\documentclass[12pt,reqno]{article}
\usepackage{teoria}
% \usepackage{amsmath}
% \usepackage{amsfonts}
% \usepackage{amssymb}
% \usepackage{enumerate}
% \usepackage{amsthm}
% \usepackage{mathtools}
% \usepackage{array}
% \usepackage{relsize}
% \usepackage{booktabs}
%\usepackage[sans]{dsfont}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[catalan]{babel}
% \newcommand{\C}{\mathds{C}}
% \newcommand{\N}{\mathds{N}}
% \newcommand{\R}{\mathds{R}}
% \newcommand{\Q}{\mathds{Q}}
% \newcommand{\T}{\mathds{T}}
% \newcommand{\Z}{\mathds{Z}}
%\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
%\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
%\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
%\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
%\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
% \newcommand{\ra}[1]{\renewcommand{\arraystretch}{#1}}
% \newcommand{\stcomp}[1]{{#1}^\complement}
% \newcommand{\stext}[1]{\ensuremath{\mathrm{ext}{#1}}}

% \newcommand{\PreserveBackslash}[1]
% {\let\temp=\\#1\let\\=\temp}   
% \newcolumntype{C}[1]{>{\PreserveBackslash\centering}p{#1}}
% \newcolumntype{R}[1]{>{\PreserveBackslash\raggedleft}p{#1}}
% \newcolumntype{L}[1]
% {>{\PreserveBackslash\raggedright}p{#1}}

% \textwidth 197mm %155%
% \textheight 245mm
% \topmargin -70pt
% \oddsidemargin -40pt
% \evensidemargin -40pt

% \def\p{{\partial}}
% \def\dfrac{\displaystyle\frac}
% \def\dint{\displaystyle\int}

%\addtolength{\textwidth}{5cm}
%\addtolength{\textheight}{5cm}
%\addtolength{\topmargin}{-3.3cm} 

%\textwidth 18truecm \textheight 28truecm
%\addtolength{\topmargin}{-3.5cm} 
%\oddsidemargin -0.85truecm \evensidemargin -5mm

%\pagestyle{empty}

% \newif\ifresolved
% %\resolvedtrue
% \def\resol#1{\ifresolved  \ {#1}
%   \else \hspace{17.5cm} \hfill\fi}

% \newtheoremstyle{cor}
%   {\topsep}   % ABOVESPACE
%   {\topsep}   % BELOWSPACE
%   {\itshape}  % BODYFONT
%   {0pt}       % INDENT (empty value is the same as 0pt)
%   {\bfseries} % HEADFONT
%   {:}         % HEADPUNCT
%   {5pt plus 1pt minus 1pt} % HEADSPACE
%   {}          % CUSTOM-HEAD-SPEC

% \theoremstyle{theorem}
% \newtheorem{prop}{Proposici\'{o}}[section]
% \theoremstyle{cor}
% \newtheorem*{corollary}{Coro\lgem ari}
% \theoremstyle{definition}
% \newtheorem{definition}{Definici\'{o}}[section]
% \newtheorem{rem}{Remarca}[section]
% \newtheorem{exmp}{Exemple}[section]

% \newcounter{exmp}[section]
% \newenvironment{exmp}[1][]%
% {\refstepcounter{exmp}\par\noindent
%   \textbf{Exemple~\thesection.\theexmp.#1}
%   \rmfamily}
% {\smallskip}

\begin{document}
\hrule\smallskip \medskip
\noindent{\textbf{{\large{C\`alcul II /
        Continu\"\i tat i derivabilitat (Esquema)}}}
  \hfill\textsl{}} 
\par\par
\medskip\noindent{\textsl{1 de setembre de 2015}}\hfill
\par\par\medskip\hrule\vspace{0.5cm}

%\noindent{\bf{Teoria.}} \hfill {\small{\sl{( punts)}}}
\medskip

% \noindent{\bf INDEX:}
% \begin{itemize}
% \item {\bf Secci\'o $1$.-}
%       {PAS DE $\R$ \mbox{ A } $\R^n$:
%                               $1$ hora a PROBLEMES} 
% \item {\bf Secci\'o $2$.-}
%       {TOPOLOGIA DE  $\R^n$:
%                               $1$ hora a PROBLEMES}
% \item {\bf Secci\'o $3$.-}
%       {CONTINUITAT A  $\R^n$:
%                               $4$ hores a TEORIA i  
%                               $2$ hores a PROBLEMES} 
% \item {\bf Secci\'o $4$.-}
%       {DERIVABILITAT A $\R^n$:
%                               $2$ hores a TEORIA i
%                               $2$ hores a PROBLEMES}
% \item {\bf Secci\'o $5$.-}
%       {FUNCIONS DE CLASSE ${\mathcal C}^m$:
%                               $1$ hora a TEORIA i
%                               $1$ hora a PROBLEMES} 
% \item {\bf Secci\'o $6$.-}
%       {LA REGLA DE LA CADENA:
%                               $2$ hores a TEORIA i
%                               $2$ hores a PROBLEMES}
% \item {\bf Secci\'o $7$.-}
%       {DERIVADA DIRECCIONAL:
%                               $1$ hora a  PROBLEMES}
% \item {\bf Secci\'o $8$.-}
%       {FORMULA DE TAYLOR:
%                               $2$ hores a TEORIA i
%                               $1$ hora a PROBLEMES}
% \item {\bf Secci\'o $9$.-}
%       {EXTREMS:
%                               $2$ hores a TEORIA i
%                               $1$ hora a PROBLEMES}
% \end{itemize}

\noindent{\bf \'{I}NDEX:}
\begin{itemize}
\item {\bf Secci\'o $1$.-}
  {PAS DE $\R$ \mbox{ A } $\R^n$} ($1$h P)
\item {\bf Secci\'o $2$.-}
  {TOPOLOGIA DE  $\R^n$} ($1$h P)
\item {\bf Secci\'o $3$.-}
  {CONTINUITAT A $\R^n$} ($4$h T, $2$h P)
\item {\bf Secci\'o $4$.-}
  {DERIVABILITAT A $\R^n$} ($3$h T i $2$h a P)
\item {\bf Secci\'o $5$.-}
  {FUNCIONS DE CLASSE ${\mathcal C}^m$} ($1$h T, $1$h P)
\item {\bf Secci\'o $6$.-}
  {LA REGLA DE LA CADENA} ($1$h T i $2$h P)
\item {\bf Secci\'o $7$.-}
  {DERIVADA DIRECCIONAL} ($1$h P)
\item {\bf Secci\'o $8$.-}
  {FORMULA DE TAYLOR} ($2$h T, $1$h P)
\item {\bf Secci\'o $10$.-}%
  {TEOREMA DE LES FUNCIONS INVERSA I IMPL\'{I}CITA}
  ($1$h T, $2$h P)
\item {\bf Secci\'o $11$.-} {EXTREMS} ($2$h T i $1$h P)
\end{itemize}
\newpage
\tableofcontents
\newpage

\section{Pas de \texorpdfstring{$\R$ a $\R^n$}{} ($1$h P)}
 
%\textbf{PAS DE $\R$ A $\R^n$} ($1$h P)
\begin{table}[!h]
  \centering
  \ra{2,0}
\begin{tabular}{L{0,44\textwidth}C{0,02\textwidth}L{0,48\textwidth}}\toprule
  $\mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{\R}}}$ & &
   $\mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{\R^{n}}}}$\\ \midrule
  $x=x_1\in \R$ & &
  \begin{minipage}[t]{0,48\textwidth}      
  $x=(x_1,\dots,x_n)\in\R^n$, on
  $x_j$ s'anomena coordenada $j-$\`essima del punt $x$. Casos particulars:
  \begin{itemize}\ra{0,5}
  \item A $\R^2$ els punts normalment es denoten per $(x,y)$.
  \item A $\R^3$ per $(x,y,z)$. 
  \end{itemize}
  \end{minipage}
  \\%[1in]
  $x_1,y_1\in\R$ producte $x_1y_1$. & &
  $x,y\in\R^n$ producte escalar $\langle x,y\rangle:=
              x\cdot y:=\sum\limits_{j=1}^n x_jy_j$.
  \\ %[0,35in]
  $x_1\in \R$ norma $\| x_1 \|:=| x_1 |=\sqrt{x_1^2}$. & &
\begin{minipage}[t]{0,48\textwidth} 
  $x\in\R^n$ norma
  $\| x \|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$. La norma \'es la dist\`ancia a l'origen
  (Teorema de Pit\`agoras). Mostrar-ho a $\R^2$.
\end{minipage}\\
\begin{minipage}[t]{0,44\textwidth}
Int\`erval obert (bola $1$-dimensional) de radi $r>0$ centrat
  en $y_1$, 
    \begin{eqnarray*}
    \ball{r}{1}{y_1}\!\!\! &:=&\!\!\!(y_1-r,y_1+r)\\
    &\phantom{:}=&\!\!\!\left\{x_1\in\R: \dist{x_1}{y_1}<r\right\}.
    \end{eqnarray*}
\end{minipage}
& &
\begin{minipage}[t]{0,48\textwidth}
  Bola oberta $n$-dimensional de radi $r>0$ centrada en
  $y=(y_{1},\dots,y_{n})\in\R$, 
  \begin{displaymath}
    \ball{r}{n}{y}:=\left\{x\in\R^n: \dist{x}{y}<r\right\}.
  \end{displaymath}
(Fer exemples a $\R^2$ i $\R^3$).
\end{minipage}\\ [0,9in]
  \bottomrule 
\end{tabular}
\end{table}
% \begin{enumerate}[1.]
% \item $x=x_1\in \R\xrightarrow[]{\text{en } \R^{n}} x=(x_1,\dots,x_n)\in\R^n$.
% $x_j$ s'anomena coordenada $j-$\`essima del punt $x$. Casos particulars: a
% $\R^2$ els punts normalment es denoten per $(x,y)$, i a $\R^3$  per $(x,y,z)$.
%% 
% \item $x_1,y_1\in\R$ producte $x_1y_1 \xrightarrow[]{\text{en }\R^{n}}
% x,y\in\R^n$ producte escalar $\langle x,y\rangle:= x.y:=\sum_{j=1}^n x_jy_j$.  
%%  
% \item $x_1\in \R$ norma $||x_1||:=|x_1|=\sqrt{x_1^2}
%   \xrightarrow []{\text{en }\R^{n}} x\in\R^n$ norma
%   $||x||:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$. La norma \'es la dist\`ancia a l'origen
%   (Teorema de Pit\`agoras). Mostrar-ho a $\R^2$. 
% \item  $x_1,y_1\in\R$ dist\`ancia de $x_1$ a $y_1$,
%   $d(x_1,y_1):=||x_1-y_1|| \xrightarrow[]{\text{en }\R^{n}} x,y\in\R^n$ 
% dist\`ancia de $x$ a $y$, $d(x,y):=||x-y||$ (Teorema de
% Pit\`agoras). Mostrar-ho a $\R^2$. 
% \item Int\`erval obert (bola $1$-dimensional) de radi $r>0$ centrat
%   en $y_1$, 
% $${\mathcal{B}}_r^1(y_1):=(y_1-r,y_1+r)=\{x_1\in\R:
% d(x_1,y_1)<r\}\Longrightarrow$$ 
% bola oberta $n$-dimensional de radi $r>0$ centrada en $y$, 
% ${\mathcal{B}}_r^n(y):=\{x\in\R^n: d(x,y)<r\}$.
% (Fer exemples a $\R^2$ i $\R^3$).
% \end{enumerate}
%
% {\bf Propietats:}
\subsubsection*{Propietats:}
\begin{itemize}
 \item $\forall \lambda\in\R, x\in\R^n$ es satisf\`a $||\lambda
   x||=|\lambda|||x||.$ 
\item $||x||\geq 0,\ ||x||=0\Longleftrightarrow x=0.$
\item Donats $x, y\in\R^n$ es satisf\`a  $\langle x, y\rangle=\langle y,
  x\rangle$, i.e., el producte escalar \'es sim\`etric. 
\item Donats $x, y, z\in\R^n$ es satisf\`a  $\langle x+y, z\rangle=\langle x, 
  z\rangle+\langle y, z\rangle$, i.e., el producte escalar \'es bilineal. 
\end{itemize}
%
%y{\bf Desigualtats:}
\subsubsection*{Desigualtats:}
\begin{enumerate}[1.]
\item Cauchy-Schwarz
  \begin{displaymath}
    |\langle x,y\rangle|\leq ||x||||y||.
  \end{displaymath}
  \begin{proof}
    Siguin $t\in \R$, $x,y\in\R^n$ amb $y\not=0$. Tenim:
    \begin{displaymath}
      g(t)=||x+ty||^2=||x||^2+2t\langle x,y\rangle +t^2||y||^2\geq 0.
    \end{displaymath}
%\Longrightarrow g'(t)=2(\langle x,y\rangle +t||y||^2).$
    Llavors,
    per $t_0=-\dfrac{\langle x,y\rangle}{||y||^2}$ tindrem
    $g(t_0)=||x||^2-\dfrac{\langle x,y\rangle^2}{||y||^2}\geq
    0\Longleftrightarrow \langle x,y\rangle^2\leq ||x||^2||y||^2$. Finalment si
    $y=0$ la desigualtat es trivial. 
  \end{proof}
%   PROVA: Siguin $t\in \R$, $x,y\in\R^n$ amb $y\not=0$. Tenim:
% $$g(t)=||x+ty||^2=||x||^2+2t\langle x,y\rangle +t^2||y||^2\geq 0.$$
% %\Longrightarrow g'(t)=2(\langle x,y\rangle +t||y||^2).$
% Llavors,
% per $t_0=-\frac{\langle x,y\rangle}{||y||^2}$ tindrem
% $g(t_0)=||x||^2-\frac{\langle x,y\rangle^2}{||y||^2}\geq
% 0\Longleftrightarrow \langle x,y\rangle^2\leq ||x||^2||y||^2$. Finalment si
% $y=0$ la desigualtat es trivial. $\square$ 
\item Triangular
  \begin{displaymath}
    ||x+y||\leq ||x||+||y||\Longleftrightarrow d(x,y)\leq \dist{x}{z}
    +\dist{z}{y}.
  \end{displaymath}
  \begin{proof}\let\qed\relax
    \begin{displaymath}
    ||x+y||^2=||x||^2+2\langle x,y\rangle +||y||^2\leq
    ||x||^2+2||x||||y||+||y||^2=(||x||+||y||)^2.
  \end{displaymath}
  D'altra banda:
  \begin{displaymath}
    \dist{x}{y}=||x-y||=||(x-z)+(z-y)||\leq ||x-z||+||z-y||=\dist{x}{z}
    +\dist{z}{y}.
    \tag*{$\square$}
  \end{displaymath}
\end{proof}
% PROVA: 
% $$||x+y||^2=||x||^2+2\langle x,y\rangle +||y||^2\leq
% ||x||^2+2||x||||y||+||y||^2=(||x||+||y||)^2.$$
% D'altra banda:
% $$d(x,y)=||x-y||=||(x-z)+(z-y)||\leq ||x-z||+||z-y||=d(x,z)+d(z,y). \square$$
%\textbf{Corol.lari:} $\left|||x||-||y||\right|\leq ||x-y||$.
%
\item $|\langle x,y \rangle|\leq \sum_{j=1}^n|x_jy_j|$. \'Es
  consequ\`encia inmediata de la desigualtat triangular. 
\item $\forall j\ |x_j|\leq ||x||$. \'Es trivial, per\`{o} important.
\end{enumerate}

