%amstex2
%\headline={\ifodd\pageno\rightheadline \else\leftheadline\fi}

%\def\rightheadline{\vbox{\line{\hfill {\slp
%19. S\`eries de Fourier}
%\qquad {\boldp \folio}} \vskip 3pt }}

%\def\leftheadline{\vbox{\centerline{{\boldp \folio}\qquad
%{\slp C\`alcul II. S\`eries}
%\hfill}\vskip
%3pt }}


\documentclass[12pt,reqno]{article}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[catalan]{babel}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\def\p{{\partial}}
\def\dfrac{\displaystyle\frac}
\def\dint{\displaystyle\int}
%\addtolength{\textwidth}{5cm} \addtolength{\textheight}{5cm} \addtolength{\topmargin}{-3.3cm}
\textwidth 18truecm  \textheight 28truecm \addtolength{\topmargin}{-3.5cm}
\oddsidemargin -0.85truecm \evensidemargin -5mm
\pagestyle{empty}

\newif\ifresolved
%\resolvedtrue
\def\resol#1{\ifresolved  \ {#1}\else \hspace{17.5cm} \hfill\fi}


\begin{document}
\hrule\smallskip \medskip \noindent{\textbf{{\large{C\`alcul II / S\`eries de Fourier}}} \hfill\textsl{}}
\par\par
                     \medskip\noindent{\textsl{\small{1 de setembre de  2015}}}\hfill \par\par
                     \medskip\hrule\vspace{0.5cm}

%\noindent{\bf{Teoria.}} \hfill {\small{\sl{( punts)}}}

\medskip

















%\chapter{S\`{e}ries de Fourier}\label{chap19}


\section{Funcions peri\`odiques cont\'{\i}nues a trossos}

Considerem un interval $[-T,T]\subset\R$, i funcions reals
peri\`odiques de per\'{\i}ode  $2T$. Quan es considerin funcions definides en
$[-T,T]$ se suposaran \lq\lq prolongades de forma peri\`odica\rq\rq \ a
tot $\R$.

En tot el tema indicarem
per $CT[-T,T]$ el conjunt d'aquestes funcions \lq\lq cont\'{\i}nues a
trossos\rq\rq
\ en $[-T,T]$, \'es a dir, cont\'{\i}nues en tot punt d'aquest interval llevat,
com a m\`axim, d'un nombre finit de punts on presenten discontinu\"{\i}tats
evitables o de salt.
%%%
\section{Ortogonalitat del conjunt de funcions
$\{\sin\frac{n\pi }{T}x,\cos\frac{m\pi }{T}x\}$}

Considerem un interval $[-T,T]\subset\R$, i el conjunt de funcions
$$
1,\sin\frac{\pi }{T}x, \cos\frac{\pi }{T}x,\sin\frac{2\pi
}{T}x,\cos\frac{2\pi }{T}x,\dots\leqno (*)
$$
Es verifica:

{\bf Proposici\'o}
\hfil\vspace{-5pt}
\begin{enumerate}
%\roster
\item[(i)]  $\displaystyle\int^{T}_{-T}\sin\frac{n\pi }{T}x
\sin\frac{m\pi }{T}x dx=0$, per a tot $n\not= m$.
\item[{}] $\displaystyle\int^{T}_{-T}\cos\frac{n\pi }{T}x
\cos\frac{m\pi }{T}x dx=0$, per a tot $n\not= m$.
\item[{}]  $\displaystyle\int^{T}_{-T}\sin\frac{n\pi }{T}x
\cos\frac{m\pi }{T}x dx=0$, per a tot $n$, $m$.
\item[(ii)]  $\displaystyle\int^{T}_{-T}\sin^{2}\frac{n\pi
}{T}xdx=\displaystyle\int^{T}_{-T} \cos^{2}\frac{n\pi }{T}x dx=T$, per a tot
$n\not=0$.
%\endroster
\end{enumerate}
%\end{propo}

\nobreak
{\bf Prova} \'Es un exercici senzill d'integraci\'o. Per exemple:
\begin{eqnarray*}
&&\int^{T}_{-T}\sin\frac{n\pi }{T}x\sin\frac{m\pi }{T}x dx=
=\int^{T}_{-T}\frac{1}{2}\left  (\cos\frac{n\pi -m\pi
}{T}x-\cos\frac{n\pi +m\pi }{T}x \right )dx=\\ &&\quad
=\frac{1}{2}\left  [\frac{T}{n\pi -m\pi }\sin\frac{n\pi -m\pi
}{T}x-\frac{T}{n\pi +m\pi }\sin\frac{n\pi +m\pi }{T}x
\right]^{T}_{-T}=0
\end{eqnarray*}

