\documentclass[12pt,reqno]{article}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[catalan]{babel}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\def\p{{\partial}}
\def\dfrac{\displaystyle\frac}
\def\dint{\displaystyle\int}
%\addtolength{\textwidth}{5cm} \addtolength{\textheight}{5cm} \addtolength{\topmargin}{-3.3cm}
\textwidth 18truecm  \textheight 28truecm \addtolength{\topmargin}{-3.5cm}
\oddsidemargin -0.85truecm \evensidemargin -5mm
\pagestyle{empty}

\newif\ifresolved
%\resolvedtrue
\def\resol#1{\ifresolved  \ {#1}\else \hspace{17.5cm} \hfill\fi}


\begin{document}
\hrule\smallskip \medskip \noindent{\textbf{{\large{C\`alcul II / Integraci\'o (Esquema)}}} \hfill\textsl{}}
\par\par
                     \medskip\noindent{\textsl{\small{1 de
                           setembre de 2015}}}\hfill \par\par
                     \medskip\hrule\vspace{0.5cm}

%\noindent{\bf{Teoria.}} \hfill {\small{\sl{( punts)}}}



\noindent{\bf INDEX:}
\begin{itemize}
 \item {\bf Secci\'o $1$.-} {PAS DE $\R$ \mbox{ A } $\R^n$}
\item {\bf Secci\'o $2$.-} {PRINCIPI DE CAVALIERI}
\item {\bf Secci\'o $3$.-}  {CANVIS DE VARIABLE}
\item {\bf Secci\'o $4$.-} {APLICACIONS}
\end{itemize}





\newpage










Aquestes notes estan basades en
els tres primers cap{\'\i}tols  del  llibre:

[1] {\it C\`alcul integral per a enginyers}, Edicions UPC. Que podreu trobar gratuitament a internet.


\medskip



\noindent{\bf{Integraci\'o a $\R$}}

Sigui
$f:[a,b]\subset \R\rightarrow\R$, positiva. Considerem el domini que hi ha entre la gr\`afica de $f$ i l'int\`erval

$[a,b]$:
$$\Omega=\{(x,y)\in \R^2: a\leq x\leq b,\quad 0\leq y\leq f(x)\}.
$$

Definirem la integral de $f$ entre $a$ i $b$ a partir de l'\`area d'$\Omega$:
$$\int_a^b f(x)dx\equiv A(\Omega).
$$


L'\`area d'$\Omega$ la calcularem a partir de les sumes de Riemann:


Donada $f:[a,b]\rightarrow \R$ considerem la partici\'o $x_i=a+(b-a)\frac{i}{N}$. Definim
la suma superior i

inferior de Riemann com:
$$S_N=
%\sum_{i,j=0}^{N-1}M_{ij}\Delta x_i\Delta y_j=
\frac{(b-a)}{N}\sum_{i=0}^{N-1}M_{i}; \quad
s_N=
%\sum_{i,j=0}^{N-1}m_{ij}\Delta x_i\Delta y_j=
\frac{(b-a)}{N}\sum_{i=0}^{N-1}m_{i},$$

on $M_{i}$ i $m_{i}$ s\'on respectivament el m\`axim i m{\'\i}mim de $f$ en el sub-int\`erval  $[x_i,x_{i+1}]$.


\'Es clar que tindrem (vegi's la figura 1.1 de [1]): $$\int_a^b f(x)dx=A(\Omega)=\lim_{N\rightarrow \infty}S_N= \lim_{N\rightarrow \infty}s_N.$$
\vspace{0.5cm}



Una vegada tenim la definici\'o d'integral d'una funci\'o positiva en un int\`erval, ara ho podem

estendre (per una funci\'o positiva) a un domini acotat, diem-n'hi $D$, de $\R$ de la seg\"uent forma:

Busquem un int\`erval $[a,b]$ que contingui al domini $D$ i estenem $f$ a $[a,b]$ com:
$$ \tilde{f}(x)=f(x) \quad\mbox{si} \quad x\in D; \quad \tilde{f}(x)=0 \quad\mbox{si}\quad x\in [a,b]\setminus D.$$


Llavors definim
$$\int_{D}f(x)dx=A(\Omega),$$

on $\Omega=\{(x,y)\in \R^2:  x\in D,\quad 0\leq y\leq f(x)\}$ que resulta t\'e exactament la matexa \`area que

$\tilde\Omega=\{(x,y)\in \R^2: a\leq x\leq b,\quad 0\leq y\leq \tilde{f}(x)\}.
$ Per tant,

$$\int_{D}f(x)dx=A(\Omega)=A(\tilde\Omega)=\int_a^b \tilde{f}(x)dx=\lim_{N\rightarrow \infty}S_N= \lim_{N\rightarrow \infty}s_N.$$

\vspace{0.5cm}

{\bf NOTA:} Aquestes definicions s'estenen a ``qualsevol'' funci\'o real de variable real (NO fa falta que

sigui positiva). El que passa \'es que si $f$ NO es positiva,
es perd la interpretaci\'o geom\`etrica.