\noindent
De la desigualtat triangular es dedueix tamb\'{e} el seguent Coro\lgem ari:
\begin{corollary}
  $\left|\hspace{1pt}\| x \| - \| y \|\hspace{1pt}\right|
  \leq ||x-y||$.
\end{corollary}
\begin{proof}
  Aplicant la desigualtat triangular tenim, d'una banda,
  \begin{align*}
    \left\| x\right\| &\le \left\| y + (x-y)\right\|
    \le \|y\| + \|x-y\| \Longleftrightarrow
    \| x \| - \| y \| \le \| x - y \|\\ 
  \shortintertext{i tamb\'{e}:}
    \left\| y\right\| &\le \left\| x - (x-y)\right\|
    \le \| x \| + \| x-y \| \Longleftrightarrow
    \| x \| - \| y \| \ge -\| x - y \|. 
  \end{align*}
  Per tant, es satisf\`{a},
  \begin{displaymath}
    -\| x - y \| \le \left|\hspace{1pt} \| x \| -
      \| y \|\hspace{1pt}\right| \le \| x - y \|
  \end{displaymath}
  i aquesta desigualtat \'{e}s equivalent a
  $\left|\hspace{1pt} \| x \| -  
    \| y \|\hspace{1pt}\right| \le \| x - y\|$.
\end{proof}
\section{Topologia de $\R^n$ ($1$h P)}
%\textbf{TOPOLOGIA DE  $\R^n$} ($1$h P)
\begin{definition}[Oberts a $\R^n$] 
  $\varOmega\subseteq \R^n$ obert
  $\Longleftrightarrow$  $\forall\, x\in\varOmega,
  \exists\,\epsilon>0 \text{ tal que }
  \ball{\epsilon}{n}{x} \subseteq \varOmega$. 
\end{definition}

% \textbf{Definici\'o} (Oberts a $\R^n$). $\varOmega\in
% \R^n$ obert
% $\Longleftrightarrow$  $\forall x\in \varOmega, \exists
% \epsilon>0\ni
% {\mathcal{B}}_{\epsilon}^n(x) \subset \varOmega$. 

%\vspace{0,5\baselineskip}
%\noindent
\begin{definition}[Tancats a $\R^n$]
$\varOmega\subseteq\R^n$ tancat
$\Longleftrightarrow$ $\stcomp{\varOmega}\equiv
\R^n\setminus \varOmega$ \'es
obert. % El conjunt $\varOmega^c$ s'anomena complementari
% d'$\varOmega$.
\end{definition}
\begin{rem}[Notaci\'{o}]
  El conjunt $\stcomp{\varOmega}$ s'anomena \emph{complementari}
  de $\varOmega$. 
\end{rem}
% \textbf{Definici\'o} (Tancats a $\R^n$). $\varOmega\in
% \R^n$ tancat
% $\Longleftrightarrow$ $\varOmega^c\equiv \R^n\setminus
% \varOmega$ \'es
% obert. El conjunt $\varOmega^c$ s'anomena complementari
% d'$\varOmega$.
\begin{definition}
Donat $\varOmega\subseteq \R^n$ i $a\in\varOmega$ direm:
\begin{itemize}
 \item $a$ \'es un punt de l'interior de
   $\varOmega\Longleftrightarrow\exists\, \epsilon>0
   \text{ tal que } \ball{\epsilon}{n}{a}\subseteq\varOmega$. 
\item $a$ \'es un punt de l'exterior de
  $\varOmega\Longleftrightarrow\exists\, \epsilon>0\text{ tal que }
  \ball{\epsilon}{n}{a}\subseteq\stcomp{\varOmega}$.
\item $a$ \'es un punt de la frontera de
  $\varOmega\Longleftrightarrow\forall\,\epsilon>0,\ 
  \ball{\epsilon}{n}{a}\cap\varOmega\ne\emptyset \text{ i }
  \ball{\epsilon}{n}{a}\cap\stcomp{\varOmega}\ne\emptyset$.
\end{itemize}
\end{definition}
%\vspace{0,5\baselineskip}
%\noindent
% \textbf{Definici\'o:} Donat $\varOmega\in \R^n$ i $a\in \varOmega$
% direm: 
% \begin{itemize}
%  \item $a$ \'es un punt de l'interior de
%    $\varOmega\Longleftrightarrow\exists \epsilon>0\ni {\mathcal
%      B}_{\epsilon}^n(a)\subset \varOmega$. 
% \item $a$ \'es un punt de l'exterior de
%   $\varOmega\Longleftrightarrow\exists \epsilon>0\ni {\mathcal
%     B}_{\epsilon}^n(a)\subset \varOmega^c$.
% \item $a$ \'es un punt de la frontera de
%   $\varOmega\Longleftrightarrow\forall\epsilon>0,\quad {\mathcal
%     B}_{\epsilon}^n(a)\cap \varOmega\not=\varnothing \mbox{ i }
%   {\mathcal B}_{\epsilon}^n(a)\cap \varOmega^c\not=\varnothing$.
% \end{itemize}

\begin{definition}
  Donat $A\subseteq\R^{n}$ definim l'interior ($\mathring{A}$), l'exterior 
  ($\stext{A}$), i la frontera ($\partial A$), com els conjunts:
 % formats pels
 %  punts interiors, exteriors i frontera de $A$ respectivament, i.e.:
  \begin{itemize}
  \item $\mathring{A}=\{x\in\R^n: x 
    \text{ \'es punt de l'interior de } A\}$.
  \item $\stext{A}=\{x\in\R^n: x 
    \text{ \'es punt de l'exterior de } A\}$.
  \item $\partial A=\{x\in\R^n: x 
    \text{ \'es punt de la frontera de } A\}$.
\end{itemize}
\end{definition}
%\vspace{0,5\baselineskip}
%\noindent
% {\bf Notaci\'o:}
% \begin{itemize}
%  \item $\mathring{A}=\{x\in\R^n: x 
%        \text{ \'es punt de l'interior de } A\}$.
% \item $\mathop{ext} A=\{x\in\R^n: x 
%        \text{ \'es punt de l'exterior de } A\}$.
% \item $\partial A=\{x\in\R^n: x 
%        \text{ \'es punt de la frontera de } A\}$.
% \end{itemize}

%\vspace{0,5\baselineskip}
%\noindent
\begin{definition}[Clausura o adher\`{e}ncia]
Donat $A\in\R^n$ la clausura (o adher\`encia) d'$A$ \'es
$\bar{A}=\mathring{A}\cup \partial A$. 
\end{definition}
% {\bf Definici\'o} (Clausura o adher\`encia). Donat $A\in\R^n$ la
% clausura (o adher\`encia) d'$A$ \'es
% $\bar{A}=\mathring{A}\cup \partial A$  
% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
\begin{prop} Un conjunt $A\subseteq\R^{n}$ \'{e}s obert si i nom\'{e}s si
  coincideix amb el seu interior. An\`{a}logament, un conjunt
  $A\subseteq\R^{n}$ \'{e}s tancat si i nom\'{e}s si coincideix amb la seva
clausura, i.e.,
\begin{itemize}
  \item $A$ obert $\Longleftrightarrow A=\mathring{A}$.
  \item $A$ tancat $\Longleftrightarrow A=\bar{A}$.
  \end{itemize}
\end{prop}

% \textbf{Proposici\'o:}
% \begin{itemize}
%  \item $A$ obert $\Longleftrightarrow A=\mathring{A}$.
% \item $A$ tancat $\Longleftrightarrow A=\bar{A}$.
% \end{itemize}

% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
\begin{rem}
La clausura de $\ball{r}{n}{a}$, que denotarem per
$\clball{r}{n}{a}$, s'anomena \emph{bola tancada} de $\R^n$ de
radi $r$ i centrada en el punt $a$. 
\end{rem}

% \noindent
% \textbf{Observaci\'o:} La clausura de ${\mathcal{B}}_{r}^n(a)$, que
% denotarem per $\overline{\mathcal{B}}_{r}^n(a)$, s'anomena bola
% tancada de $\R^n$ de radi $r$ i centrada en el punt $a$.

% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
% \textbf{Definici\'o} (Acotat). $\varOmega\subset \R^n$ \'es un conjunt
% acotat $\Longleftrightarrow \exists R>0
%  \ni \varOmega \subset{\mathcal B}_R^n(0)$.  
\begin{definition}[Conjunt acotat]
  $\varOmega\subset\R^n$ \'es un conjunt acotat $\Longleftrightarrow \exists\,R>0
  \text{ tal que } \varOmega\subseteq\ball{R}{n}{0}$.  
\end{definition}

% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
% \textbf{Definici\'o} (Compacte). $\varOmega\subset \R^n$ \'es un conjunt
% compacte $\Longleftrightarrow$ \'es tancat i acotat. 

\begin{definition}[Conjunt compacte]
$\varOmega\subset \R^n$ \'es un conjunt compacte $\Longleftrightarrow$ \'es
tancat i acotat.  
\end{definition}

% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
% \textbf{Propietats dels conjunts:} La uni\'o d'oberts \'es sempre un
% obert. La intersecci\'o finita d'oberts \'es un obert. La uni\'o
% finita de tancats \'es un tancat. La intersecci\'o de tancats \'es
% sempre un tancat. 

\begin{prop}[Unions i interseccions d'oberts i tancats]\leavevmode
 \begin{enumerate}[(i)] 
 \item La uni\'o d'oberts \'es sempre un obert.
 \item La intersecci\'o finita d'oberts \'es un obert.
 \item La uni\'o finita de tancats \'es un tancat.
 \item La intersecci\'o de tancats \'es sempre un tancat.  
 \end{enumerate}
\end{prop}
%
% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
\begin{exmp}\leavevmode 
\begin{enumerate}[1.]
 \item $\bigcup\limits_{k=2}^{\infty}\ball{1-1/k}{n}{0}$ \'es obert.
\item  $\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}\clball{1/k}{n}{0}$ \'es
  tancat. (Es dedueix de $1$ i de la propietat $\stcomp{(A\cup B)}=\stcomp{A}
  \cap\stcomp{B}$). 
\item $\bigcup\limits_{k=2}^{\infty}\clball{1-1/k}{n}{0}$ \'es obert. 
\item $\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}\ball{1/k}{n}{0}$ \'es tancat.
\item La frontera de $\ball{r}{n}{0}$ s\'on els punt de
  $\R^n$ que satisfan $||x||=r$. 
\item $\R^n$ \'es obert i tancat a la vegada. (Tot punt de $\R^n$
  \'es interior i no t\'e frontera). 
\end{enumerate}
\end{exmp}
% \vspace{0,5\baselineskip}
\begin{exmp}[Exercici 1 de la co\lgem ecci\'{o}]\label{exmp:OpenAndClosedSets}
Digueu quins dels seg\"uents
conjunts 
son oberts, tancats o compactes.%\footnotemark{}\end{exmp}

\begin{enumerate}[(a)]
\item $A = \left\{(x, y)\in \R^2 \mbox{ : } x^2 + y^2\leq x,\,
{\rm e}^{xy} - \sin x\leq y^4 + {\rm e}^x\right\}$.
\begin{sol}
\'Es compacte ja que \'es la intersecci\'o entre
$\clball{1/2}{2}{1/2,0}$ i $\left\{(x, y)\in\R^2:  
\rme^{xy} - \sin x\leq y^4 + \rme^x\right\}$. El primer es compacte
i el segon tancat.\footnote{Veu\-rem quan
estudiem continu\"\i tat,que, ``en general'', els conjunts definits
per desigualtats del tipus $\lessgtr$ s\'on oberts. I els definits
per desigualtats del tipus $\lesseqqgtr$ s\'on tancats. De moment ho
acceptem i ja ho veurem mes endevant.} 
\end{sol}
% \emph{Soluci\'{o}.} \'Es compacte ja que \'es la intersecci\'o entre
% $\clball{1/2}{2}{1/2,0}$ i $\left\{(x, y)\in\R^2:  
% \rme^{xy} - \sin x\leq y^4 + \rme^x\right\}$. El primer es compacte
% i el segon tancat. 
\item $B = \left\{(x, y, z)\in \R^3: x^2 + y^2 + z^2\leq 1,\,
\rme^{xy}+\rme^{yz}+\rme^{zx}\geq x+y+z\right\}$.
\begin{sol}
Mateix raonament que en el cas anterior. \'Es la
intersecci\'o de la bola tancada unitat centrada a l'origen i un
tancat, per tant, compacte. 
\end{sol}
% \emph{Soluci\'{o}.} Mateix raonament que en el cas anterior. \'Es la
% intersecci\'o de la bola tancada unitat centrada a l'origen i un
% tancat, per tant, compacte. 
\item $C = \left\{(x, y)\in \R^2: x^2 - y^2\leq 0, y\leq 2x\right\}$.
\begin{sol}
\'Es tancat ja que \'es la intersecci\'o de dos
tancats, per\'o no \'es compacte ja que no est\`a acotat (els punts
de la forma  $(x,x)\quad \forall x\in \R^+$ pertanyen a $C$).
\end{sol}
% \emph{Soluci\'{o}.} \'Es tancat ja que \'es la intersecci\'o de dos
% tancats, per\'o no \'es compacte ja que no est\`a acotat (els punts
% de la forma  $(x,x)\quad \forall x\in \R^+$ pertanyen a $C$).
\item $D = \left\{(x, y, z)\in \R^3: 0<x^2-y^2+z^2<1,\, xyz>0\right\}$.
\begin{sol}
\'Es la intersecci\'o de dos oberts, per tant,
obert. 
\end{sol}
% \emph{Soluci\'{o}.} \'Es la intersecci\'o de dos oberts, per tant,
% obert. 
\item $E=\left\{(x,y)\in\R^2: x^2+\sin y>0, \, x\neq 0,\, y\neq 0\right\}$. 
\begin{sol}
\'Es oberta, ja que \'es la intersecci\'o de tres oberts. 
\end{sol}
% \emph{Soluci\'{o}.} \'Es oberta, ja que \'es la intersecci\'o de
% tres oberts. 
\item $F = \left\{(x, y)\in\R^2: 1 < x^2 + y^2 \leq 2\right\}$.
\begin{sol}
No \'es ni obert ni
tancat. $\overline{F}=\clball{\sqrt{2}}{2}{0,0} 
\setminus\ball{1}{2}{0,0}\supset F$ per tant no \'es tancat. L'interior de $F$
\'es $\ball{\sqrt{2}}{2}{0,0}\setminus\clball{1}{2}{0,0}\subset F$ per tant no
\'es obert.  
\end{sol}
% \emph{Soluci\'{o}.} No \'es ni obert ni
% tancat. $\overline{F}=\clball{\sqrt{2}}{2}{0,0} 
% \setminus\ball{1}{2}{0,0}\supset F$ per tant no \'es
% tancat. L'interior de $F$ \'es 
% $\ball{\sqrt{2}}{2}{0,0}\setminus\clball{1}{2}{0,0}
% \subset F$ per tant no \'es obert. 
\item $G=\left\{(x,y)\in\R^2: x>1,\, \dfrac{x^2+y^2}{x}<2\right\}$.
\begin{sol}
\'Es la intersecci\'o d'oberts, per tant, \'es obert. 
\end{sol}
% \emph{Soluci\'{o}.} \'Es la intersecci\'o d'oberts, per tant, \'es
% obert. 
\end{enumerate}
\end{exmp}
% \newpage
% \noindent
\section{Continu\"{\i}tat a $\R^n$ ($3$h T, $2$h P)}
%\textbf{CONTINU\"{I}TAT A $\R^n$} ($3$h T, $2$h P)
%\vspace{0.5\baselineskip}
\noindent
Es comen\c{c}a amb la definici\'o  norma i dist\`ancia a $\R^n$ per
poder definir  bola a $\R^n$ i obert a $\R^n$. 

\begin{enumerate}[1.]
\item Sigui $x=(x_1,\dots,x_n)$ punt de $\R^n$. La norma d'$x$ es
defineix $||x||:=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^nx_k^2}$ i \'es la dist\`ancia del
punt $x$ a l'origen. (Teorema de Pit\`agoras. Mostrar-ho a $\R^2$).

\item Donats $x, y\in\R^n$, la dist\`ancia de $x$ a $y$ \'es
$\dist{x}{y}:=||x-y||$ (Teorema de Pit\`agoras. Mostrar-ho a $\R^2$).

\item $\ball{r}{n}{y}$ \'es la bola $n$-dimensional oberta de
  radi $r$ centrada en el punt $y$. \'Es el conjunt de punts que
  estan a dist\`ancia menor que $r$ del punt $y$. 

\item $\varOmega$ \'es un obert de $\R^n$ si per cada punt de $\varOmega$,
  podem trobar un bola oberta centrada en aquest punt i de radi prou
  petit (que, en general, dependr\`{a} del punt) de manera que
  aquesta estigui totalment continguda en  $\varOmega$.
\end{enumerate}
%
% \textbf{Definici\'o} (Funci\'o vectorial de diverses
% variables). $f=(f_1,\dots,f_m):\varOmega\subset \R^n\longrightarrow
% \R^m$, $\varOmega$ obert. On $f_j$ s\'on {\it funcions escalars}, i.e.,
% $f_j:\varOmega\subset \R^n\longrightarrow \R$, $\forall j=1,..,m$. 

% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent

\begin{definition}[Funci\'o vectorial de diverses variables]
$f=(f_1,\dots,f_m):\varOmega\subseteq\R^n\longrightarrow
\R^m$, $\varOmega$ obert; on $f_j$ s\'on {\it funcions escalars}, i.e.,
$f_j:\varOmega\subseteq \R^n\longrightarrow \R$, $\forall\, j=1,\dots,m$. 
\end{definition}
% \textbf{Exemple:} $f(x,y,z)=(\sin(xy), z^2+x+3y)$. Aqu{\'\i}
% $\varOmega=\R^3$, $f_1(x,y,z)=\sin(xy)$ i $f_2(x,y,z)=z^2+x+3y$.

\begin{exmp} $f(x,y,z)=\left(\sin(xy), z^2+x+3y\right)$. Aqu{\'\i}
$\varOmega=\R^3$, $f_1(x,y,z)=\sin(xy)$ i $f_2(x,y,z)=z^2+x+3y$.
\end{exmp}
% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
% \textbf{Definici\'o} (Domini i Imatge).
% \begin{itemize}
% \item Domini: ${\mathcal D}(f)=\left\{ x\in \R^n: f(x)\in \R^m\right\}$.
% \item Imatge: (o rang) ${\mathcal R}(f)=\left\{ y\in \R^m:  
% \exists\, x\in {\mathcal D}(f)\text{ t.q. } y=f(x)\right\}$.
% \end{itemize}

\begin{definition}[Domini i Imatge]\leavevmode
  \begin{itemize}
  \item Domini: $\Dom{f}=\left\{ x\in \R^n: f(x)\in \R^m\right\}$.
  \item Imatge: (o Rang) $\Ran{f}=\left\{ y\in \R^m:  
      \exists\, x\in\Dom{f}\text{ tal que } y=f(x)\right\}$.
  \end{itemize}
\end{definition}
% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
% \textbf{Exemple:} $f(x)=(\ln(||x||),\ln(1-||x||))$ amb
% $x\in\R^n$. Llavors: 
% \begin{enumerate}[1.]
% \item ${\mathcal D}(f)={\mathcal B}_1^n(0)\setminus\{0\}$.
% \item ${\mathcal R}(f)=\left\{(y_1,y_2)\in\R^2: y_1\in
%                (-\infty,0),\quad y_2=\ln(1-e^{y_1})\right\}$.
% \end{enumerate}

\begin{exmp} $f(x)=(\ln(||x||),\ln(1-||x||))$ amb
$x\in\R^n$. Llavors: 
\begin{enumerate}[1.]
\item $\Dom{f}=\ball{1}{n}{0}\setminus\{0\}$.
\item $\Ran{f}=\left\{(y_1,y_2)\in\R^2: y_1\in
               (-\infty,0),\ y_2=\ln(1-e^{y_1})\right\}$.
\end{enumerate}
\end{exmp}
% \textbf{Definici\'o:} (Gr\`afica). $f:\varOmega\subset 
% \R^n\longrightarrow \R^m$, ${\mathcal G}(f)=\{ (x, f(x)): x\in
% {\mathcal D}(f)\}\subset \R^{n+m}$. 
% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent

%\vspace{-0,5\baselineskip}
\begin{definition}[Gr\`{a}fica]
$f:\varOmega\subseteq 
\R^n\longrightarrow \R^m$, $\Gra{f}=\left\{ \left(x, f(x)\right):
  x\in \Dom{f}\right\}\subseteq \R^{n+m}$. 
\end{definition}

% \noindent
% \textbf{Exemples:}
% \begin{enumerate}[1.]
%  \item $f:\mathcal{B}_1^2(0,0)\subset\R^{2}\longrightarrow \R$ donada
%    per $(x,y)\in{\mathcal B}_1^2(0,0)\mapsto a^2x^2+b^2y^2$ amb
%    $a\not=b$. La seva gr\`afica \'es un parabolo\"\i de el·l\'\i
%    ptic.  
% \item $f:{\mathcal B}_1^2(0,0)\in\R^{2}\longrightarrow \R$ donada per
%    $(x,y)\in{\mathcal B}_1^2(0,0)\mapsto a^2x^2-b^2y^2$. La seva
%    gr\`afica \'es una ``sella''. 
% \end{enumerate}

\begin{exmp}\leavevmode
\begin{enumerate}[1.]
 \item $f:\ball{1}{2}{0,0}\subset\R^{2}\longrightarrow \R$ donada
   per $(x,y)\in\ball{1}{2}{0,0}\mapsto a^2x^2+b^2y^2$ amb
   $a\not=b$. La seva gr\`afica \'es un parabolo\"\i de el·l\'\i
   ptic.  
\item $f:\ball{1}{2}{0,0}\in\R^{2}\longrightarrow \R$ donada per
   $(x,y)\in\ball{1}{2}{0,0}\mapsto a^2x^2-b^2y^2$. La seva
   gr\`afica \'es una ``sella''. 
\end{enumerate}
\end{exmp}

% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
% \textbf{Definici\'o} (Conjunts de nivell). Sigui
% $f:\varOmega\subset \R^n\longrightarrow \R^m$, $c\in {\mathcal
%   R}(f)$. Llavors, el conjunt de nivell es defineix com
% $L_c(f):=\left\{ x\in {\mathcal D}(f): f(x)=c\right\}$.

\begin{definition}[Conjunts de nivell]
Sigui
$f:\varOmega\subseteq\R^n\longrightarrow \R^m$, $c\in\Ran{f}$. 
  Llavors, el conjunt de nivell es defineix com
$L_c(f):=\left\{ x\in\Dom{f}: f(x)=c\right\}$.
\end{definition}

% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
% \textbf{Nota:} Quan $n=2 \mbox{ i } m=1$ s'anomenen {\it corbes de
%   nivell}, quan $n=3 \mbox{ i } m=1$ s'anomenen {\it
%   superf{\'\i}cies de nivell}. En general, quan $m=1$ s'anomenen
% {\it hipersuperf{\'\i}cies de nivell}. 

% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
\begin{rem} Quan $n=2 \mbox{ i } m=1$ els conjunts de nivell s'anomenen
  \emph{corbes de nivell}, quan $n=3 \mbox{ i } m=1$ s'anomenen
  \emph{superf{\'\i}cies de nivell}. En general, quan $m=1$ s'anomenen
  \emph{hipersuperf{\'\i}cies de nivell}.  
\end{rem}

% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
% \textbf{Exemples:}
% \begin{enumerate}[1.]
%  \item  Les corbes de nivell de $f(x,y)=x^2-y^2$ s\'on hip\`erboles.
% \item Les superf{\'\i}cies de nivell de $f(x,y,z)=3x^2+y^2+4z^2$
%   s\'on el·lipsoides. 
% \end{enumerate}

\begin{exmp}\leavevmode
\begin{enumerate}[1.]
 \item Les corbes de nivell de $f(x,y)=x^2-y^2$ s\'on hip\`erboles.
\item Les superf{\'\i}cies de nivell de $f(x,y,z)=3x^2+y^2+4z^2$
  s\'on e\lgem ipsoides. 
\end{enumerate}
\end{exmp}

% \vspace{0.5\baselineskip}
% \noindent
% \textbf{Definici\'o} (L{\'\i}mit).
% Recordem el concepte de l{\'\i}mit en dimensi\'o $1$. Si tenim
% $f:(A,B)\subset \R\rightarrow \R$ i $a\in  (A,B)$, llavors: 
% \begin{displaymath}
% \limc\limits_{x\rightarrow a}f(x)=L \Longleftrightarrow \forall \epsilon>0,
% \exists\ \delta=\delta(\epsilon)>0 \text{ tal que } 
%  x\in (a-\delta, a+\delta)\setminus \{a\}
% \Longrightarrow f(x)\in (L-\epsilon, L+\epsilon).
% \end{displaymath}
% \'Es a dir, donat un int\`erval de radi $\epsilon$ centrat en el
% punt $L$, sempre podem trobar un int\`erval de radi
% $\delta=\delta(\epsilon)$ centrat en el punt $a$, de manera que  si
% un punt pertany a aquest int\`erval i NO \'es $a$, llavors la seva
% imatge pertany a l'int\`erval de radi $\epsilon$ centrat en el punt
% $L$. Dit d'una altra manera, si $x$ est\`a a dist\`ancia 
% d'$a<\delta$, pero estrictament positiva, llavors $f(x)$ est\`a a
% dist\`ancia d'$L<\epsilon$.

%\begin{definition}[L\'{\i}mit]
%\subsubsection*{L\'{\i}mits de funcions d'una variable.}
\noindent
\emph{L\'{\i}mits de funcions d'una variable.}
Abans d'introduir el concepte de l\'{\i}mit per a funcions definides en dominis
de $\R^{n}$ (Definici\'{o}~\ref{def:limRN}), recordem el concepte de l{\'\i}mit
en dimensi\'o $1$: donada una funci\'{o} $f:(A,B)\subseteq\R\rightarrow \R$ i
$a\in (A,B)$, llavors: 
\begin{displaymath}
\limc\limits_{x\to a}f(x)=L \Longleftrightarrow \forall\,\epsilon>0,
\exists\,\delta=\delta(\epsilon)>0 \text{ tal que } 
 x\in (a-\delta, a+\delta)\setminus \{a\}
\Longrightarrow f(x)\in (L-\epsilon, L+\epsilon).
\end{displaymath}
\'Es a dir, donat un int\`erval de radi $\epsilon$ centrat en el
punt $L$, sempre podem trobar un int\`erval de radi
$\delta=\delta(\epsilon)$ centrat en el punt $a$, de manera que  si
un punt pertany a aquest int\`erval i NO \'es $a$, llavors la seva
imatge pertany a l'int\`erval de radi $\epsilon$ centrat en el punt
$L$. Dit d'una altra manera, si $x$ est\`a a dist\`ancia 
d'$a<\delta$, pero estrictament positiva, llavors $f(x)$ est\`a a
dist\`ancia d'$L<\epsilon$.
%\end{definition}

% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
% \textbf{Exemple:} $\limc\limits_{x\rightarrow 1}x^2=1$. Fixem $\epsilon>0$,
% llavors per $|x-1|<\delta$ tenim 
% \begin{displaymath}
% |x^2-1|=|x-1||x+1|<\delta
% |x+1|<3\delta=\epsilon,
% \end{displaymath} 
% per tant, nom\'es cal triar $\delta(\epsilon)=\epsilon/3$.

\begin{exmp}
$\limc\limits_{x\rightarrow 1}x^2=1$. Fixem $\epsilon>0$,
llavors per $|x-1|<\delta$ tenim 
\begin{displaymath}
|x^2-1|=|x-1||x+1|<\delta
|x+1|<3\delta=\epsilon,
\end{displaymath} 
per tant, nom\'es cal triar $\delta(\epsilon)=\epsilon/3$.
\end{exmp}
%\end{exmp}
%\vspace{0,5\baselineskip}
%\noindent
\begin{definition}[L\'{\i}mit en $\R^{n}$]\label{def:limRN}
Sigui $f:\varOmega\subseteq\R^n\rightarrow \R^m$,
funci\'o vectorial, $f=(f_1,\dots,f_m)$, $\varOmega$ obert i
$a\in\overline{\varOmega}$. Llavors: 
% \vspace{0,5\baselineskip}
% \noindent
% Llavors:
\begin{displaymath}
\limc\limits_{x\rightarrow a}f(x)=L\Longleftrightarrow\forall\,\epsilon>0,\
\exists\, \delta=\delta(\epsilon)>0\text{ tal que } x\in
\ball{\delta}{n}{a}\setminus \{a\} \Longrightarrow f(x)\in
\ball{\epsilon}{m}{L}. 
\end{displaymath}
\end{definition}
% \textbf{Nota:} El valor de $f(a)$ {\it no} juga cap paper en la
% definici\'o. Modificar el seu valor no afecta ni l'exist\`encia ni
% el valor del l{\'\i}mit. 

\begin{rem}
Notem que el valor de $f(a)$ \emph{no} juga cap paper en la
definici\'o~\ref{def:limRN}. Modificar el seu valor no afecta ni l'exist\`encia ni
el valor del l{\'\i}mit. De fet no cal ni tan sols que $f$ estigui
definida en $a$! %(s\'{\i} que cal, per\`{o}, que el punt $a$ pertany a la
% clausura del domini de la funci\'{o}).
\end{rem}

% {\bf Exemple:}
% $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{\sin(x^2y^2)}{x^2+y^4}=0$. Efectivament, fixem
% $\epsilon>0$, llavors per
%  $(x,y)\in {\mathcal{B}}_{\delta}^2(0,0)$ tenim
% $$d\left(\frac{\sin(x^2y^2)}{x^2+y^4},
% 0\right)=\left|\frac{\sin(x^2y^2)}{x^2+y^4}\right|\leq \frac{x^2
% y^2}{x^2+y^4}\leq y^2\leq 
% d^2((x,y), (0,0))<{\delta}^{2}.
% $$

% Triem doncs $\delta=\sqrt{\epsilon}$.
% }
\begin{exmp}
  $\limc\limits_{(0,0)}\dfrac{\sin(x^2y^2)}{x^2+y^4}=0$
  \footnote{En general, quan estigui clar respecte de quines variables prenem
    els límits, indicarem nom\'{e}s el punt cap al que hi tendeixen. Aix\'{\i},
    escrivim $\limc_{(0,0)}$ en comptes de
    $\limc_{(x,y)\to (0,0)}$.}.
Efectivament, fixem $\epsilon>0$, llavors per $(x,y)\in
\ball{\delta}{2}{0,0}$ tenim, 
\begin{displaymath}
\dist{\frac{\sin(x^2y^2)}{x^2+y^4}}{0} =
  \left|\frac{\sin(x^2y^2)}{x^2+y^4}\right|\leq
  \frac{x^2 y^2}{x^2+y^4}\leq y^2\leq 
  \distp{2}{(x,y)}{(0,0)}<\delta^{2}.
\end{displaymath}
Triem doncs $\delta=\sqrt{\epsilon}$.
\end{exmp}
% {\bf Exercici:}
% Usant la definici\'o veure que la funci\'o
% $f(x,y)=\frac{x^2\cos(y)+xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ tendeix a zero a l'origen. 
% SOLUCIO: $\delta=\epsilon/2$.

\begin{ex}
Usant la definici\'o~\ref{def:limRN} veure que la funci\'o
$f(x,y)=\dfrac{x^2\cos(y)+xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ tendeix a zero a l'origen. 
\end{ex}
\begin{sol}
  Es comprova que la definici\'{o} es satisf\`{a} agafant, per exemple,
  $\delta(\epsilon) = \epsilon/2$. 
\end{sol}