{\bf Corol.lari}
Si una funci\'o  $f\in CT[-T,T]$ verifica:
$$
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum^{N}_{n=1}\left  (a_{n}\cos\frac{n\pi
}{T} x+b_{n}\sin \frac{n\pi }{T}x \right )
$$
aleshores els coeficients $a_{0}$, $a_{n}$, $b_{n}$ venen determinats
per:
\begin{eqnarray*}
a_{0}&=&\frac{1}{T}\int^{T}_{-T}f(x) dx\\
a_{n}&=&\frac{1}{T}\int^{T}_{-T}f(x) \cos\frac{n\pi }{T}x dx\\
b_{n}&=&\frac{1}{T}\int^{T}_{-T}f(x) \sin\frac{n\pi }{T}x dx
\end{eqnarray*}
%\end{coro}

{\bf Observaci\'o}
S\'on interessants les consideracions geom\`etriques que resulten
de considerar en $CT[-T,T]$ el producte escalar definit per:

\begin{eqnarray}\label{a}
<f,g>=\displaystyle\int^{T}_{-T}f(x)g(x)dx
\end{eqnarray}
i la norma i dist\`ancia associades
\begin{eqnarray}\label{b}
\parallel f\parallel ^{2}=<f,f>\, , \quad d(f,g)=\parallel f-g\parallel.
\end{eqnarray}
\begin{enumerate}
\item[(1)]
Observeu que es tracta de la dist\`ancia \lq\lq en mitjana
quadr\`atica\rq\rq.
%\item[{}]
%De fet, es tracta d'un producte escalar diguem-ne \lq\lq gaireb\'e\rq\rq \
%definit positiu: si $\parallel f\parallel =0$, podem assegurar que  $f$
%val  $0$ en tots els punts de  $[-T,T]$, llevat, com a m\`axim, en un
%nombre finit.
\item[(2)] Amb aquesta m\`etrica, la proposici\'o anterior podr\'{\i}em
enunciar-la dient:
\begin{enumerate}
\item[(i')] el conjunt (*) \'es ortogonal.
\item[(ii')] les funcions de (*) tenen norma $\sqrt{T}$ (fora de la
funci\'o 1, que t\'e norma  $\sqrt{2T}$).
\end{enumerate}
\item[(3)] Igualment, el corol$\cdot$lari anterior es podria escriure:
\begin{eqnarray*}
a_{0}&=&\frac{1}{T}\, <f,1>\\
a_{n}&=&\frac{1}{T}\, <f,\cos\frac{n\pi }{T}x>\\
b_{n}&=&\frac{1}{T}\, <f,\sin\frac{n\pi }{T}x>
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
%\end{observacio}

%\newpage

\section{S\`eries de Fourier}

El corol$\cdot$lari  i les observacions de l'apartat anterior
justifiquen les definicions seg\"uents:

{\bf Definici\'o} Essent $f\in CT[-T,T]$ es defineixen els seus {\sl
coeficients de Fourier} mitjan\c cant
\begin{eqnarray*}
a_{0}&=&\frac{1}{T}\int^{T}_{-T}f(x) dx\\
a_{n}&=&\frac{1}{T}\int^{T}_{-T}f(x) \cos\frac{n\pi }{T}x dx\\
b_{n}&=&\frac{1}{T}\int^{T}_{-T}f(x) \sin\frac{n\pi }{T}x dx
\end{eqnarray*}
($n=1,2,\dots$), i la seva {\sl s\`erie de Fourier} associada
$$
{\cal F}[f]=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n\geq 1}\left  (a_{n}\cos\frac{n\pi
}{T}x + b_{n}\sin\frac{n\pi }{T}x \right )
$$
Denotarem per ${\cal F}_{N}[f]$ la suma parcial en\`esima d'aquesta s\`erie:
$$
{\cal F}_{N}[f]=\frac{a_{0}}{2}+\sum^{N}_{n=1}\left  (a_{n}
\cos\frac{n\pi }{T}x+b_{n}\sin\frac{n\pi }{T}x \right )
$$
%\end{defi}