\vspace{1cm}

\noindent{\bf{Integraci\'o a $\R^2$}}

Sigui
$f:R\equiv[a,b]\times [c,d]\subset \R\rightarrow\R$, positiva. Considerem el domini que hi ha entre la gr\`afica de

$f$ i el rectangle $R$

%$[a,b]$:
$$W=\{(x,y,z)\in \R^3: (x,y)\in R,\quad 0\leq z\leq f(x,y)\}.
$$

Definirem la integral de $f$ a $R$ a partir de del volum de $W$:
$$\int_R f(x,y)dxdy\equiv V(W).
$$


El volum de $W$ el  calcularem a partir de les sumes de Riemann:

%la suma superior i inferior de Riemann com:
$$S_N=
%\sum_{i,j=0}^{N-1}M_{ij}\Delta x_i\Delta y_j=
\frac{(b-a)(d-c)}{N^2}\sum_{i,j=0}^{N-1}M_{ij}; \quad
s_N=
%\sum_{i,j=0}^{N-1}m_{ij}\Delta x_i\Delta y_j=
\frac{(b-a)(d-c)}{N^2}\sum_{i,j=0}^{N-1}m_{ij},$$

on $M_{ij}$ i $m_{ij}$ s\'on respectivament el m\`axim i m{\'\i}mim de $f$ en el subrectangle $$R_{ij}\equiv [x_i,x_{i+1}]\times [y_j, y_{j+1}].$$


\'Es clar que tindrem, $$\int_R f(x,y)dxdy=\lim_{N\rightarrow \infty}S_N= \lim_{N\rightarrow \infty}S_N.$$







\vspace{0.5cm}



Una vegada tenim la definici\'o d'integral d'una funci\'o positiva en un rectangle, ara ho podem

estendre (per una funci\'o positiva) a un domini acotat, diem-n'hi $\Omega$, de $\R^2$ de la seg\"uent forma:

Busquem un rectangle $R$ que contingui al domini $\Omega$ i estenem $f$ a $R$ com:
$$ \tilde{f}(x,y)=f(x,y) \quad\mbox{si} \quad (x,y)\in \Omega; \quad \tilde{f}(x,y)=0 \quad\mbox{si}\quad (x,y)\in \R\setminus \Omega.$$


Llavors definim
$$\int_{\Omega}f(x)dx=A(W),$$

on $W=\{(x,y,z)\in \R^3:  (x,y)\in \Omega,\quad 0\leq z\leq f(x,y)\}$ que resulta t\'e exactament el mateix

volum que
$\tilde{W}=\{(x,y,z)\in \R^3: (x,y)\in R,\quad 0\leq z\leq \tilde{f}(x,y)\}.
$ Per tant,

$$\int_{\Omega}f(x)dx=A(W)=A(\tilde{W})=\int_R \tilde{f}(x,y)dxdy=\lim_{N\rightarrow \infty}S_N= \lim_{N\rightarrow \infty}s_N.$$



{\bf NOTA:} Aquestes definicions s'estenen a ``qualsevol'' funci\'o real de dues variables (NO fa falta

que sigui positiva). El que passa \'es que si $f$ NO es positiva
es perd la interpretaci\'o geom\`etrica.








%\noindent{\bf{PAS DE $\R$ \mbox{ A } $\R^n$}}

%$f:\Omega\subset \R\rightarrow\R$, $\Omega$ acotat. Sigui $I$ int\`erval amb $\Omega\subset I$. Definim l'extensi\'o de $f$
%com

%$\tilde{f}(x):=f(x)\chi_{\Omega}(x)$ (on $\chi$  \'es la funci\'o caracter{\'\i}stica del conjunt $\Omega$, i.e., la funci\'o que val $1$ per

%punts de $\Omega$ i $0$ per
%punts
%de $\Omega^c$.). Llavors:

%$$\int_{\Omega} f(x):= \int_{I} \tilde{f}(x),$$

%on
%$$ \int_{I} \tilde{f}(x)=\lim_{||\Delta||\rightarrow 0}\sum_{i}\tilde{f}(x_i)\Delta x_i,$$

%on $\Delta$ \'es una partici\'o qualsevol de $I$, $\Delta x_i=x_{i+1}-x_i$ i $||\Delta||$ \'es la norma de la partici\'o (vegi's

%C\`alcul I).