% {\bf Exemple:} Recordem que la relaci\'o $|ab|\leq \frac{1}{2}(a^2+b^2)$ pot
% ser molt \'util per a calcular l{\'\i}mits: 

% Considerem la funci\'o $f(x,y)=\frac{x^2y^3}{x^4+y^4}$ i volem veure que el seu
% l{\'\i}mit a l'origen és zero. Doncs usem que $2x^2y^2\leq x^4+y^4$ per obtenir
% l'acotaci\'o 
% $$|f(x,y)|\leq \frac{|y|}{2}\leq \frac{\delta}{2}=\epsilon.$$

Recordem tamb\'{e} que la relaci\'o $|ab|\leq \frac{1}{2}(a^2+b^2)$ pot ser molt
\'util per a calcular l{\'\i}mits. Ho i\lgem ustrem amb l'exemple seg\"{u}ent:
\begin{exmp}
Considerem la funci\'o $f(x,y)=\dfrac{x^2y^3}{x^4+y^4}$ i volem veure que el seu
l{\'\i}mit a l'origen \'{e}s zero. Aix\'{\i}, usem que $2x^2y^2\leq x^4+y^4$ per a
obtenir l'acotaci\'o, 
\begin{displaymath}
|f(x,y)|\leq \frac{|y|}{2}\leq \frac{\delta}{2}=\epsilon.
\end{displaymath}
\end{exmp}
% Un exemple una mica m\'es complicat \'es $f(x,y)=\frac{x^4y}{x^6+y^2}$. Ara usem
% la descomposici\'o $$x^4|y|= |x|^{\frac{7}{2}}.|x|^{\frac{1}{2}}|y|\leq
% \frac{1}{2}(|x|^7+|x|y^2).$$ 

% Llavors tindrem
% $$|f(x,y)|\leq \frac{|x|^7}{2(x^6+y^2)}+\frac{|x|y^2}{2(x^6+y^2)}\leq |x|\leq
% \delta=\epsilon,$$ 
% on hem usat $\frac{1}{x^6+y^2}\leq \frac{1}{x^6}$ i  $\frac{1}{x^6+y^2}\leq
% \frac{1}{y^2}$. 
% \vspace{0.25cm}

\begin{exmp}[una mica m\'{e}s complicat]
Sigui la funci\'{o} $f(x,y)=\dfrac{x^4y}{x^6+y^2}$. Ara usem la descomposici\'o
\begin{displaymath}
x^4|y|= |x|^{7/2}|x|^{1/2}|y|\leq \frac{1}{2}\left(|x|^7+|x|y^2\right). 
\end{displaymath}
Llavors tindrem
\begin{displaymath}
|f(x,y)|\leq \frac{|x|^7}{2(x^6+y^2)}+\frac{|x|y^2}{2(x^6+y^2)}\leq |x|\leq
\delta=\epsilon, 
\end{displaymath}
on hem usat $\dfrac{1}{x^6+y^2}\leq\dfrac{1}{x^6}$ i  $\dfrac{1}{x^6+y^2}\leq
\frac{1}{y^2}$.
\end{exmp}

% {\bf Exemple:} Demostrem que $\lim_{(x,y)\rightarrow
% (0,0)}\left(1+y^{\frac{1}{3}}-\left(7x^3+32y^4\right)^{\frac{1}{5}}\right)=1$.
% Fixem-nos que tenim 
% $7x^3+32y^4\leq 32||(x,y)||$ i a m\'es, per $0<z<1$ tenim $z^{\frac{1}{3}}\leq
% z^{\frac{1}{5}}$. Aix{\'\i} doncs, 
% $$\left|y^{\frac{1}{3}}-\left(7x^3+32y^4\right)^{\frac{1}{5}}\right|\leq
% ||(x,y)||^{\frac{1}{3}}+2||(x,y)||^{\frac{1}{5}}\leq
% 3||(x,y)||^{\frac{1}{5}}\leq 3\delta^{\frac{1}{5}}=\epsilon. 
% $$
% \vspace{0.25cm}

\begin{exmp}
Demostrem que $\limc\limits_{
  (0,0)}\left(1+y^{1/3}-\left(7x^3+32y^4\right)^{1/5}\right)=1$.
En efecte, Fixem-nos que tenim $7x^3+32y^4\leq 32||(x,y)||$ i a m\'es, per
$0<z<1$ tenim $z^{1/3}\leq z^{1/5}$. Aix{\'\i} doncs, 
\begin{displaymath}
\left|y^{1/3}-\left(7x^3+32y^4\right)^{1/5}\right|\leq
||(x,y)||^{1/3}+2||(x,y)||^{1/5}\leq
3||(x,y)||^{1/5}\leq 3\delta^{1/5}=\epsilon. 
\end{displaymath}
\end{exmp}
% {\bf Observaci\'o:} A $\R$ el l{\'\i}mit de $f$ en $x=a$ $ \exists
% \Longleftrightarrow$ 
% $$\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)\mbox{ i }\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)\quad
% \exists, \mbox{ i coincideixen}. 
% $$

% En canvi a $\R^n$ hi ha infinites maneres d'arribar a $x=a$ (per rectes,
% par\`aboles, etc.). 

% Aix{\'\i}  doncs, si el  l{\'\i}mit de $f$  en $x=a$ $\exists$, llavors
% $\forall \sigma:(A,B)\subset \R\rightarrow \R^n; t \rightarrow
% \sigma(t)=(\sigma_1(t),\dots,\sigma_n(t))$ 

% corba a $\R^n\ni \sigma(0)=a$
% $$\lim_{t\rightarrow 0}f(\sigma(t))\quad \exists \mbox{ i val el mateix}. 
% $$

% Per tant, donades $\sigma_1$ i $\sigma_2$ dues corbes de $\R^n\ni
% \sigma_1(0)=\sigma_2(0)$, 
% $$\lim_{t\rightarrow 0}f(\sigma_1(t))\not=\lim_{t\rightarrow
% 0}f(\sigma_2(t))\Longrightarrow\lim_{x\rightarrow a}f(x)\nexists. 
% $$

\begin{rem}
A $\R$ el l{\'\i}mit de $f(x)$ en $x=a$ existeix si i nom\'{e}s si els
l\'{\i}mits laterals,
\begin{displaymath}
  \limc\limits_{x\to a^{+}}f(x)\ \text{ i }\ \limc\limits_{x\to a^{-}}f(x)
\end{displaymath}
existeixen tots dos i coincideixen. En canvi, a $\R^n$ hi ha infinites maneres
d'arribar a $x=a$ (per rectes, par\`aboles, etc.) Aix{\'\i}  doncs, si el
l{\'\i}mit de $f$  en $x=a$ existeix, llavors per a tota corba a $\R^{n}$,
\begin{displaymath}
  \begin{array}{rcl}
    \sigma: (A,B)\subseteq\R &\longrightarrow & \R^{n} \\
    t &\longrightarrow&\sigma(t) = \left( \sigma_{1}(t),\dots,\sigma_{n}(t)
                        \right), 
  \text{ el l\'{\i}mit $\limc\limits_{t\rightarrow 0}f
    \left(\sigma(t)\right)$ existeix i val el mateix.}\end{array}
\end{displaymath}
%el l\'{\i}mit 
% $\forall \sigma:(A,B)\subset
% \R\rightarrow \R^n; t \rightarrow \sigma(t)=(\sigma_1(t),\dots,\sigma_n(t))$ 
% corba a $\R^n\ni \sigma(0)=a$
% \begin{displaymath}
% \limc\limits_{t\rightarrow 0}f\left(\sigma(t)\right),%\quad \exists \mbox{ i val
%                                 %el mateix}. 
% \end{displaymath}
% esteix i val el mateix.
Per contra, si per a dues corbes $\sigma_1$ i $\sigma_2$ de
$\R^n$ tal que $\sigma_1(0)=\sigma_2(0)$, $\limc\limits_{t\to
  0}f\left(\sigma_1(t)\right)\ne \limc\limits_{t\to 0}f\left(\sigma_2(t)\right)$,
el l\'{\i}mit $\limc\limits_{x\to a}f(x)$ no existeix.
% \begin{displaymath}
%   \limc\limits_{t\to 0}f\left(\sigma_1(t)\right)\ne
%   \limc\limits_{t\to 0}f\left(\sigma_2(t)\right)
%   \Longrightarrow\lim_{x\to a}f(x)\text{ no existeix }.
% \end{displaymath}
\end{rem}

% {\bf Exemple:} (Es essencialment l'exercici $9$ de problemes) Discutiu el
% l{\'\i}mit a l'origen de 
%  $f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$ i $f(x,y)=\frac{xy^2}{x^4+y^2}$.
%  La primera funci\'o NO t\'e l{\'\i}mit a l'origen (nom\'es cal pendre la
%  par\`abola $y=x^2$. En canvi, per a 
%  la segona tenim $\frac{|x|y^2}{x^4+y^2}\leq |x|$, per tant
%  a l'origen el l{\'\i}mit \'es zero.
% \vspace{0.25cm}

\begin{exmp}[\'{E}s essencialment l'exercici 9 de la co\lgem ecci\'{o} de
  problemes] Discutiu el l{\'\i}mit a l'origen de 
  \begin{displaymath}
    f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2},\ \text{ i }\ f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^4+y^2}.
  \end{displaymath}
  \begin{sol}
    La primera funci\'o NO t\'e l{\'\i}mit a l'origen (nom\'es cal pendre la
    par\`abola $y=x^2$. En canvi, per a la segona tenim
    $\dfrac{|x|y^2}{x^4+y^2}\leq |x|$, per tant a l'origen el l{\'\i}mit \'es zero.
  \end{sol}
\end{exmp}
% {\bf Exemple:}
% $f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y}$ si $x^2+y\not= 0$,

%  i $f(x,y)=0$ si $x^2+y= 0$.

% Triem $\sigma_1(t)=(t,t)$ i $\sigma_2(t)=(t, -t^2+t^6)$ llavors
% $$\lim_{t\rightarrow 0}f(\sigma_1(t))=0,\quad \lim_{t\rightarrow
%   0}f(\sigma_2(t))=1\Longrightarrow 
% \lim_{(x_1,x_2)\rightarrow (0,0)}f(x_1,x_2)\quad \nexists$$

\begin{exmp}
 Considereu la funci\'{o} $f(x,y) = \dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y}$, si $x^{2} + y
 \ne 0$ i $f(x,y) = 0$, si $x^{2}+y = 0$. Per a estudiar el seu l\'{\i}mit quan
 $\left( x_{1}, x_{2} \right)\to (0, 0)$, triem les corbes $\sigma_{1}(t) = (t,t)$ i
 $\sigma_{2}(t)=\left(t,-t^{2}+t^{6}\right)$. Aleshores,
   \begin{displaymath}
     \limc\limits_{t\to 0}f\left( \sigma_{1}(t) \right) = 0,\qquad
     \limc\limits_{t\to 0}f\left( \sigma_{2}(t) \right) = 1
   \end{displaymath}
   i, per tant,  es conclou que el $\limc\limits_{(0,0)}f
   \left( x_{1}, x_{2} \right)$ no existeix. 
\end{exmp}
% {\bf Proposici\'o:} Donat $p:\R^n\rightarrow \R; x\rightarrow
% p(x)$ un \emph{monomi} de grau $m$ i coeficient $1$. Llavors si $n>1$
% \begin{eqnarray*}
%  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{p(x)}{||x||^k}=\left\{\begin{array}{ccc}
%                                                    0&\mbox{si}& m>k\\
% \nexists&\mbox{si}& m\leq k
%                                                   \end{array}\right.
% \end{eqnarray*}

\begin{prop}
  Donat $p:\R^{n}\longrightarrow\R$; $x\mapsto p(x)$ un
  monomi\footnotemark de grau $m$ i 
  coeficient $1$. Llavors, si $n > 1$ 
  \begin{displaymath}\renewcommand{\arraystretch}{1.55}
    \limc\limits_{x\to 0}\dfrac{p(x)}{\| x\|^{k}} = \begin{cases}%{rl}
       0, & \mathrm{ si }\ m > k,\\
       \nexists, & \mathrm{ si }\ m \le k.
    \end{cases}
  \end{displaymath}
\end{prop}