{\bf Exemple} Considerem en $[-\pi ,\pi ]$ la funci\'o esgla\'o
unitat a l'origen:
$$
{\cal U}(x)=\left\{\begin{array}{l}
1,\quad \mbox{si}\quad x\in[0,\pi ]\\
0,\quad \mbox{si}\quad x\in[-\pi,0 [\end{array} \right .
$$
Resulta:
\begin{eqnarray*}
&&a_{0}=1\\
&&a_{n}=0\\
&&b_{n}=\frac{1-(-1)^{n}}{n\pi }=
\left\{\begin{array}{lll}0,&&\mbox{si}\quad n=2p\\
\frac{2}{n\pi },&&\mbox{si}\quad n=2p+1\end{array}\right .
\end{eqnarray*}
Per tant:
$$
{\cal F}[{\cal U}]=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi }\sum_{p\geq
0}\frac{1}{2p+1}\sin(2p+1)x \, .
$$
%\end{unexemp}

\section{Converg\`encia puntual d'una s\`erie de Fourier}

Essent  $f$ i ${\cal F}[f]$ com a l'apartat anterior, el valor de la suma
de la s\`erie  ${\cal F}[f]$ en un punt  $x_{0}\in[-T,T]$ ve donat per
\begin{eqnarray*}
{\cal F}[f](x_{0})&=&\lim_{N\to\infty } {\cal F}_{N}[f](x_{0})=\\
&=&\frac{a_{0}}{2}+\sum^{\infty }_{1}\left  (a_{n}\cos\frac{n\pi }{T}
x_{0}+b_{n}\sin\frac{n\pi }{T}x_{0} \right)
\end{eqnarray*}
si existeix, \'es a dir, si aquesta s\`erie num\`erica \'es convergent. En
general, pot succeir que  ${\cal F}[f]$ no convergeixi en un punt
$x_{0}\in[-T,T]$, o que convergeixi cap a un valor diferent de
$f(x_{0})$. Tanmateix, el seg\"uent teorema clarifica la situaci\'o en gran
part de casos:

{\bf Teorema} ({\bf Dirichlet}). Essent  $f\in CT[-T,T]$, suposem
que $f'\in
CT[-T,T]$, \'es a dir, que l'interval $[-T,T]$ pot dividir-se en un nombre
finit de subintervals, de tal manera que  $f$ \'es de classe  $C^{1}$ en
l'interior de cadascun, i en els punts frontera $f$ i/o  $f'$ presenten
discontinu\"{\i}tat evitables o de salt. Aleshores:
\begin{enumerate}
\item[(i)] si $x_{c}\in]-T,T[$ \'es un punt de continu\"{\i}tat de $f$, es
verifica
$$
{\cal F}[f](x_{c})=f(x_{c})
$$
\item[(ii)] si $x_{d}\in]-T,T[$ \'es un punt de discontinu\"{\i}tat de $f$, es
verifica
$$
{\cal F}[f](x_{d})=\frac{1}{2}\left(f(x_{d}^{+})+f(x^{-}_{d})\right )
$$
on $f(x_{d}^{+})$ i $f(x^{-}_{d})$ indiquen els l\'{\i}mits laterals de  $f$
en $x_{d}$.
\item[(iii)] per a $x_{0}=\pm T$, es verifica
$$ {\cal F}[f](\pm T)=\frac{1}{2}\left  (f((-T)^{+})+f(T^{-}) \right
)
$$
\end{enumerate}
%\end{teo}

{\bf Exemple} Continuant l'exemple de l'apartat anterior, en
el punt $x_{c}=\frac{\pi }{2}$ resulta:
\begin{eqnarray*}
{\cal F}[{\cal U}]\left  (\frac{\pi }{2} \right)&=&\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi
} \sum^{\infty }_{p=0}\frac{1}{2p+1}\sin(2p+1)\frac{\pi }{2}=\\
&=&\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi }\sum^{\infty }_{p=0}\frac{(-1)^{p}}{2p+1}=
\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi }\arctan 1=\\
&=&\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi }\frac{\pi }{4}=1
\end{eqnarray*}
que coincideix amb  $f(x_{c})$. Per a  $x_{d}=0$ resulta:
$$
{\cal F}[{\cal U}](0)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi }\sum^{\infty
}_{0}\frac{1}{2p+1}\sin 0=\frac{1}{2}
$$
que coincideix amb
$$
\frac{1}{2}\left  (f(0^{+})+f(0^{-}) \right
)=\frac{1}{2}(1+0)=\frac{1}{2}\, .
$$
%\end{unexemp}

