a que $f$ sigui
d'ordre exponencial i es verifiqui (**), \'es que aquesta s\`erie
convergeixi per a algun valor de  $s>0$, \'es a dir:
$$
\lim\sup\root p\of{p!|a_{p}|} =L\not=+\infty
$$
\end{enumerate}
%\end{propo}

{\bf Observacions} Recordem que les condicions (1) i (2)
anteriors es compleixen, respectivament, si:
\begin{enumerate}
\item[{(1')}]  $\lim \left|\displaystyle\frac{a_{p+1}}{a_{p}}\right|=0$
\item[{(2')}]  $\lim (p+1)\left|\displaystyle\frac{a_{p+1}}{a_{p}}\right|=L\not=
+\infty $
\end{enumerate}
%\end{observacions}

{\bf Exemples}\hfil\vspace{-5pt}
\begin{enumerate}
\item[{(1)}] La funci\'o $f(t)=\displaystyle\frac{1}{1+t}$, \ $t\geq 0$ t\'e com
${\cal L}$-transformada
$$
F(s)=\int^{+\infty }_{0}e^{-st}\frac{dt}{1+t}\, , \quad s>0
$$
Per\`o no podem procedir  ${\cal L}$-transformant \lq\lq terme a terme\rq\rq
\ el desenvolupament en s\`erie de $f(t)$
$$
f(t)=1-t+t^{2}-\dots+(-1)^{p}t^{p}+\dots
$$
ja que resultaria
$$
\frac{1}{s}-\frac{1!}{s^{2}}+\frac{2!}{s^{3}}-\dots+(-1)^{p}\frac{p!}{s^{p+1}}
+\dots
$$
que no convergeix per a cap $s>0$ (i per tant, no pot representar
$F(s)$).
\item[{}] Observem que, en efecte, no es compleix la condici\'o necess\`aria
(1) de la proposici\'o anterior, ja que el desenvolupament en s\`erie de
$f(t)$ t\'e radi de converg\`encia  $r=1$.
\item[{(2)}] El desenvolupament en s\`erie de la funci\'o
$$
f(t)=e^{t^{2}} =1+t^{2}+\frac{t^{4}}{2!}+\dots+\frac{t^{2p}}{p!}+\dots
$$
\'es v\`alid per a tot $t\in\R$, per\`o  $e^{t^{2}}$ no t\'e
${\cal L}$-transformada.
\item[{}] En efecte, la s\`erie que resultaria de  ${\cal L}$-transformar
\lq\lq terme a terme\rq\rq \ la anterior
$$
\frac{1}{s}+\frac{2!}{s^{3}}+\frac{1}{2!}\frac{4!}{s^{5}}+\dots+
\frac{1}{p!}\frac{(2p)!}{s^{2p+1}}+\dots
$$
no convergeix per a cap $s>0$.
\item[{(3)}] El desenvolupament en s\`erie de
$$
f(t)=\frac{\sin \sqrt{t}}{\sqrt{t}}=1-\frac{t}{3!}
+\frac{t^{2}}{5!}-\dots+(-1)^{p}\frac{t^{p}}{(2p+1)!}+\dots
$$
\'es v\`alid per a tot $t\in\R$. A m\'es,
$$
\lim(p+1)\frac{(1/(2p+3)!)}{(1/(2p+1)!)}=\lim\frac{(p+1)}{(2p+3)(2p+2)}=0
$$
Per tant, \'es  ${\cal L}$-transformable, i:
$$
{\cal L}\left  [\frac{\sin\sqrt{t}}{\sqrt{t}} \right]=\frac{1}{s}-
\frac{1}{3!}\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{5!} \frac{2!}{s^{3}}-\dots+(-1)^{p}
\frac{1}{(2p+1)!} \frac{p!}{s^{p+1}}+\dots
$$
\item[{(4)}] Aplicant l'exemple (2) de la secci\'o "transformada del producte i divisi\'o per un monomi",  obtenim:
$$
{\cal L}\left  [\int^{t}_{0}\frac{\sin b\tau }{\tau } d\tau
\right]=\frac{1}{s}\arctan \frac{b}{s}
$$
Podem reobtenir el mateix resultat per desenvolupament en s\`erie:
$$
f(t)=\int^{t}_{0} \frac{\sin b\tau }{\tau }d\tau
=bt-\frac{b^{3}t^{3}}{3!3}+\dots+(-1)^{p} \frac{b^{2p+1}t^{2p+1}}
{(2p+1)!(2p+1)}+\dots
$$
v\`alid per a tot $t\in\R$. Si ${\cal L}$-transformem \lq\lq terme a
terme\rq\rq:
\begin{eqnarray*}
&&b\frac{1}{s^{2}}-\frac{b^{3}}{3!3}\frac{3!}{s^{4}}+\dots+(-1)^{p}
\frac{b^{2p+1}}{(2p+1)!(2p+1)}\frac{(2p+1)!}{s^{2p+2}}+\dots=\\
&&\quad =\frac{1}{s} \left
(\frac{b}{s}-\frac{(b/s)^{3}}{3}+\dots+(-1)^{p} \frac{(b/s)^{2p+1}}
{2p+1}+\dots\right )=\frac{1}{s}\arctan\frac{b}{s}
\end{eqnarray*}
Observem que, de fet es compleix la condici\'o suficient (2) de la
proposici\'o anterior, ja que aquesta darrera s\`erie convergeix per a
$|s|>b$.
\end{enumerate}
%\end{exemp}