\footnotetext{\'{E}s a dir $p(x)$ \'{e}s una funci\'{o} de la forma,
    $p(x) = \alpha x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}\cdots
    x_{n}^{m_{n}}$,
  on $\alpha\in\R$ i els exponents $m_{1}, m_{2},\dots,m_{n}$ s\'{o}n enters no
  negatius amb $m_{1}+ m_{2} + \dots + m_{n} = m$. 
}

% PROVA: Com $|x_j|\leq ||x||, \forall j$ tenim que  $\frac{|p(x)|}{||x||^k}\leq
% ||x||^{m-k}\leq \delta^{m-k}$. Doncs si $m>k$ ja ext\`a. 
% Si $m<k$ prenem la recta $\sigma(t)=t(1,\dots,1)$ i clarament
% $\limc\limits_{t\to 0}\dfrac{p(\sigma(t))}{\|\sigma(t)\|^k}= 
% \lim_{t\rightarrow 0} t^{m} |t|^{-k}/n^{k/2} \quad \nexists$.
% Si $m=k$  Per $\sigma(t)=t(1,\dots,1)$ tenim $\lim_{t\rightarrow
% 0}\frac{p(\sigma(t))}{||\sigma(t)||^k}$ nom\'es existeix si $k$ \'es parell, 
% i en aquest cas
% val $ 1/n^{k/2}$. En canvi per $\bar{\sigma}(t)=t(1,0\dots, 0)$
% s'obt\'e:
% $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{p(\bar{\sigma}(t))}{||\bar{\sigma}(t)||^k}=0$ { o
% b\'e } no existeix, per 
% tant, el l{\'\i}mit NO existeix.

\begin{proof}\let\qed\relax
  Com $|x_j|\leq \| x \|$, $\forall\, j=1,\dots,n$ tenim que
  $\dfrac{|p(x)|}{\| x\|^k}\leq \| x \|^{m-k}\leq\delta^{m-k}$. Doncs si $m>k$
  ja est\`a. D'altra banda:
\begin{itemize}
\item Si $m<k$ prenem la recta $\sigma(t)=t(1,\dots,1)$. Clarament,
  \begin{displaymath}
    \limc\limits_{t\to 0}\dfrac{p(\sigma(t))}{\|\sigma(t)\|^k}=
    \limc\limits_{t\to 0}\dfrac{1}{n^{k/2}}t^{m} |t|^{-k}
  \end{displaymath}
  i aquest \'{u}ltim l\'{\i}mit no existeix.
\item Si $m=k:$
  \begin{itemize}
  \item Per $\sigma(t)=t(1,\dots,1)$ tenim
    $\limc\limits_{t\to 0}\dfrac{p(\sigma(t))}{\|\sigma(t)\|^k}$
       nom\'es existeix si $k$ \'es parell, 
      i en aquest cas val $1/n^{k/2}$. 
    \item En canvi, per $\bar{\sigma}(t)=t(1,0,\dots, 0)$ 
      s'obt\'e: $\limc\limits_{t\rightarrow 0}
      \dfrac{p(\bar{\sigma}(t))}{||\bar{\sigma}(t)||^k}=0$ o b\'{e} no existeix. 
    \end{itemize}
    Per tant, en aquest cas, el l\'{\i}mit tampoc no existeix.\hfill\QED
  \end{itemize}
\end{proof}
% {\bf Definici\'o:} (Continu\"\i tat)
% $f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R^m$, funci\'o vectorial, $f=(f_1,\dots,f_m)$,
% $\varOmega$ obert i $a\in\varOmega$. 
% \begin{enumerate}
%  \item $$ f \mbox{ cont\'\i nua a } a \Longleftrightarrow \lim_{x\rightarrow
%      a}f(x)=f(a).$$ 
% \item  $$ f \mbox{ cont\'\i nua a } \varOmega \Longleftrightarrow f \mbox{ cont\'\i
%     nua  } \forall x\in \varOmega.$$ 
% \end{enumerate}

\begin{definition}[Continu\"{\i}tat]
Sigui $f = \left( f_{1}, f_{2},\dots,f_{m} \right):
\varOmega\subseteq\R^{n}\longrightarrow\R^{m}$, amb $\varOmega$ obert i
$a\in\varOmega$. Tenim:
\begin{enumerate}[(1)]
  \item $f$ cont\'{\i}nua en $x=a\Longleftrightarrow\limc\limits_{x\to a}f(x) =
    f(a)$.
  \item $f$ cont\'{\i}nua en $\varOmega\Longleftrightarrow f$ \'{e}s
    cont\'{\i}nua per a cada $x\in\varOmega$. 
\end{enumerate}
\end{definition}
% {\bf Criteris de continu\"\i tat:}
% Amb la suma, producte i composici\'o de funcions cont{\'\i}nues s'obtenen
% funcions cont{\'\i}nues. 

\noindent
\textbf{Criteris de continu\"{\i}tat.} Amb la suma, el producte y la
composici\'{o} de funcions cont\'{\i}nues s'obtenen funcions cont\'{\i}nues. 

% {\bf Propietats de les funcions cont{\'\i}nues:}
% \begin{enumerate}
%  \item $f:\R^n\rightarrow \R^m$ amb ${\mathcal D}(f)=\R^n$ i $f$ cont{\'\i}nua a tot $\R^n$. Llavors l'anti-imatge d'un obert de $\R^m$ \'es un obert
% de $\R^n$ i
% l'anti-imatge d'un tancat de $\R^m$ \'es un
% tancat de $\R^n$.
% \item $f:\R^n\rightarrow \R^m$  amb $f$ cont{\'\i}nua. Llavors la imatge d'un
%   compacte de $\R^n$ \'es un compacte de $\R^m$. 
% \end{enumerate}

%\subsubsection*{Propietats de les funcions cont\'{\i}nues}
\begin{prop}[Propietats de les funcions cont\'{\i}nues]
  \label{prop:propInvfCont}\leavevmode
\begin{enumerate}[(i)]
 \item\label{item:propInvfCont} $f:\R^n\longrightarrow \R^m$ amb $\Dom{f}=\R^n$
   i $f$ cont{\'\i}nua a tot $\R^n$. Llavors l'anti-imatge d'un obert de $\R^m$
   \'es un obert de $\R^n$ i l'anti-imatge d'un tancat de $\R^m$ \'es un tancat
   de $\R^n$.  
 \item $f:\R^n\longrightarrow \R^m$  amb $f$ cont{\'\i}nua. Llavors la imatge
   d'un compacte de $\R^n$ \'es un compacte de $\R^m$. 
\end{enumerate}
\end{prop}

%{\bf Exemple $1$:} El conjunt $A=\{x\in\R^n: 1<||x||^3<2\}$ \'es obert. Si
% considerem la funci\'o 
% $f(x)=||x||^3$ llavors $A$ \'es l'anti-imatge
% de $(1,2)$ que \'es un obert de $\R$.

%{\bf Exemple $2$:}
% $f:\R\rightarrow \R$; $f(x)=E(x)$ funci\'o part entera d'$x$. Llavors si triem
% $\varOmega=\{1\}$ resulta 
% que $f^{-1}(\varOmega)=[1,2)$ NO \'es tancat.

% {\bf Exemple $3$:}
% \begin{eqnarray}
%  f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
%       x&,x<1\\
%         2&, x\geq 1,     \end{array}
% \right.
% \end{eqnarray}
% llavors $f([0,2])=[0,1)\cup \{2\}$ NO \'es tancat, i per tant tampoc compacte.
% \vspace{0.5cm}
% NOTA: La propietat $1$ justifica el que v\`arem fer per resoldre l'Exercici $1$.

\begin{exmp}
El conjunt $A=\left\{x\in\R^n: 1<||x||^3<2\right\}$ \'es obert. En efecte, si
considerem la funci\'o $f(x)=||x||^3$ llavors $A$ \'es l'anti-imatge de $(1,2)$
que \'es un obert de $\R$. 
\end{exmp}

\begin{exmp}
$f:\R\longrightarrow \R$; $f(x)=E(x)$ funci\'o part entera de $x$ que, recordem,
es definex com
\begin{displaymath}
  E(x) := \sup\left\{ z\in\Z: z \le x \right\}.
\end{displaymath}
Llavors si triem $\varOmega=\{1\}$ resulta que $f^{-1}(\varOmega)=[1,2)$ no \'es
tancat i, per tant, $E(x)$ no \'{e}s cont\'{\i}nua en $\R$.
\end{exmp}

\begin{exmp}
 La funci\'{o} 
  \begin{displaymath}
    f(x) = \begin{cases} x, & x< 1\\
      2, & x\ge 1
    \end{cases}
  \end{displaymath}
  no \'{e}s cont\'{\i}nua en $\R$, ja que $f([0,2])=[0,1)\cup\{2\}$ no \'{e}s
  tancat i, per tant, tampoc no \'{e}s compacte.
\end{exmp}

\begin{rem}
La Proposici\'{o}~\ref{prop:propInvfCont}\emph{(\ref{item:propInvfCont})}
justifica el que v\`arem fer per resoldre l'Exemple~\ref{exmp:OpenAndClosedSets}. 
\end{rem}
% \vspace{\baselineskip}
% \noindent
%{\bf A Problemes fer l'exercici $2$:}
% \noindent
% Doneu el domini de definci\'o de les seg\"uents funcions.
% \begin{enumerate}[(a)]
% \item $f(x,y)=\dfrac{\sqrt{9-x^2-y^2}}{x^2+y^2-4}$.

% ${\mathcal D}(f)={\mathcal B}_3^2(0,0)\setminus\partial{\mathcal B}_2^2(0,0)$.
% \item $f(x,y)=\sqrt{16-4x^2-y^2}$.

% ${\mathcal D}(f)$ \'es la clausura de l'el.lipse $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}\leq 1$.
% \item $f(x,y)=(\ln(xy),\sqrt{4-x^2-y^2})$.

% ${\mathcal D}(f)=\bar{\mathcal B}_2^2(0,0)\cap \left(\{(x,y): x>0, y>0\}\cup\{(x,y): x<0, y<0\}\right)$.
% \item $f(x,y)=\arcsin \left(\dfrac{y}{x}\right)$.

% ${\mathcal D}(f)=\{(x,y): -1\leq \dfrac{y}{x}\leq 1\}$.
% \item $f(x,y)=\arctan \left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)$.

% ${\mathcal D}(f)=\R^2\setminus \{(0,0)\}$.
% \item $f(x,y)=\sqrt{y-xy-1}$. (Indicaci\'o: Determineu el conjunt $y-xy-1=0$.)

% ${\mathcal D}(f)=\{(x,y): x<1, y\geq \frac{1}{1-x}\}\cup \{(x,y): x>1, y\leq \frac{1}{1-x}\}$.
% \item $f(x,y,z)=\dfrac{x}{\sqrt{9-x^2-y^2-z^2}}$.