{\bf Exercici} Mitjan\c cant la s\`erie de Fourier en $[-\pi
,\pi ]$ de la funci\'o $f(x)=x^{2}{\cal U}(x)$, demostreu les seg\"uents
igualtats:
\begin{eqnarray*}
\frac{\pi^{2}}{12}&=&1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\dots\\
\frac{\pi^{2}}{6}&=&1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\dots\\
\frac{\pi^{2}}{8}&=&1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\dots\\
\frac{\pi^{2}}{24}&=&\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\dots
\end{eqnarray*}
%\end{exercici}

\section{Integraci\'o i derivaci\'o de s\`eries de Fourier}

Amb hip\`otesis adequades, les s\`eries de Fourier poden integrar-se i
derivar-se \lq\lq terme a terme\rq\rq, de forma an\`aloga a les s\`eries de
pot\`encies:

{\bf Teorema} Essent, com a 19.3,  $f\in CT[-T,T]$ amb
$$
{\cal F}[f]=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n\geq 1}\left  (a_{n}\cos \frac{n\pi
}{T} x+b_{n}\sin\frac{n\pi }{T}x \right )
$$
\begin{enumerate}
\item[(1)] La integral en tot interval $[\alpha ,\beta ]$ pot obtenir-se
integrant \lq\lq terme a terme\rq\rq \ la seva s\`erie de Fourier:
\begin{eqnarray*} \int^{\beta }_{\alpha }f(x)dx&=&\int^{\beta }_{\alpha
}\frac{a_{0}}{2} +\sum_{n\geq 1} \int^{\beta }_{\alpha }\left
(a_{n}\cos\frac{n\pi }{T} x+b_{n}\sin\frac{n\pi }{T}x \right)=\\
&=&\frac{a_{0}}{2} (\beta -\alpha )+ \sum_{n\geq 1}\frac{T}{n\pi }
\left [a_{n}\sin\frac{n\pi }{T}x-b_{n}\cos\frac{n\pi
}{T}x\right]^{\beta }_{\alpha}
\end{eqnarray*}
Igualment, per a la seva funci\'o integral resulta:
$$
\int^{x}_{0}f(t)dt=\frac{a_{0}}{2}x+\sum_{ n\geq 1}\frac{T}{n\pi }
\left (a_{n}\sin\frac{n\pi }{T}x-b_{n}\cos\frac{n\pi
}{T}x+b_{n}\right )
$$
\item[(2)] Si $f\in C^{0}(\R)$ i $f'\in CT[-T,T]$, aleshores la s\`erie
de Fourier de $f'$ pot obtenir-se derivant \lq\lq terme a terme\rq\rq \
la de $f$:
$$
{\cal F}[f']=\sum_{n\geq 1}\frac{n\pi }{T} \left
(b_{n}\cos\frac{n\pi }{T} x-a_{n}\sin\frac{n\pi }{T}x \right )
$$

\end{enumerate}
%\end{teo}

{\bf Observacions}\hfil\vspace{-5pt}
\begin{enumerate}
\item[(1)] La funci\'o integral $\int^{x}_{0}f(t)dt$ NO t\'e per\'{\i}ode  $2T$,
fora que $\int^{T}_{-T}f=a_{0}=0$.

Igualment, el terme $\frac{a_{0}}{2}x$ de l'expressi\'o trobada a (1) NO
\'es peri\`odic. Per tant, nom\'es si $a_{0}=0$ aquesta expressi\'o pot dir-se'n
la s\`erie de Fourier de la funci\'o integral $\int^{x}_{0}f(t)dt$.
\item[(2)] La derivaci\'o \lq\lq terme a terme\rq\rq \ NO \'es v\`alida, en
general, si $f$ no \'es cont\'{\i}nua en $\R$. Aix\'{\i}, a l'exemple de l'esgla\'o unitat \'es
clar que ${\cal U}'(x)=0$ ($x\not= k\pi $), mentre que al derivar \lq\lq
terme a terme\rq\rq \ ${\cal F}[{\cal U}]$ resulta $\frac{2}{\pi
}\sum_{p\geq 0}\cos(2p+1)x$.