%La generalitzaci\'o a $\R^n$ \'es immediata.

%{\bf Exemple:} ($n=2$)

%$f:\Omega\subset \R^2\rightarrow\R$, $\Omega$ acotat. Sigui $R$ rectangle amb $\Omega\subset I$.

%Definim l'extensi\'o de $f$
%com

%$\tilde{f}(x, y):=f(x,y)\chi_{\Omega}(x,y)$ (on $\chi$ \'es la funci\'o caracter{\'\i}stica de $\Omega$). Llavors:

%$$\int_{\Omega} f(x,y):= \int_{R} \tilde{f}(x,y),$$

%on
%$$ \int_{R} \tilde{f}(x,y)=\lim_{||\Delta||\rightarrow 0}\sum_{i,j}\tilde{f}(x_i, y_j)\Delta x_i\Delta y_j,$$

%on $\Delta$ \'es una partici\'o qualsevol de $R$.

%\vspace{0.5cm}

%{\bf Exemple:} (Sumes de Riemann)

%Donada $f:[a,b]\times[c,d]\rightarrow \R$ considerem la partici\'o $x_i=a+(b-a)\frac{i}{N}$ i $y_j=c+(d-c)\frac{j}{N}$. Definim

%la suma superior i inferior de Riemann com:
%$$S_N=\sum_{i,j=0}^{N-1}M_{ij}\Delta x_i\Delta y_j=\frac{(b-a)(d-c)}{N^2}\sum_{i,j=0}^{N-1}M_{ij}; \quad
%s_N=\sum_{i,j=0}^{N-1}m_{ij}\Delta x_i\Delta y_j=\frac{(b-a)(d-c)}{N^2}\sum_{i,j=0}^{N-1}m_{ij},$$

%on $M_{ij}$ i $m_{ij}$ s\'on respectivament el m\`axim i m{\'\i}mim de $f$ en el subrectangle $\Delta x_i\times \Delta y_j$.


%\'Es clar que tindrem, $$\int_R f(x,y)=\lim_{N\rightarrow \infty}S_N= \lim_{N\rightarrow \infty}S_N.$$
\vspace{0.5cm}


{\bf Resumint:}

A $\R$ si tenim $f:\Omega\subset\R\rightarrow\R$, amb $f\geq 0$ sabem que $\int_{\Omega} f$ \'es l'\`area  delimitada per la gr\`afica

de $f$ i el domini $\Omega$. An\`alogament, si tenim $f:\Omega\subset\R^2\rightarrow\R$ amb $f\geq 0$ tindrem  que $\int_{\Omega} f$
\'es el

volum  que delimitada per la gr\`afica
de $f$ i el domini $\Omega$

\vspace{0.5cm}

{\bf EXERCICI}: Quan val $\int_{[0,1]^2} 1-x$? Val $1/2$ per que el volum sota la g\`afica de $1-x$ \'es la meitat

del cub $[0,1]^3$.

Comproveu que s'obt\'e el mateix resultat calculant $\lim_{N\rightarrow \infty}S_N$.

{\bf Soluci\'o:}
En el nostre cas $x_i = \frac{i}{N}$ i $y_j = \frac{j}{N}$, per tant, $M_{ij}=1-x_i=1-\frac{i}{N}$.  La suma superior

de Riemann ser\`a:
\begin{eqnarray*}
S_N=\frac{1}{N^2}\sum_{i,j=0}^{N-1}\left( 1-\frac{i}{N}\right)=\frac{1}{N^3}\sum_{i,j=0}^{N-1} (N-i)=\frac{1}{N^3}\sum_{j=0}^{N-1}(1+2+\dots+N)=\\
\frac{1}{N^3}\sum_{j=0}^{N-1}\frac{N(N+1)}{2}=\frac{N+1}{2N^2}(1+\dots+1)=\frac{N+1}{2N}\longmapsto \frac{1}{2}.
\end{eqnarray*}



{\bf Nota:}

Donat $[a,b]\subset \R$ tenim que $\int_{[a,b]} 1 dx=b-a$ \'es la la longitut de l'int\`erval $[a,b]$. An\`alogament,

tenim
que per
\begin{enumerate}
 \item $\Omega\subset \R^2$ la seva \`area \'es $A(\Omega)=\int_{\Omega} 1 dxdy$.
\item I generalitzant a $\R^3$: $W\subset \R^3$ el seu volum \'es $V(W)=\int_{W} 1 dxdydz$.
\end{enumerate}