{\bf Transformada inversa}

%La ${\cal L}$-transformaci\'o no \'es injectiva. Per exemple, dues funcions
%diferint nom\'es en un punt tenen la mateixa ${\cal L}$-transformada.
%Tanmateix, les funcions que tenen la mateixa  ${\cal L}$-transformada s\'on
%\lq\lq quasi-iguals\rq\rq \ en el sentit seg\"uent:

%{\bf Teorema} Sigui $f,g:]0,+\infty [\longrightarrow \R$,
%cont\'{\i}nua a trossos en tot subinterval compacte de  $]0,+\infty [$. Si
%s\'on
%${\cal L}$-transformables, i ${\cal L}[f]={\cal L}[g]$, aleshores  $f(t)=g(t)$
%per a tot  $t$ excepte, potser, els punts de discontinu{\"\i}tat.
%\end{teo}

%Aquest resultat justifica el seg\"uent ab\'{u}s de llenguatge i notaci\'o:

%{\bf Definici\'o}  Si ${\cal L}[f(t)]=F(s)$, direm que  $f(t)$ \'es
%{\rm ${\cal L}$-antitransformada} de $F(s)$, i escriurem
%$$
%{\cal L}^{-1}[F(s)]=f(t)
%$$
%\end{defi}

%{\bf Observacions}\hfil\vspace{-5pt}
%\begin{enumerate}
%\item[{(1)}] En particular, una funci\'o $F(s)$ nom\'es pot tenir una
%${\cal L}$-antitransformada cont\'{\i}nua en $[0,+\infty [$.
%\item[{(2)}] Evidentment, no totes les funcions  $F(s)$ tenen
%${\cal L}$-antitransformades. Per exemple, cal que $F(s)$ compleixi les
%condicions de (10.4).
%\item[{}] Igualment es demostra que $F(s)$ no pot ser peri\`odica (excepte
%si $F\equiv 0$). Per exemple,  $e^{-s}$ no t\'e
%${\cal L}$-antitransformades, tot i complir (10.4).
%\item[{}] En sentit contrari, (10.12) d\'ona una condici\'o suficient, tal com
%es recull a continuaci\'o.
%\end{enumerate}
%\end{observacions}

%{\bf Corol.lari}\hfil\vspace{-5pt}
%\begin{enumerate}
%\item[{(1)}] Condicions necess\`aries per tal que una funci\'o $F(s)$ tingui
%${\cal L}$-antitransformada s\'on que sigui infinitament derivable per a
%$s>s_{c}$ ($>0$), i que  $\lim\limits_{+\infty }F(s)=0$.
%\item[{(2)}] Una condici\'o suficient en aquest sentit \'es que $F\left
%(\frac{1}{s}\right )$ sigui desenvolupable en s\`erie. Aleshores, si
%$$
%F\left  (\frac{1}{s} \right)=b_{1}s+b_{2}s^{2}+\dots+b_{p}s^{p}+\dots
%$$
%una seva ${\cal L}$-antitransformada \'es:
%$$
%{\cal L}^{-1}[F]=f(t)=b_{1}+b_{2}t+\frac{b_{3}}{2!}t^{2}+\dots+\frac{b_{p+1}}{p!}
%t^{p}+\dots
%$$
%\end{enumerate}
%\end{coro}