\end{enumerate}
%\end{observacions}


{\bf Exemple} Considerem en $[-\pi ,\pi ]$ la funci\'o \lq\lq
signe\rq\rq:
$$
\mbox{sig }(x)=\left\{\begin{array}{lll}
1,&&\mbox{si}\quad x\in[0,\pi ]\\
-1,&&\mbox{si}\quad x\in[-\pi,0 ]\end{array}\right.
$$
\'Es immediat (per c\`alcul directe, o b\'e a partir de l'exemple de l'esgla\'o unitat,
observant que $\mbox{sig }(x)=2{\cal U}(x)-1$) que
$$
{\cal F}[\mbox{sig }]=\frac{4}{\pi }\sum_{p\geq 0} \frac{1}{2p+1}
\sin(2p+1)x
$$
Per a aplicar (1) del teorema anterior, d'una banda calculem directament
la s\`erie de Fourier de la seva funci\'o integral
\begin{eqnarray*}
&&\int^{x}_{0}\mbox{sig }(t)dt=|x|, \quad x\in[-\pi ,\pi ]\\
&&{\cal F}[|x|]=\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }
\sum_{p\geq 0} \frac{\cos(2p+1)x}{(2p+1)^{2}}
\end{eqnarray*}
D'una altra, integrem \lq\lq terme a terme\rq\rq \  ${\cal F}[\mbox{sig
}]$: $$
-\frac{4}{\pi }\sum_{p\geq 0}\left  (\frac{\cos (2p+1)x}{(2p+1)^{2}} -
\frac{1}{(2p+1)^{2}} \right )
$$
Igualant ambdues expressions segons (1) del teorema anterior, resulta
$$
\sum_{p\geq 0} \frac{1}{(2p+1)^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{8}
$$
com a l'exercici anterior s'obt\'e per altres m\`etodes.
%\end{unexemp}

\section{Converg\`encia en mitjana quadr\`atica}

Hem comentat a l'apartat anterior que no sempre la s\`erie de Fourier
${\cal F}[f]$ convergeix en cada punt a  $f$, \'es a dir, que el l\'{\i}mit
$$
\lim_{N\to\infty }|f(x_{0})-{\cal F}_{N}[f](x_{0})|
$$
no sempre \'es 0.

Tanmateix, la s\`erie ${\cal F}[f]$ sempre convergeix cap a  $f$ \lq\lq en
mitjana quadr\`atica\rq\rq:

{\bf Teorema} {\rm ({\bf Parseval})}. Essent  $f\in CT[-T,T]$, es
verifica:
\begin{enumerate}
%\roster
\item[(i)]  $\lim\nolimits_{N\to\infty
}\displaystyle\int^{T}_{-T}(f(x)-{\cal F}_{N}[f](x))^{2}dx=0$
\item[{}] o equivalentment
\item[(ii)]
$\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int^{T}_{-T}(f(x))^{2}dx=
\displaystyle\frac1T\displaystyle\lim_{N\to\infty}\displaystyle\int^T_{-T}
\left({\cal F}_N[f](x)\right)^2 dx=
\displaystyle\frac{a_{0}^{2}}{2} + \displaystyle\sum^{\infty }_{n=1}a_{n}^{2}+
\displaystyle\sum^{\infty }_{n=1}b_{n}^{2}$
\end{enumerate}
%\end{teo}


 Per tant,
$\lim a_{n}=\lim b_{n}=0$.


{\bf Exemple} En l'exemple de l'esgla\'o unitat, tindr\'{\i}em:
\begin{eqnarray*}
&&\frac{1}{2\pi }\int^{\pi } _{-\pi }({\cal U}(x))^{2}dx=\frac{1}{2\pi
}\pi =\frac{1}{2}\\
&&\frac{a^{2}_{0}}{4}+\frac{1}{2}\sum a^{2}_{n}+\frac{1}{2}\sum
b^{2}_{n}= \frac{1}{4}+0+\frac{1}{2}\frac{4}{\pi ^{2}}\left
(1+\frac{1}{3^{2}}+\dots \right )=\\
&&\quad=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\frac{4}{\pi ^{2}}\frac{\pi
^{2}}{8}=\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
(Per a la pen\'{u}ltima igualtat hem utilitzat el resultat de l'exercici
anterior.)
%\end{unexemp}