{\bf Propietats de la integral:}
\begin{itemize}
 \item Linealitat
 $$\int_{\Omega} af+bg=a\int_{\Omega} f+b\int_{\Omega} g.$$
 \item Aditivitat. Si $\Omega=\Omega_1\cup \Omega_2$ amb  $\Omega_1\cap \Omega_2=\emptyset$, llavors:
 $$\int_{\Omega} f=\int_{\Omega_1} f+\int_{\Omega_2} f.
 $$
 \item Monotonia
 $$f\leq  g \Longrightarrow \int_{\Omega}f\leq \int_{\Omega}g.$$

 En particular:
 $$\left|\int_{\Omega}f\right|\leq \int_{\Omega}|f|.$$


\end{itemize}




{\bf Teorema del valor mig}
$f:[a,b]\rightarrow \R$, amb $f\in {\mathcal C}^0[a,b]$, llavors
$$\int_{a}^{b}f(x)=f(c)(b-a), \quad \mbox{per algun} \quad c\in
[a,b].$$

I per tant, tenim les seg\"uent acotacions
$$m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)\leq M(b-a),$$

on $m=min_{x\in[a,b]}f(x)$ i $M=max_{x\in[a,b]}f(x)$.



El mateix passa en dimensions m\'es altes. Si ara tenim
$f:\Omega\subset \R\rightarrow\R^n$, $\Omega$ acotat i arc-connex, i

$f\in{\mathcal C}^0(\bar{\Omega} )$, llavors
$$\int_{\Omega}f(x)=f(c)m(\Omega) \quad \mbox{per algun} \quad c\in
\bar{\Omega},$$

i on $m(\Omega)$ \'es la mesura del conjunt $\Omega$ (longitut en dimensi\'o $1$, \`area en dimensi\'o $2$, volum en

dimensi\'o $3$,....). I per tant, tenim les seg\"uent acotacions
$$mm(\Omega)\leq \int_{\Omega}f(x)\leq Mm(\Omega),$$

on $m=min_{x\in\Omega}f(x)$ i $M=max_{x\in\Omega}f(x)$.







{\bf Exercici:} Afiteu superior i inferiorment $\int_{{\mathcal B}^3_R(0)} e^{-||x||^2}$.


{\bf Exercici:} Demostreu que
$$1/6\leq \int_{\Omega}\frac{dxdy}{y-x+3}\leq 1/4,
$$

on $\Omega$ \'es el triangle de v\`ertexs $(0,0)$, $(1,1)$ i $(1,0)$.

\vspace{0.5cm}

\medskip


\newpage

\noindent{\bf{PRINCIPI DE CAVALIERI}}

%Es la generalitzaci\'o del m\`etode dels discs (vegi's C\`alcul I).

Donat $W=\{(x,y,z): x\in [a,b]\}\subset \R^3$, sigui $\Omega(x_0)\subset\R^2$ la secci\'o
que s'obt\'e al tallar $W$ amb el

pla $x=x_0$ (vegi's la figura 2.1 de [1]). Diem $A(x_0)$ a l' \`area de $\Omega(x_0)$, llavors el volum de $W$ \'es

$$V(W)=\int_a^b A(x)dx.$$


{\bf Exemple:}(Volum d'un con)

$W=\{z^2=x^2+y^2, z\in I=[0,H]\}$. Llavors
$$V(W)=\int_{0}^HA(z)dz=\int_{0}^H\pi z^2dz=\pi H^3/3.$$



{\bf Exemple:}(Volum d'un el.lipso\"ide)

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1.$$

Al tallar amb plans $z$ constant s'obtenen el.lipses de la forma $\frac{x^2}{a^2\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right)}+\frac{y^2}{b^2\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right)}\leq 1.$

Com calculem l'\`area d'una el.lipse? Doncs, aplicant Cavalieri en dimensi\'o $2$, i.e., tallant amb

rectes perpendiculars als eixos calculant la longitut del segment intersecci\'o
i despres

integrant respecte de la variable que parametritza aquestes rectes.

En aquest cas la longitut \'es $L(x)=2b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}}$ i per tant $A(z)=\int_{-a}^a L(x)dx= \pi a b \left(1-\frac{z^2}{c^2} \right)$,

aix{\'\i} doncs, $V=\int_{-c}^c A(z)dz= \frac{4}{3}\pi abc$.

\vspace{0.25cm}

{\bf A PROBLEMES:} Fer els exercicis 3(c) i 3(d).