%{\bf Exemples}\hfil\vspace{-5pt}
%\begin{enumerate}
%\item[{(1)}] La funci\'o $F(s)=e^{-s}$  compleix la condici\'o
%necess\`aria del
%corol$\cdot$lari anterior, per\`o no pas la suficient. De fet, es demostra que
%no t\'e  ${\cal L}$-antitransformada, com ja hem comentat.
%\item[{(2)}] Les fraccions racionals pr\`opies (\'es a dir, amb grau del
%numerador estrictament menor que el del denominador) verifiquen la
%condici\'o suficient del corol$\cdot$lari anterior, i per tant tenen
%${\cal L}$-antitransformades.
%\end{enumerate}
%\end{exemp}

%{\bf Valors inicial i final de la antitransformada}

Les propietats seg\"uents resulten molt \'{u}tils per a les aplicacions:

{\bf Proposici\'o} Si ${\cal L}[f(t)]=F(s)$, aleshores:
\begin{eqnarray*}
&&\lim\limits_{0^{+}}f(t)=\lim\limits_{+\infty }sF(s) \\
&&\lim\limits_{+\infty }f(t)=\lim\limits_{0}sF(s)
\end{eqnarray*}
si existeixen els l\'{\i}mits en q\"uesti\'o.
%\end{propo}

Es veu, a partir de la f\'ormula ${\mathcal L}\left[Df \right](s)=sF(s)-f(0)$.

{\bf Antitransformades de fraccions racionals}

%Ja s'ha vist a (10.13) que tota fracci\'o racional pr\`opia t\'e $
%{\cal L}$-antitransformada, que

Pot ser calculada a partir del desenvolupament
en s\`erie de  $F\left  (\frac{1}{s} \right) $. Sovint \'es m\'es \'{u}til
procedir per descomposici\'o en fraccions simples i aplicar despr\'es taules
de  ${\cal L}$-transformades; com en els exemples seg\"uents:

{\bf Exemples}\hfil\vspace{-5pt}
\begin{enumerate}
\item[{(1)}]
\begin{eqnarray*}
{\cal L}^{-1}\left  [\frac{1}{(s-1)(s+2)(s+4)} \right]&=&{\cal L}^{-1}\left
[\frac{1/15}{s-1}+\frac{-1/6}{s+2}+\frac{1/10}{s+4}\right ]=\\
&=&\frac{1}{15}e^{t}-\frac{1}{6}e^{-2t}+\frac{1}{10}e^{-4t}
\end{eqnarray*}
\item[{(2)}]
\begin{eqnarray*} {\cal L}^{-1}\left
[\displaystyle\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}} \right ]&=&{\cal L}^{-1}
\left  [\frac{-1/16}{s}+\frac{1/8}{s^{2}}+\frac{1/16}{s+2} +
\frac{-1/4}{(s+2)^{3}} \right]=\\ &=& -\displaystyle\frac
1{16}+\displaystyle\frac{1}{8}t+\displaystyle\frac 1
{16}e^{-2t}-\displaystyle\frac 1 8 t^{2}e^{-2t}
\end{eqnarray*}
\item[{3)}]
\begin{eqnarray*}
{\cal L}^{-1}\left [\displaystyle\frac
{3s-2}{s^{3}(s^{2}+4)}\right ]&=&{\cal L}^{-1} \left
[\frac{1/8}{s}+\frac{3/4}{s^{2}}+\frac{-1/2}{s^{3}} +
\frac{(-s/8)+(-3/4)}{s^{2}+4} \right ]=\\ &=&\displaystyle\frac
1{8}+\displaystyle\frac{3}{4}t-\displaystyle\frac 1
{4}t^{2}-\displaystyle\frac 1 8 \cos 2t-\displaystyle\frac 3 8
\sin 2t
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
%\end{exemp}