{\bf Observaci\'o} Amb la m\`etrica introdu\"{\i}da a (\ref{b}), el
teorema anterior s'enunciaria dient:
\begin{enumerate}
\item[(i')]  $\lim\nolimits_{N\to\infty }\parallel
f-{\cal F}_{N}[f]\parallel =0$.
\item[(ii')]  $\displaystyle\frac{1}{T}\parallel
f\parallel^{2}=\displaystyle\frac{a_{0}^{2}}{2}+\displaystyle\sum^{\infty
}_{n=1}a^{2}_{n}+\displaystyle\sum^{\infty }_{n=1}b^{2}_{n}$.
\end{enumerate}
%\end{observacio}

\section{Interpretaci\'o com a millor aproximaci\'o en
mit\-ja\-na  quadr\`atica}

A l'apartat anterior hem enunciat que $f$ pot ser aproximada en mitjana
quadr\`atica per ${\cal F}_{N}[f]$ tant com vulguem prenent  $N$ prou gran.
Anem
a veure ara que per a cada $N$ fix,  ${\cal F}_{N}[f]$ \'es la millor
aproximaci\'o
de $f$ en mitjana quadr\`atica d'entre totes les funcions que s\'on
combinaci\'o lineal de les primeres $2N+1$ del conjunt (*).

{\bf Definici\'o} Essent  $(\alpha ,\beta )\equiv (\alpha
_{0},\alpha _{1},\dots, \alpha _{N},\beta _{1},\dots,\beta _{N})\in\R^{2N+1}$, definim:
\begin{eqnarray*}
&&F_{\alpha ,\beta }(x)=\frac{\alpha _{0}}{2}+\sum^{N}_{n=1}\left
(\alpha
_{n}\cos \frac{n\pi }{T}x+\beta _{n}\sin\frac{n\pi }{T}x \right )\\
&&S_{N}=\{F_{\alpha ,\beta }; (\alpha ,\beta )\in\R^{2N+1}\}
\end{eqnarray*}
%\end{defi}

{\bf Proposici\'o} Essent $f\in CT[-T,T]$, designem per $E(\alpha
,\beta )$
l'error quadr\`atic mig com\`es en aproximar-la per una funci\'o $F_{\alpha
,\beta }$ de $S_{N}$:
$$
E(\alpha ,\beta )=\int^{T}_{-T}(f(x)-F_{\alpha ,\beta }(x))^{2}\, dx  \,
.
$$
Aleshores, aquest error  $E(\alpha
,\beta )$ \'es m\'{\i}nim per a
$$
(\alpha ,\beta )=(a_{0},a_{1},\dots,a_{N},b_{1},\dots,b_{N})
$$
els coeficients de Fourier de $f$. \'Es a dir, per a
$$
F_{\alpha ,\beta }={\cal F}_{N}[f]\, .
$$
%\end{propo}

{\bf Prova:} \'Es f\`acil calcular les derivades parcials de $E(\alpha
,\beta )$. Per exemple:
\begin{eqnarray*}
D_{2N+1}E(\alpha ,\beta
)&=&\int^{T}_{-T}2\left  (f(x)-F_{\alpha ,\beta }(x) \right
)\sin\frac{N\pi }{T}x\, dx=\\
&=&2\int^{T}_{-T}f(x)\sin\frac{N\pi
}{T}x\, dx-2\int^{T}_{-T}F_{\alpha ,\beta }(x)\sin\frac{N\pi
}{T}x\, dx=\\
&=&2b_{N}T-2\beta _{N}T\, .
\end{eqnarray*}
Aix\'{\i}, doncs:
$$
\begin{array}{lll}
d E(\alpha ,\beta )=2T&&(a_{0}-\alpha _{0},\, \, \, a_{1}-\alpha
_{1},\, \dots \, , a_{N}-\alpha _{N},\, \, \, b_{1}-\beta _{1},\,
\dots\, , b_{N}-\beta _{N}) \\
d^{2}E(\alpha ,\beta )=-2T&&\mbox{Id}
\end{array}
$$
Per tant,  $d E(\alpha ,\beta )$ nom\'es s'anul$\cdot$la per a  $(\alpha
,\beta) =(a_{0},a_{1},\dots,a_{N},b_{1},\dots,b_{N})$, que \'es un m\'{\i}nim.