\vspace{1cm}


{\bf TEOREMA DE TONELLI:}

$W=\{(x,y,z): x\in [a,b], y\in [c,d], z\in [0,f(x,y)]\}$, amb $f\geq 0$.

Sabem que el volum de W \'es $\int_R f(x,y)dxdy$ on $R=[a,b]\times [c,d]$.

%(Igual que

%en dimensi\'o $1$. Recordeu que
%all{\'\i} es defineix l'\`area sota la gr\`afica d'una funci\'o positiva).

Tenim $A(x)=\int_{c}^df(x,y)dy$ i per tant,
$$V(W)=\int_{a}^bA(x)dx=\int_{a}^b\int_{c}^df(x,y)dy dx,$$

\'es a dir, el volum sota la gr\`afica d'una funci\'o positiva es calcula mitjan\c cant una integral iterada!


Apliquem ara el Principi de Cavalieri amb plans de la forma $y=y_0$, llavors aplicat en aquest

mateix exemple tindrem
$$V(W)=\int_{c}^dA(y)dy=\int_{c}^d\int_{a}^bf(x,y)dxdy,$$

\'es a dir, que si tenim una funci\'o positiva es satisfar\`a
$$\int_{a}^b\int_{c}^df(x,y)dydx= \int_{c}^d\int_{a}^bf(x,y)dxdy,$$

aquest \'es el {\it Teorema de Tonelli}. De fet, resulta que aquest resultat \'es cert per ``totes`` les funcions

{\it Teorema de Fubini}. Aix\'\i, tindrem
$$\int_{R}f(x,y)dxdy=\int_{a}^b\int_{c}^df(x,y)dydx= \int_{c}^d\int_{a}^bf(x,y)dxdy,$$

on $R=[a,b]\times [c,d]$.



\vspace{0.5cm}

\medskip

\noindent{\bf{Aplicacions:}}

\begin{enumerate}
 \item Per $\Omega=\{(x,y): x\in [a,b], y\in {I}_{x}=[\phi_1(x),\phi_2(x)]\}$ amb $\phi_1\leq\phi_2$ (vegi's figura 2.3 de [1]) tenim
 $$\int_{\Omega}f(x,y)dxdy=\int_{a}^b\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dydx.$$

\item Per $\Omega=\{(x,y): y\in [c,d], x\in \bar{I}_{y}=[\phi_1(y),\phi_2(y)]\}$ amb $\phi_1\leq\phi_2$ (vegi's figura 2.5 de [1]) tenim
 $$\int_{\Omega}f(x,y)dxdy=\int_{c}^d\int_{\phi_1(y)}^{\phi_2(y)}f(x,y)dxdy.$$

\item Per $W=\{(x,y, z): x\in [a,b], y\in I_{x}=[\phi_1(x),\phi_2(x)], z\in I_{x,y}=[\psi_1(x,y),\psi_2(x,y)]\}$
amb $\phi_1\leq\phi_2$ i $\psi_1\leq\psi_2$ tenim
 $$\int_{W}f(x,y,z)dxdydz=\int_{a}^b\int_{\phi_1{x}}^{\phi_2(x)}\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)}f(x,y,z)dzdydx.$$


\end{enumerate}








{\bf Exemples:}
\begin{enumerate}
 \item $\Omega =\{(x,y): 0\leq x\leq 1; 0\leq y \leq x^2\}$. Escriviu les dues integrals iterades.
\item $\Omega$ domini limitat per les corbes $y=x^2$ i $x=y^2$. Escriviu les dues integrals iterades.
\item Calculeu $\int_0^1\int_y^1 e^{y/x}dxdy$.
\item Calculeu $\int_{\Omega}x^2\sin(xy)dxdy$ on $\Omega=\{(x,y)\in\R^2: 0\leq y\leq 1, y\leq x\leq 1  \}$.
\item Calculeu $\int_{W} xyz dxdxydz$  on $W$ \'es el conjunt limitat per les superficies $y=x^2$, $x=y^2$, $z=xy$ i $z=0$.
\end{enumerate}








\vspace{0.5cm}

\medskip

{\bf A PROBLEMES:} Fer els exercicis 8(b), 8(c),  8(e), 11(e),  11(g), 14(a), 14(c) i 15(e).

\newpage



\noindent{\bf{CANVIS DE VARIABLE}}

$T:\Omega^*\subset \R^n\rightarrow\Omega\subset \R^n; x^*\rightarrow x$ de classe ${\mathcal C}^1$ amb inversa tamb\'e
${\mathcal C}^1$ \'es un {\it canvi de variable}.