{\bf Observacio}
En certs casos, hi ha alternatives m\'{e}s directes:
\begin{eqnarray*}
{\cal L}^{-1}\left[\frac s{(s^2+1)^2}\right]&=&{\cal L}^{-1}\left[\frac 1{s^2+1}\frac s{s^2+1}
\right]=(\sin t)\ast (\cos t)=\int^t_0\sin\tau\cos(t-\tau)d\tau=\\
&=&\int^t_0\frac{\sin t+\sin(2t-\tau)}2d\tau=
\frac 1 2\sin t[\tau]^t_0-\frac 1 4[\cos(2\tau-t)]^t_0=\frac 1 2 t\sin t\, .
\end{eqnarray*}
O tamb\'{e}:
$$
{\cal L}^{-1}\left[\frac s {(s^2+1)^2}\right]=
{\cal L}^{-1}\left[-\frac 1 2D\frac 1{s^2+1}\right]=
\frac 1 2 t{\cal L}^{-1}\left[\frac 1{s^2+1}\right]=\frac 1 2 t\sin t\, .
$$



\vspace{0.25cm}
{\bf Exemple:} Com  calculem ${\mathcal L}^{-1}\left[\frac{1}{(s^2+4)^2}\right]$?

Tenim que
$${\mathcal L}^{-1}\left[\frac{1}{(s^2+4)^2}\right]=\sin(2t)\ast \sin(2t)=\int_0^t\sin(2\tau)\sin(2(t-\tau))d\tau.$$

Ara usem que $\sin(2\tau)\sin(2(t-\tau))=\frac{1}{2}[\cos(4\tau-2t)-\cos(2t)]$. Per tant,

$${\mathcal L}^{-1}\left[\frac{1}{(s^2+4)^2}\right]=\frac{1}{4}\sin(2t)-\frac{1}{2}t\cos(2t).$$

%\end{observacio}

%\section{Aplicaci\'o a la resoluci\'o d'equacions diferencials
%ordin\`aries lineals a coeficients constants}

%Considerem l'equaci\'o diferencial ordin\`aria
%$$
%a_{n}D^{n}y+a_{n-1}D^{n-1}y+\dots+a_{1}y'+a_{0}y=g(t)\, ,
%$$
%amb $y(0)=\alpha _{0},\dots, D^{n-1}y(0)=\alpha _{n-1}$.

%Aplicant  ${\cal L}$, resulta:
%$$
%(a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\dots+a_{1}s+a_{0}){\cal L}[y(t)]=P(s)+G(s)\, ,
%$$
%on $P(s)=a_{n}(\alpha _{0}s^{n-1}+\dots+\alpha _{n-1})+a_{n-1}(\alpha
%_{0}s^{n-2}+\dots+ \alpha _{n-2})+\dots+a_{1}\alpha _{0}$. Per tant,
%$$
%y(t)={\cal L}^{-1}\left  [\frac{P(s)+G(s)}{a_{n}s^{n}+\dots+a_{1}s+ a_{0}}
%\right ]\, .
%$$

%\begin{unexemp} Considereu un circuit RL, amb for\c{c}a electromotriu
%$E(t)$ $$ L i'(t)+R i(t)=E(t)\, . $$ Si suposem $i(0)=0$, i escrivim
%$\lambda=R/L$,
%procedint com abans resulta:
%\begin{eqnarray*}
%i(t)&=&{\cal L}^{-1}\left[\displaystyle\frac{{\cal L}[E(t)]}{Ls+
%R}\right]= E(t)\ast{\cal L}^{-1}
%\left[\displaystyle\frac{1}{Ls+R}\right]=\\
%&=&E(t)\ast\displaystyle\frac 1Le^{-\lambda t}=\displaystyle\frac
%1 L \displaystyle\int^t_0E(\tau)e^{-\lambda(t-\tau)}d\tau=\\
%&=&\displaystyle\frac 1 Le^{-\lambda
%t}\displaystyle\int^t_0E(\tau)e^{\lambda \tau}d\tau
%\end{eqnarray*}
%\end{unexemp}
%Compareu aquest resultat  amb el que obtindr\'{\i}eu aplicant (4.3).

%\section{Altres exemples d'aplicaci\'o}

%En un circuit RLC general, tindr\'{\i}em l'equaci\'o integro-diferencial
%$$
%L i'(t)+Ri(t)+\frac{1}{C}\int^{t}_{0}i(\tau )d\tau =E(t)
%$$
%Aplicant  ${\cal L}$ resulta:
%\begin{eqnarray*}
%&&L\left(s{\cal L}[i(t)]-i(0)\right)+R{\cal L}[i(t)]+\frac{1}{C}\frac{
%{\cal L}[i(t)]}{s}={\cal L}[E(t)]\\
%&&\left(Ls+R+\frac{1}{Cs}\right ){\cal L}[i(t)]=i(0)L+{\cal L}[E(t)]
%\end{eqnarray*}
%Per tant:
%$$
%i(t)={\cal L}^{-1} \left  [\frac{i(0)L+{\cal L}[E(t)]}{Ls+R+\frac{1}{Cs}}
%\right]
%$$
\vspace{0.5cm}