{\bf Observacio} Amb la m\`etrica introdu\"{\i}da a (\ref{b}), la
proposici\'o anterior \'es immediata ja que  $E(\alpha ,\beta
)=(d(f,F_{\alpha ,\beta }))^{2}$, i ${\cal F}_{N}[f]$ no \'es m\'es que la
projecci\'o ortogonal de  $f$ sobre el subespai  $S_{N}$, i per tant el
punt de  $S_{N}$ m\'es pr\`oxim a $f$.
%\end{observacio}



\section{Cas particular de funcions parelles i imparelles:
desenvolupaments en s\`erie  de sinus i  de cosinus}

{\bf Proposici\'o} Sigui $f\in CT[-T,T]$
\begin{enumerate}
\item[(1)] Si $f$ \'es parella, \'es a dir, si $f(-x)=f(x)$ per a tot
$x\in[-T,T]$, aleshores els seus coeficients de Fourier verifiquen:
\begin{eqnarray*}
&&a_{0}=\frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(x)\, dx\\
&&a_{n}=\frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(x)\cos\frac{n\pi }{T}x\, dx\\
&&b_{n}=0
\end{eqnarray*}
Doncs, la seva s\`erie de Fourier \'es un {\sl desenvolupament en s\`erie de
cosinus}:
$$
{\cal F}[f]=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n\geq 1}a_{n}\cos\frac{n\pi }{T}x\, .
$$
\item[(2)] Si $f$ \'es imparella, \'es a dir, si $f(-x)=-f(x)$ per a tot
$x\in[-T,T]$, aleshores els seus coeficients de Fourier verifiquen:
\begin{eqnarray*}
&&a_{0}=a_{n}=0\\
&&b_{n}=\frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(x)\sin\frac{n\pi }{T}x\, dx
\end{eqnarray*}
Doncs, la seva s\`erie de Fourier \'es un {\sl desenvolupament en s\`erie de
sinus}:
$$
{\cal F}[f]=\sum_{n\geq 1}b_{n}\sin\frac{n\pi }{T}x\, .
$$
\end{enumerate}
%\end{propo}

\section{Cas particular de desenvolupaments en mig interval}
 Si la funci\'o $f$ donada nom\'es \'es definida en  $[0,T]$, es
poden considerar diverses formes de prolongar-la a $[-T,0]$. Per
exemple:
\begin{enumerate}
\item[(i)] Mitjan\c cant  $f(-x)=f(x)$: en aquest cas resulta una funci\'o
parella en $[-T,T]$, i la seva s\`erie de Fourier ser\`a com a (1) de
l'apartat anterior.
\item[(ii)] Mitjan\c cant  $f(-x)=-f(x)$: en aquest cas resulta una
funci\'o
imparella en $[-T,T]$, i la seva s\`erie de Fourier ser\`a com a (2) de
l'apartat anterior.
\item[(iii)] Mitjan\c cant  $f(-x)=f(-x+T)$: en aquest cas resulta una
funci\'o peri\`odica, de per\'{\i}ode  $T$. Aleshores, la seva s\`erie de Fourier
ve donada per:
\begin{eqnarray*}
&&a_{0}=\frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(x)\, dx\\
&&a_{n}=\frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(x)\cos\frac{2n\pi }{T}x\, dx\\
&&b_{n}=\frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(x)\sin\frac{2n\pi }{T}x\, dx
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}



\section{Forma exponencial complexa d'una s\`erie de Fourier}


Una simple transformaci\'o formal permet escriure
$$
{\cal F}[f]=\sum_{n\in\Z} c_{n}e^{i\frac{n\pi }{T}x}
$$
essent
\begin{eqnarray*}
&&c_{0}=\frac{a_{0}}{2}\\
&&c_{n}=\frac{1}{2}(a_{n}-ib_{n}), \quad\mbox{si}\quad n> 0\\
&&c_{n}=\frac{1}{2}(a_{n}+ib_{n}), \quad\mbox{si}\quad n< 0
\end{eqnarray*}
o tamb\'e
$$
c_{n}=\frac{1}{2T}\int^{T} _{-T} f(x) e^{-i\frac{n\pi }{T}x}dx
$$

\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