{\bf Teorema:}(canvi de variable)

$$\int_{\Omega}f(x)=\int_{\Omega^*}f(T(x^*))\left|det JT(x^*)\right|.$$

{\bf Exemples:}
\begin{enumerate}
 \item Polars: $T(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\Longrightarrow JT(r,\theta)=r$.


 I la f\'ormula del canvi de variable queda:
 $$\int_{\Omega}f(x,y)dxdy=\int_{\Omega^*} f(r\cos\theta,r\sin\theta) r drd\theta.
 $$

{\bf Exercici:} Calculeu l'\`area d'una rosa de $4$ p\`etals. (En polars l'equaci\'o de la vora del domini \'es $r=a^2\sin(4\theta)$).


{\bf Exercici:}  Calculeu $\int_{\Omega} xy$, $\Omega$  intersecci\'o
amb el primer quadrant de la corona circular de centre $(0,0)$ i radi interior $1$ i
radi exterior $2$. (Soluci\'o: $\frac{15}{8}$.)

\item Cil\'\i ndriques: $T(r,\theta,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\Longrightarrow JT(r,\theta)=r$.


 I la f\'ormula del canvi de variable queda:
 $$\int_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz=\int_{\Omega^*} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z) r drd\theta dz.
 $$


{\bf Exercici:} Calculeu el volum compr\`es entre el con $z^2=x^2+y^2$ i el paraboloide $z=x^2+y^2$, per $z>0$.

{\bf Exercici:}
 Part de l'esfera $x^2+y^2+z^2=a^2$ que \'es exterior al cilindre $x^2+y^2=b^2$ ($a>b>0$). (Soluci\'o: $\frac{4\pi}{3}(a^2-b^2)^{3/2}$.)


\item Esf\`eriques: $T(r,\theta,\varphi)=(r\cos\theta\cos\varphi,r\sin\theta\cos\varphi,r\sin\varphi)
\Longrightarrow JT(r,\theta,\varphi)=r^2\cos\varphi$.


 I la f\'ormula del canvi de variable queda:
 $$\int_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz=\int_{\Omega^*} f(r\cos\theta\cos\varphi,r\sin\theta\cos\varphi,r\sin\varphi)r^2\cos\varphi  drd\theta d\varphi.
 $$



{\bf Exercici:} Calculeu el volum de ${\mathcal B}_R^3(0)$.

{\bf Exercici:}
Sigui $\Omega$ el domini tallat sobre la bola $r\leq a$ pel con $ \alpha\leq \varphi\leq\dfrac{\pi}{2}$ ($a>0$, $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$).
Calculeu el seu volum.
(Soluci\'o: $\frac{2\pi a^3}{3}(1-\sin\alpha)$.)

\item Altres canvis: Fer els exercicis 18(a), 18(d) i 18(g).

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\medskip



{\bf A PROBLEMES:} Fer els exercicis
\begin{enumerate}
 \item de polars 16(c), 16(d), 16(g), 17(c).
 \item de cil{\'\i}ndriques 19(b) i 19(e)
 \item d' esf\`eriques 20(c), 21(b) i 21(c).
 \item de d'altres canvis 18(a) i 18(f). Nota: No s'ha de dir el canvi. L'han de pensar els alumnes.
\end{enumerate}



{\bf A PROBLEMES:} Fer els exercicis 23(a), 23(e), 23(f), 23(j) i 23(l).

\newpage

\noindent{\bf{APLICACIONS}}


Ja hem vist que la integral ens permet calcular l'\`area d'un placa $D$ i volum d'un cos $W$ usant les

f\'ormules:

$$A(D)=\int_D 1dxdy,\quad V(W)=\int_W 1dxdydz.$$


Anem a veure d'altres aplicacions de la integral.

\vspace{0.5cm}


{\bf Mitjana d'una funci\'o:}

Per una funci\'o $f:[a,b]\rightarrow \R$, definim la seva mitjana $v_m(f)$ com:
$$v_m(f)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx.
$$

Per una funci\'o $f:D\subset \R^2\rightarrow \R$, definim la seva mitjana $v_m(f)$ com:
$$v_m(f)=\frac{1}{A(D)}\int_D f(x,y)dxdy.
$$


Per una funci\'o $f:W\subset \R^3\rightarrow \R$, definim la seva mitjana $v_m(f)$ com:
$$v_m(f)=\frac{1}{V(W)}\int_W f(x,y,z)dxdydz.
$$


{\bf Exercici:} Sigui $f(x,y,z)$ la dist\`ancia al quadrat del punt $(x,y,z)$ al punt $(0,0,c)$. Calculeu la mitjana de

$f$ sobre la bola de radi $R$ centrada
a l'origen de coordenades.