% ${\mathcal D}(f)={\mathcal B}_3^3(0,0,0)$.
% \end{enumerate}

\begin{ex}[Exercici 2 de la co\lgem ecci\'{o}]
Doneu el domini de definci\'o de les seg\"uents funcions:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f(x,y)=\dfrac{\sqrt{9-x^2-y^2}}{x^2+y^2-4}$.
\begin{sol}
  $\Dom{f}=\ball{3}{2}{0,0}\setminus\partial\ball{2}{2}{0,0}$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=\sqrt{16-4x^2-y^2}$.
\begin{sol}
  $\Dom{f}$ \'es la clausura de l'e\lgem ipse $\dfrac{x^2}{4}
  +\dfrac{y^2}{16}\leq 1$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=\left(\ln(xy),\sqrt{4-x^2-y^2}\right)$.
\begin{sol}
  $\Dom{f}=\clball{2}{2}{0,0}\cap \left(\left\{(x,y): x>0, y>0\right\}
    \cup\left\{(x,y): x<0, y<0\right\}\right)$. 
\end{sol}
\item $f(x,y)=\arcsin \left(\dfrac{y}{x}\right)$.
\begin{sol}
$\Dom{f}=\left\{(x,y): -1\leq \dfrac{y}{x}\leq 1\right\}$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=\arctan \left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)$.
\begin{sol}
$\Dom{f}=\R^2\setminus \{(0,0)\}$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=\sqrt{y-xy-1}$. \emph{Indicaci\'o}: Determineu el conjunt $y-xy-1=0$.
  \begin{sol}
    $\Dom{f}=\left\{(x,y): x<1, y\geq \dfrac{1}{1-x}\right\}\bigcup
    \left\{(x,y): x>1, y\leq \dfrac{1}{1-x}\right\}$.
  \end{sol}
\item $f(x,y,z)=\dfrac{x}{\sqrt{9-x^2-y^2-z^2}}$.
  \begin{sol}
    $\Dom{f}=\ball{3}{3}{0,0}$.
  \end{sol}
\end{enumerate}
\end{ex}
% {\bf A Problemes fer l'exercici $3$:}
% Trobeu les corbes de nivell de les seg\"uents funcions i digueu quina \'es la
% seva imatge. 
% \begin{enumerate}
% \item $f(x,y)=x^2+y^2$.
% Les corbes de nivell s\'on circumfer\`encies i ${\mathcal R}(f)=[0,\infty)$.
% \item $f(x,y)=4x^2+y^2$.
% Les corbes de nivell s\'on el.lipses i ${\mathcal R}(f)=[0,\infty)$.
% \item $f(x,y)=x^2-y$.
% Les corbes de nivell s\'on par\`aboles i ${\mathcal R}(f)=\R$.
% \item $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$, definida per a $(x,y)\neq (0,0)$.
% (Indicaci\'o: A\"{\i}lleu $y$ en termes de $x$ sobre cada corba de nivell.) 
% Despres d'a\"\i llar $y$ (resoldre una equaci\'o de segon grau) les corbes de
% nivell surten rectes. 
% Per veure la imatge, fixem-nos en que $(x-y)^2\geq 0\Leftrightarrow
% x^2+y^2\geq 2xy\Leftrightarrow f(x,y)\leq 1/2$. D'altra banda, 
% $(x+y)^2\geq 0\Leftrightarrow x^2+y^2\geq -2xy\Leftrightarrow f(x,y)\geq -1/2$
% per tant
% ${\mathcal R}(f)=[-1/2,1/2]$.
% \item $f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$, definida per a $(x,y)\neq (0,0)$.
% (Indicaci\'o: Feu com~(d).) 
% Les corbes de nivell s\'on les rectes $y=\pm\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}x$, i per
% tant, ${\mathcal R}(f)=[-1,1]$. 
% \item $f(x,y)=(x^2+y^2){\rm e}^{-x^2-y^2}$.
% (Indicaci\'o: Relacioneu els valors de $f$ amb els de la funci\'o $h(z)=z{\rm
% e}^{-z}$.) 
% De la gr\`afica d'$h$ es dedueix que les corbes de nivell s\'on
% circumfer\`encies i ${\mathcal R}(f)=(-\infty,e^{-1}]$ ja que $h$ t\'e un
% \`unic m\`axim 
% absolut $z=1$.
% \end{enumerate}

\begin{ex}[Exercici 3 de la co\lgem ecci\'{o}]
  Trobeu les corbes de nivell de les seg\"uents funcions i digueu quina \'es la
  seva imatge.
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item $f(x,y)=x^2+y^2$.
    \begin{sol}
      Les corbes de nivell s\'on circumfer\`encies i $\Ran{f}=[0,\infty)$.
    \end{sol}
  \item $f(x,y)=4x^2+y^2$.
    \begin{sol}
      Les corbes de nivell s\'on e\lgem ipses i $\Ran{f}=[0,\infty)$.
    \end{sol}
  \item $f(x,y)=x^2-y$.
    \begin{sol}
      Les corbes de nivell s\'on par\`aboles i $\Ran{f}=\R$.
    \end{sol}
  \item $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$, definida per a $(x,y)\neq (0,0)$.
    \emph{Indicaci\'o:} A\"{\i}lleu $y$ en termes de $x$ sobre cada corba de
    nivell.\label{ex:levelAndRangf} 
    \begin{sol}
      Despres d'a\"\i llar $y$ (resolent una equaci\'o de segon grau) les corbes de
      nivell surten rectes. Per a veure la imatge, fixem-nos en que $(x-y)^2\geq
      0\Longleftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy\Longleftrightarrow f(x,y)\leq 1/2$.
      D'altra banda, $(x+y)^2\geq 0\Longleftrightarrow x^2+y^2
      \geq -2xy\Longleftrightarrow f(x,y)\geq -1/2$. Per tant $\Ran{f}=[-1/2,1/2]$. 
    \end{sol}
  \item $f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$, definida per a $(x,y)\neq (0,0)$.
    \emph{Indicaci\'o:} Feu com a l'apartat~\emph{(\ref{ex:levelAndRangf})}.
    \begin{sol}
      Les corbes de nivell s\'on les rectes $y=\pm\sqrt{\dfrac{1-k}{1+k}}x$, i per
      tant, $\Ran{f}=[-1,1]$. 
    \end{sol}
  \item $f(x,y)=\left(x^2+y^2\right)\rme^{-x^2-y^2}$.
    \emph{Indicaci\'{o}:} Relacioneu els valors de $f$ amb els de la funci\'o
    $h(z)=z\rme^{-z}$. 
    \begin{sol}
      De la gr\`afica de $h$ es dedueix que les corbes de nivell s\'on
      circumfer\`encies i $\Ran{f}=\left(-\infty,\rme^{-1}\right]$, ja que $h$
      t\'e un \`unic m\`axim absolut en $z=1$.
    \end{sol}
\end{enumerate}
\end{ex}
% {\bf A Problemes fer l'exercici $8$ :}
%  Per a les seg\"uents funcions, trobeu valors per a $\delta(\epsilon)$ (``els
%  millors que pogueu'') tals que 
% si
% $\sqrt{x^2+y^2}\leq\delta(\epsilon)$
%  llavors $|f(x,y)-f(0,0)|\leq\epsilon$. (Indicaci\'o: Recordeu que
%  $|x|\leq\sqrt{x^2+y^2}$ i 
% $|y|\leq\sqrt{x^2+y^2}$ .)
% \begin{enumerate}
% \item $f(x,y)=\sqrt[3]{xy}$.
% $\delta(\epsilon)=\epsilon^{3/2}$.
% \item $f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq (0,0)$ i $f(0,0)=0$.
% $\delta(\epsilon)=\epsilon$.
% \item $f(x,y)=\dfrac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}$.
% $\delta(\epsilon)=\sqrt{\epsilon/2}$.
% \end{enumerate}

\begin{ex}[Exercici 8 de la co\lgem ecci\'{o}]
Per a les seg\"uents funcions, trobeu valors per a $\delta(\epsilon)$ (``els
millors que pogueu'') tals que si $\sqrt{x^{2}+ y^{2}} \le\delta(\epsilon)$,
llavors $\left| f(x,y) - f(0,0) \right|\le\epsilon$. \emph{Indicaci\'{o}:}
Recordeu que $| x | \le \sqrt{x^{2}+y^{2}}$. 
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f(x,y)=\sqrt[3]{xy}$.
  \begin{sol}
    $\delta(\epsilon)=\epsilon^{3/2}$.
  \end{sol}
\item $f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq (0,0)$ i $f(0,0)=0$.
  \begin{sol}
    $\delta(\epsilon)=\epsilon$.
  \end{sol}
\item $f(x,y)=\dfrac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}$.
  \begin{sol}
    $\delta(\epsilon)=\sqrt{\epsilon/2}$.
  \end{sol}
\end{enumerate}
\end{ex}
% {\bf A Teoria fer l'exercici $11$:}
%  Calculeu (si existeixen) els seg\"uents l\'{\i}mits.
% \begin{enumerate}
% \item $\lim_{(x,y)\to (0,1)}\dfrac{\arccos(x/y)}{1+xy}$.
% $\pi/2$.
% \item $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}$.
% No existeix (per rectes).
% \item $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$.
% $0$.
% \item $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$.
% No existeix (per rectes).
% \item $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^2y^2}{x^4+y^4}$.
% No existeix (per rectes).
% \item $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$.
% No existeix (per rectes).
% \item $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$.
% $0$.
% \item $\lim_{(x,y)\to (0,0)} xy \ln(x^2+y^2)$. (Indicaci\'o: Proveu primer que
% $\lim_{z\to 0^+}z^a\ln(z)=0$ si $a>0$ |per molt petit que sigui| 
%  i feu una identificaci\'o adequada de $z$ i una bona tria del valor de $a$.)
% $0$.
% \item $\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\dfrac{xyz}{x^2+y^2+z^2}$.
% $0$.
% \item $\lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$, definida si
% $x,y>0$ i $x\neq y$. 
% $0$.
% \item $\lim_{(x,y)\to (1,1)}\tan\left(\dfrac{\pi}{x^2+y^2}\right)$.
% No existeix.
% \end{enumerate}

\begin{ex}[Exercici 11 de la co\lgem ecci\'{o}]
 Calculeu (si existeixen) els seg\"uents l\'{\i}mits.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\limc\limits_{(0,1)}\dfrac{\arccos(x/y)}{1+xy}$.
  \begin{sol}
    $\pi/2$.
  \end{sol}
\item $\limc\limits_{(0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}$.
  \begin{sol}
    No existeix (es comprova per rectes).
  \end{sol}
\item $\limc\limits_{(0,0)}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$.
  \begin{sol}
    $0$.
  \end{sol}
\item $\limc\limits_{(0,0)}\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$.
  \begin{sol}
    No existeix (es comprova per rectes).
  \end{sol}
\item $\limc\limits_{(0,0)}\dfrac{x^2y^2}{x^4+y^4}$.
  \begin{sol}
    No existeix (es comprova per rectes).
  \end{sol}
\item $\limc\limits_{(0,0)}\dfrac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$.
  \begin{sol}
    No existeix (es comprova per rectes).
  \end{sol}
\item $\limc\limits_{(0,0)}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$.
  \begin{sol}
    $0$.
  \end{sol}
\item $\limc\limits_{(0,0)} xy \ln(x^2+y^2)$. \emph{Indicaci\'o:} Proveu primer
  que $\limc\limits_{z\to 0^+}z^a\ln(z)=0$, 
%  \begin{displaymath}
%    \limc\limits_{z\to 0^+}z^a\ln(z)=0,
%  \end{displaymath}
  si $a>0$ |per molt petit que sigui|i feu una identificaci\'o adequada de $z$ i
  una bona tria del valor de $a$. 
 \begin{sol}
   $0$.
 \end{sol}
\item $\limc\limits_{(0,0,0)}\dfrac{xyz}{x^2+y^2+z^2}$.
  \begin{sol}
    $0$.
  \end{sol}
\item $\limc\limits_{(0,0)} \dfrac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$, definida si
  $x,y>0$ i $x\neq y$. 
  \begin{sol}
    $0$.
  \end{sol}
\item $\limc\limits_{(1,1)}\tan\left(\dfrac{\pi}{x^2+y^2}\right)$.
  \begin{sol}
    No existeix.
  \end{sol}
\end{enumerate}
\end{ex}