{\bf * Funci\'o impuls unitari o Delta de Dirac,  $\delta $.
La seva transformada.}

La {\sl delta de Dirac} $\delta $, \'es una \lq\lq funci\'o
generalitzada\rq\rq \ ( o \lq\lq distribuci\'o\rq\rq)  molt \'{u}til
per a modelitzar accions intenses instant\`anies (o de durada molt
curta), com ara cops mec\`anics, impulsos el\`ectrics, etc.
%Podem
%representar-la com a \lq\lq l\'{\i}mit\rq\rq, quan $h\to 0$, de les
%funcions $\Delta _{h}$ definides per
%\begin{eqnarray}
%\begin{array}{lll}
%\Delta_{h}(t)=\frac{1}{h},&&\mbox{si $0<t<h$}\\
%\Delta_{h}(t)=0,          &&\mbox{altrament}
%\end{array}
%\end{eqnarray}
Resulta, doncs, intu{\"\i}tiva la caracteritzaci\'o de  $\delta
$ mitjan\c cant les dues propietats seg\"uents
\begin{eqnarray}
\delta (0)=+\infty,\qquad
\delta (t)=0, \quad\mbox{si}\quad t\not= 0
%\leqno(1)
\end{eqnarray}
$$
\int^{+\infty }_{-\infty }\delta (t) dt=1\qquad \int^{+\infty }_{-\infty }\delta (t) f(t)dt=f(0)\quad \forall "f\in {\mathcal C}^{1}".
%\leqno(2)
$$
%(Observeu que no es tracta, doncs, d'una \lq\lq funci\'o\rq\rq \ en el
%sentit habitual de la paraula).

%Com que  ${\cal L}[\Delta _{h}]={\cal L}\left  [\frac 1 h-\frac{1}{h}
%{\cal U}(t-h)
%\right ]=\frac{1}{hs}-\frac{1}{hs}e^{-hs}$, tamb\'e resulta natural
%la propietat seg\"uent, especialment interessant als nostres efectes:
%$$
%{\cal L}[\delta (t)]=1\leqno(3)
%$$
%(Altre cop es palesa que no es tracta d'una \lq\lq funci\'o\rq\rq \
%pr\`opiament dita, ja que contradiu (1) de l'apartat 4).%

%De forma precisa,  $\delta $ pot definir-se com a funcional lineal
%(sobre una certa classe de funcions  $f\in C^{0}(\w R)$) mitjan\c cant
%l'expressi\'o
%$$
%\int^{+\infty }_{-\infty }f(t) \delta (t)dt=f(0)\leqno(4)
%$$
%de la qual poden deduir-se les propietats anteriors.

Fins ara ens hem referit a \lq\lq impulsos\rq\rq \ en l'instant
$t=0$. Per traslaci\'o es generalitza a  $t=t_{0}$ qualsevol:
$$
%\begin{array}{lll}
\delta (t-t_{0})=+\infty ,\quad \mbox{si $t=t_{0}$}; \qquad
\delta (t-t_{0})=0 , \quad \mbox{si $t\not= t_{0}$}
%\end{array}\leqno(1')
$$
$$
\int^{+\infty }_{-\infty }\delta (t-t_{0})dt=1\qquad \int^{+\infty }_{-\infty }\delta (t-t_0) f(t)dt=f(t_0)\quad \forall "f\in {\mathcal C}^{1}".
%\leqno(2')
$$


{\bf Propietat:} ${\mathcal U}'(t-t_0)=\delta(t-t_0)$.