SOLUCI\'O: $v_m(f)=\frac{3}{5}R^2+c^2$.

\vspace{0.5cm}

{\bf A PROBLEMES:} Fer l'exercici 24.

\vspace{0.5cm}

{\bf Massa d'un cos:}

Donats $D\subset\R^2$ i $W\subset \R^3$ conjunts del pla i de l'espai, amb densitats $\rho(x,y)$ i $\rho(x,y,z)$

respectivament.
Llavors, la massa de $D$ i $W$ es defineix com
$$m(D)=\int_D\rho(x,y)dxdy,\quad m(W)=\int_W\rho(x,y,z)dxdydz.
$$



{\bf Exercici:}
Calculeu la massa d'una placa quadrada de costat $a$, on la seva dentitat en cada punt

\'es igual al quadrat de la  seva dist\`ancia a
un v\`ertex.

SOLUCI\'O: $m=\frac{2}{3}a^4$.


\vspace{0.5cm}

{\bf Centre de masses:}


Donades $n$ masses puntuals $m_1, m_2,\dots, m_n$ situades en els punt $x_1,x_2,\dots,x_n$ de la recta real. El

seu {\it centre de masses} (CM) es troba en
el punt
$$\bar{x}=\frac{m_1x_1+\dots+m_nx_n}{m_1+\dots+m_n}.
$$


Passant al continu, tenim que:

Per un int\`erval $I$ de densitat $\rho(x)$ el seu CM \'es
$$\bar{x}=\frac{\int_I x\rho(x)dx}{m(I)}.
$$



Per una placa $D\subset \R^2$ de densitat $\rho(x,y)$ el seu CM \'es
$$(\bar{x},\bar{y})=\frac{\int_D (x,y)\rho(x,y)dxdy}{m(D)}.
$$

Per un cos $W\subset \R^3$ de densitat $\rho(x,y,z)$ el seu CM \'es
$$(\bar{x},\bar{y}, \bar{z})=\frac{\int_W (x,y,z)\rho(x,y,z)dxdydz}{m(W)}.
$$

{\bf Nota:} Quan la densitat \'es uniforme, i.e., NO dep\`en del punt, llavors el CM s'anomena {\it centre

geom\`etric} CG, i tindrem:

Per una placa $D\subset \R^2$  el seu CG \'es
$$(\bar{x},\bar{y})=\frac{\int_D (x,y)dxdy}{A(D)}.
$$

Per un cos $W\subset \R^3$  el seu CG \'es
$$(\bar{x},\bar{y}, \bar{z})=\frac{\int_W (x,y,z)dxdydz}{V(W)}.
$$

{\bf Propietats del CM i CG:}
\begin{enumerate}
 \item Si dividim un cos en dues o m\'es parts, el seu CM \'es el mateix que el que s'obtindria si les masses fossin puntuals i estiguessin concentrades
en els CM corresponents.

Aix{\'\i}, per exemple,  si tenim $W=W_1\cup W_2$, on $(\bar{x}_1,\bar{y}_1, \bar{z}_1)$ i $(\bar{x}_2,\bar{y}_2, \bar{z}_2)$   s\'on respectivament
els CM de $W_1$ i $W_2$, llavors:

$$(\bar{x},\bar{y}, \bar{z})=\frac{(\bar{x}_1,\bar{y}_1, \bar{z}_1)m(W_1)+(\bar{x}_2,\bar{y}_2, \bar{z}_2)m(W_2)}{m(W)}.$$

\item Si un cos t\'e una simetria (pla , recta, punt,...) respecte la densitat, llavors el CM li pertany. En particular, si un cos t\'e una
simetria,  llavors el CG li pertany.


\end{enumerate}


{\bf Aplicaci\'o:}
Calcular el CM d'un cilindre d'al\c cada $h$ i base circular de radi $R$, si la seva densitat

en cada punt \'es proporcional a la seva dist\`ancia
a la base.

SOLUCI\'O: $(0,0,\frac{2h}{3})$.

\vspace{0.5cm}


{\bf Aplicaci\'o:} Calculeu el centre geom\`etric del triangle de v\`ertex $(0,0)$, $(1,0)$ i $0,1)$ on se li ha

extret un quart de disc centrat de radi $1/2$ centrat a l'origen.


\vspace{0.5cm}



{\bf A PROBLEMES:} Fer els exercicis 25(a), 25(b), 26(a), 26(c) i 28.

\vspace{0.5cm}

{\bf Segon Teorema de Pappus-Guldin:}



El volum de revoluci\'o d'un cos generat per una placa plana uniforme al girar al voltant d'un
eix

contingut en el maix pla que cont\'e la placa
i que no talla la placa, \'es igual al producte de
l'\`area

de la placa per la longitud de la circumfer\`encia que descrita pel seu CG al girar al voltant
de l'eix

de revoluci\'o.


\'Es a dir, si diem $r$ a l'eix de revoluci\'o, $d(r,CG)$ a la dist\`ancia del CG a l'eix $r$, $W$ al cos de

revoluci\'o i $D$ a la placa plana,
tindrem

$$V(W)=2\pi d(r,CG)A(D).$$


{\bf Exercici $1$:} En el pla $(x,y)$ consideren una circumfer\`encia de radi $r$ centrada en el punt $(R,0)$,

$R>r$), al fer-la girar al voltant de
l'eix $OY$ obtenim un tor de revoluci\'o. Calculeu el seu volum.

SOLUCI\'O:  $V=2\pi^2r^2R$.




{\bf Exercici $2$:} Calculeu el CG d'un quart de disc de radi $R$ centrat a l'origen.

SOLUCI\'O:  $(\frac{4R}{3\pi},\frac{4R}{3\pi})$.



\vspace{0.5cm}

{\bf Moment d'in\`ercia:}

Donat un eix $r$ i $n$ masses puntuals $m_1, m_2,\dots, m_n$ situades a dist\`ancia $d_1,d_2,\dots,d_n$ de l'eix $r$,

el seu moment d'in\`ercia
respecte l'eix $r$ es defineix compr
$$I_r=m_1d_1^2+\dots+m_nd_n^2.$$


Passant al continu, tenim que:





Per una placa $D\subset \R^2$ de densitat $\rho(x,y)$ el seu moment d'in\`ercia respecte l'eix $r$ \'es
$$I_r={\int_D d^2((x,y),r)\rho(x,y)dxdy}.
$$

Per un cos $W\subset \R^3$ de densitat $\rho(x,y,z)$ el seu moment d'in\`ercia respecte l'eix $r$  \'es
$$I_r={\int_W d^2((x,y,z),r)\rho(x,y,z)dxdxydz},
$$

on $d((x,y),r)$ (resp. $d((x,y,z),r)$) \'es la dist\`ancia del punt $(x,y)$ (resp. $(x,y,z)$) a l'eix $r$.



En particular, pels eixos de coordenades tenim

$$I_x=\int_D y^2\rho(x,y)dxdy, \quad I_y=\int_D x^2\rho(x,y)dxdy.
$$


$$I_x=\int_W (y^2+z^2)\rho(x,y,z), \quad I_y=\int_W (x^2+z^2)\rho(x,y,z), \quad I_z=\int_W (x^2+y^2)\rho(x,y,z).
$$


{\bf Exemple:} Calculeu el moment d'in\`ercia de la bola unitat de $\R^3$ centrada a l'origen respecte d'un

di\`ametre, si la densitat
en un punt \'es igual la deva dist\`ancia al centre de la bola.

SOLUCI\'O: $I=\frac{4\pi}{9}.$



{\bf Teorema de Steiner:}

''El moment d'in\`ercia d'un cos respecte un eix \'es la suma del moment d'in\`ercia respecte de l'eix

paral.lel que passa pel CM del cos i
el moment que tindria si tota la seva massa estigu\'es

concentrada en el CM.``

\'Es a dir, si diem $W$ al cos, i  $s$ \'es l'eix paral.lel a $r$ que passa pel CM del cos, llavors:
$$I_r=I_s+m(W)d^2(CM,r).
$$


{\bf Aplicaci\'o:} Considereu el cilindre $W=\{(x,y,z): x^2+y^2\leq R^2, -h/2\leq z\leq h/2\}$, amb densitat

igual a $1$, i sigui $r$ un eix
 situat en el pla $z=h/2$ que passa pel punt $(0,0, h/2)$. Calculeu $I_r$

SOLUCI\'O: $I_r=V(W)\left(\frac{R^2}{4}+\frac{h^2}{3}\right).$


\vspace{1cm}

{\bf A PROBLEMES:} Fer els exercicis 34(c) i 34(d).

\vspace{0.5cm}

% {\bf A PROBLEMES:} Al web de l'assignatura, a l'\`ultim punt de l'apartat {\it Ex\`amens de cursos

% anteriors}, hi ha examens desde 2005 fins  a 2011 de l'assignatura
% ''C\`alcul Integral``. S\'on molt

% m\'es dif{\'\i}cils que els que hi ha en la llista d'exercicis, per\`o seria bo resoldre'n  uns quants.

\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