{\bf Exercici:} Comproveu que ${\mathcal L}[\delta(t-a)]=e^{-as}$.
%$$
%{\cal L}[\delta (t-t_{0})]=e^{-st_{0}}\leqno(3')
%$$
%(Aix\`o no contradiu les afirmacions de 10.13 sobre la inexist\`encia de
%${\cal L}$-antitransformada de $e^{-s}$ ja que, com hem dit
%reiteradament,
%$\delta $ no \'es una \lq\lq funci\'o\rq\rq \ pr\`opiament dita sin\'o una
%\lq\lq distribuci\'o\rq\rq).
%$$
%\int^{+\infty
%}_{-\infty }f(t)\delta (t-t_{0})dt=f(t_{0})\leqno(4')
%$$

%\begin{unexemp} Suposem que en un sistema massa/molla (sense fregament),
%la massa es deixa anar a l'instant  $t=0$, i que a l'instant  $t=\pi $
%rep un cop sec. En unitats adequades, les equacions del sistema s\'on:
%$$
%\begin{array}{c}
%y''+y=\delta (t-\pi )\\ {}\\
%y(0)=1, \quad y'(0)=0
%\end{array}
%$$
%Apliquem la transformada de Laplace:
%\begin{eqnarray*}
%&&s^{2}{\cal L}[y(t)]-s+{\cal L}[y(t)]=e^{-\pi s}\\
%&&{\cal L}[y(t)]=\frac{s}{s^{2}+1}+\frac{e^{-\pi s}}{s^{2}+1}\\
%\end{eqnarray*}
%$$
%y(t)=\cos t+\sin (t-\pi ){\cal U}(t-\pi )=\cos t-\sin t{\cal U}(t-\pi )
%$$
%Doncs, el moviment oscil$\cdot$latori inicial  $\cos t$ es transforma en
%el  $\cos t-\sin t$ a partir de l'instant  $t=\pi $ en el qual la massa
%ha rebut el cop.
%\end{unexemp}
\newpage
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline \multicolumn{2}{|c|}{\Large \bf Taula de
$\mathcal{L}$-transformades}
\\ \hline
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{\bf Definici\'{o}}\\\hline
 $f(t)$,\quad $t>0$& $F(s)=\int^{+\infty}_0 e^{-st}f(t) dt$
 \\\hline
 \multicolumn{2}{|l|}{\bf Propietats}\\\hline
 $f_1(t)+f_2(t)$& $F_1(s)+F_2(s)$ \\\hline
$\lambda f(t)$& $\lambda F(s)$ \\\hline $f(at)$,\quad $a>0$&
$(1/a)F(s/a)$ \\\hline
 $e^{-at}f(t)$& $F(s+a)$ \\\hline
  $f(t-a){\cal U}(t-a)$,\quad $a>0$&$e^{-as}F(s)$ \\\hline
$D^{N}f(t)$&
$s^NF(s)-s^{N-1}f(0)-s^{N-2}f'(0)-\dots-D^{N-1}f(0)$\\\hline
$t^Nf(t)$&$(-1)^ND^NF(s)$\\\hline
$\int^t_0f(\tau)d\tau$&$F(s)/s$\\\hline
$f(t)/t$&$\int^{+\infty}_sF(\sigma)d\sigma$\\\hline $f_1(t)\ast
f_2(t)=\int^t_0f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau$&$F_1(s)F_2(s)$\\\hline
$f(t+T)=f(t)$&$F(s)=1/(1-e^{-sT})\int^T_0e^{-st}f(t)dt$\\\hline
 \multicolumn{2}{|l|}
 {
 $\lim_{0^+}f(t)=\lim_{+\infty}sF(s)$;
$\lim_{+\infty}f(t)=\lim_{0^+}
sF(s)$}\\\hline
 \multicolumn{2}{|l|}{\bf Exemples}\\\hline
 $\delta(t)$&$1$\\\hline
 $\delta(t-a)$&$e^{-as}$\\\hline
 $1$&$1/s$\\\hline
 $e^{at}$&$1/(s-a)$\\\hline
 $t^N$&$N!/s^{N+1}$\\\hline
 $t^\alpha$&$\Gamma(\alpha+1)/s^{\alpha+1}$\\\hline
 $\sin bt$&$b/(s^2+b^2)$\\\hline
 $\cos bt$&$s/(s^2+b^2)$\\\hline
 $\sinh bt$&$b/(s^2-b^2)$\\\hline
$\cosh bt$&$s/(s^2-b^2)$\\\hline $(\sin bt-bt\cos
bt)/(2b^3)$&$1/(s^2+b^2)^2$\\\hline $(bt \cosh bt-\sinh
bt)/(2b^3)$&$1/(s^2-b^2)^2$\\\hline $(\sin bt)/t$&$\arctan
(b/s)$\\\hline $\ln t$&
$(\Gamma'(1)-\ln s)/s$\\\hline
\end{tabular}

\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