%\noindent
%{\bf A Problemes fer els exercicis $13$ i $14$:}
%
%\vspace{0.5cm}
%
%\noindent
%{\bf EX 13.-} Sigui $f(x,y)=\dfrac{\cos(xy)-1}{x^2y^2}$ si $xy\neq 0$ i $f(x,y)=a$ si $xy=0$.
%\begin{enumerate}
%\item Per a quin valor de $a\in\R$ \'es $f$ cont\'{\i}nua en $(0,0)$?
%
%$a=1/2$. Per Taylor en una variable.
%\item Per aquest valor de $a$ discutiu la continu\"{\i}tat de $f$ en $\R^2$.
%
%Cont{\'\i}nua a tot $\R^2$.
%\end{enumerate}

\paragraph{A problemes, fer els exercicis $13$ i $14$ de la co\lgem ecció:}
\begin{ex}[Problema $13$ de la co\lgem ecci\'{o}]
  Sigui $f(x,y)=\dfrac{\cos(xy) - 1}{x^{2}y^{2}}$, si $xy\ne 0$ i $f(x,y)=a$ si
  $xy = 0$.
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item Per a quin valor de $a\in\R$ \'{e}s $f$ cont\'{\i}nua en $(0,0)$?
    \begin{sol}
      $a=1/2$. Per Taylor d'una variable.
    \end{sol}
  \item Per a aquest valor de $a$ discutiu la continu\"{\i}tat de $f$ en
    $\R^{2}$.
    \begin{sol}
      Cont\'{\i}nua a tot $\R^{2}$.
    \end{sol}
  \end{enumerate}
\end{ex}

%\noindent
%{\bf EX 14.-} 
\begin{ex}[Problema $14$ de la co\lgem ecció]
Per a les seg\"uents funcions definides a trossos discutiu la
seva continu\"{\i}tat en $\R^2$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f(x,y)=\dfrac{\sin(xy)}{xy}$ si $xy\neq 0$ i $f(x,y)=1$ si $xy=0$.
\begin{sol}
Cont{\'\i}nua a tot $\R^2$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=\max\{x,y\}$ si $x>0$ i $f(x,y)=0$ si $x\leq 0$.
\begin{sol}
Cont{\'\i}nua a  $\R^2\setminus \{(0,y): y\geq 0\}$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=x$ si $|x|\leq |y|$ i $f(x,y)=y$ si $|x|>|y|$.
\begin{sol}
Cont{\'\i}nua a  $\R^2\setminus \{(x,-x): x\in\R\}$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=x$ si $x^2+y^2\leq 1$ i $f(x,y)=y$ si $x^2+y^2> 1$.
\begin{sol}
\'Es discont{\'\i}nua a $\partial {\mathcal B}^2_1(0,0)\setminus
\{(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2} ),(-1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2} )\}$.
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{ex}

%\newpage
\section{Derivabilitat a $\R^{n}$ ($2$h T, $2$h P)}
%\noindent{\bf{DERIVABILITAT A  $\R^n$: $2$ hores a TEORIA i $2$ hores a PROBLEMES} }
%\vspace{0.5cm}
\noindent Sigui $f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R$ una funci\'o escalar,
i sigui $a\in\varOmega$.

%{\bf Notaci\'o:} (Derivada parcial)
\begin{notation}[Derivada parcial]
\noindent
\begin{itemize}
	\item Newton-Lagrange (1671): $f_{x_j}(a)$
	\item Leibniz (1684): $\dfrac{\partial f}%
		{\partial x_j}(a)\equiv\partial_{x_j}f(a)\equiv\partial_{j}f(a)$ 
	\item Arbogast (1800): $D_{x_j} f(a)\equiv D_j f(a)$
\end{itemize}
\end{notation}

%$$\frac{\partial}{\partial
%x_j}f(a)\equiv\partial_{x_j}f(a)\equiv\partial_{j}f(a)\equiv f_{x_j}(a)\equiv
%D_{x_j} f(a)\equiv D_j f(a).$$

%{\bf Definici\'o:} (Derivada parcial)
\begin{definition}[Derivada parcial]
\noindent
Sigui $\tilde{f}:{\mathcal B}^1_{\epsilon}(a_j)\subset \R\rightarrow \R;
x_j\rightarrow \tilde{f}(x_j):= f(a_1,\dots,x_j,\dots, a_n)$. Definim la
derivada parcial de $f$ respecte $x_j$ en el punt $a$ com:
\begin{displaymath}
\partial_{j}f(a):=\tilde{f}'(a_j),
\end{displaymath}
on $\tilde{f}'(a_j)$ \'es la derivada d'una funci\'o real d'una variable
(vegi's C\`alcul I).
\end{definition}

\begin{rem}
Aquesta definici\'o \'es equivalent a: 
\begin{displaymath}
	\partial_{j}f(a):=
	\limc_{t\rightarrow 0}
		\frac{f(a_1,\dots,a_j+t,\dots, a_n)-f(a)}{t}.
\end{displaymath}
\end{rem}

%OBSERVACIO: Aquesta definici\'o \'es equivalent a:
%$$\partial_{j}f(a):=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(a_1,\dots,a_j+t,\dots,
%a_n)-f(a)}{t}.$$

%{\bf Exemple:}
\begin{exmp}
$f(x,y)=\dfrac{y-\sin(y)}{x^2+y^2},\quad f(0,0)=0$. Llavors:
\begin{enumerate}
 \item $\partial_1 f(0,0)=\lim_{t\rightarrow
	 0}\dfrac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\limc_{t\rightarrow 0}\dfrac{0}{t^3}=0$.
 \item $\partial_2f(0,0)=\limc_{t\rightarrow 0}%
	\dfrac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=\limc_{t\rightarrow 0}\dfrac{t-\sin t}{t^3}=
	\lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{t^3/6}{t^3}=\dfrac{1}{6}$.
\end{enumerate}
\end{exmp}

\begin{ex}
Calculeu les derivades parcials de $f(x,y)=x\rme^{y\sin{x}}$ en el punt
$\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)$.
\end{ex}
%{\bf Exercici:} Calculeu les derivades parcials de $f(x,y)=xe^{y\sin{x}}$ en
%el punt $(\frac{\pi}{2},0)$.
%

\begin{sol}
$\partial_xf(\pi/2,0)=1$, $\partial_yf(\pi/2,0)=\pi/2$.
\end{sol}
%SOLUCIO: $\partial_xf(\pi/2,0)=1$, $\partial_yf(\pi/2,0)=\pi/2$.
%{\bf Nota:}

\begin{rem}
Sigui $f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R^m$, funci\'o vectorial,
$f=(f_1,\dots,f_m)$, $\varOmega$ obert i $a\in\varOmega$. La seva derivada parcial
respecte $x_j$ en el punt $a$ \'es el seg\"uent  vector columna
\begin{displaymath}
\partial_{j}f(a):=(\partial_{j}f_1(a),\dots \partial_{j}f_m(a))^\top.
\end{displaymath}
\end{rem}

%{\bf Cas particular:} (Corba a $\R^n$)
\begin{cp}[Corba a $\R^{n}$]
És una aplicació, $t\in\sigma:(a,b)\subset \R\mapsto
\sigma(t)=(\sigma_1(t),\dots,\sigma_n(t))\in\R^{n}$. Aleshores, $\sigma'(t)$. 
És el vector tangent a la corba.
\end{cp}

%{\bf Definici\'o:} (Derivada d'una funci\'o escalar)
\begin{definition}[Derivada d'una funció escalar]
Sigui $f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R$, funci\'o escalar, amb $\varOmega$
obert i sigui $a\in\varOmega$. La seva derivada
\begin{equation}
\nabla_x f(a)\equiv\nabla f(a)\equiv 
D_x f(a)\equiv D f(a):=(\partial_1f(a),\dots,\partial_nf(a)),
\end{equation}
s'anomena {\it gradient} de $f$ en el punt $a$, i \'es un vector fila.
\end{definition}

%{\bf Definici\'o:} (Punt cr{\'\i}tic)
\begin{definition}
Si $a$ satisf\`a $\nabla f(a)=0$ direm que \'es un {\it punt cr{\'\i}tic} de $f$.
\end{definition}

%{\bf Definici\'o:} (Derivada d'una funci\'o vectorial)
\begin{definition}[Derivada d'una funció vectorial]
Sigui $f=(f_{1},\dots,f_{m}):\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R^m$, funci\'o
vectorial, $f=(f_1,\dots,f_m)$, $\varOmega$ obert i $a\in\varOmega$. Aleshores
la matriu,
\begin{displaymath}
	J_{f}(a)\equiv Df(a):= 
	\left(\nabla f_1(a),\dots,\nabla f_m(a)\right)^\top,
\end{displaymath}
s'anomena {\it matriu jacobiana} de $f$ en el punt $a$, i \'es un matriu amb
$m$ files i $n$ columnes. M\'es precisament, a la $j$-\`essima fila hi ha 
$\nabla f_j(a)$.
\end{definition}

%{\bf Exercici:} Calculeu la matriu jacobiana de
%$f(x,y)=(e^{x+y}+y, xy^2, \cos(xy^2))$.
\begin{ex}
Calculeu la matriu jacobiana de $f(x,y)=(e^{x+y}+y, xy^2, \cos(xy^2))$.
\end{ex}
\begin{sol}
$\displaystyle J_{f}(x,y) = \Biggl(\begin{matrix}
		\rme^{x+y} & \rme^{x+y}+1\\
		y^{2} & 2xy\\
		-\sin\left(xy^{2}\right) & -2y\sin\left(xy^{2}\right)
	\end{matrix}\Biggr)$.
\end{sol}

%SOLUCIO: \begin{eqnarray*}Jf(x,y)=\left(\begin{array}{cc}
%            e^{x+y}&e^{x+y}+1\\
%              y^2&2xy\\
%              -\sin(xy^2)&  -2y\sin(xy^2)
%                                           \end{array}\right)
%         \end{eqnarray*}
%

%{\bf Comentari:} 
\begin{rem}
A $\R$ si la funció $f$ és contínua en $x_{0}$, i.e., si existeix $f'(x_0)$,
llavors $f$ és contínuaen $x_{0}$. En canvi, en dimensi\'o mes gran que $1$,
l'exist\`encia de totes les derivades parcials en un  punt \textbf{no} implica
que la funci\'o sigui cont{\'\i}nua en aquest punt.
\end{rem}

%{\bf Exemple:}
\begin{exmp}
$f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\not= (0,0)$, i $f(0,0)=0$. Clarament
$\partial_1 f(0,0)=\partial_2 f(0,0)=0$, però $f$ no \'es cont{\'\i}nua a
$(0,0)$. (Useu dues rectes de diferent pendent que passin per l'origen).
\end{exmp} 

%{\bf L'operador $\nabla$}
\begin{definition}[L'operador $\nabla$]
A $\R^n$, l'operador $\nabla$ es defineix de la seg\"uent forma:
\begin{displaymath}
\nabla=(\partial_1,\dots,\partial_n).
\end{displaymath}
\end{definition}
\noindent
Aplicat a una funcio escalar $f:\varOmega\subset\R^n\rightarrow \R$ s'obt\'e el
seu gradient. Per\`o tamb\'es es pot aplicar a funcions vectorials
$f:\varOmega\subset\R^n\rightarrow \R^n$, de la seg\"uent forma:
\begin{displaymath}
\langle\nabla, f(x)\rangle=\sum_{j=1}^n\partial_j f_j(x),
\end{displaymath}
obtenint l'anomenada \emph{diverg\`encia} de $f$. (Es pot entendre com el 
producte escalar de $\nabla$ amb $f$).
%\newpage

%{\bf A Problemes fer l'exercici $20$.}
\paragraph{A problemes, fer l'exercici $20$ de la co\lgem ecció:}
\begin{ex}[Exercici $20$ de la co\lgem ecció] 
Calculeu per derivaci\'o directa les derivades parcials primeres de les
seg\"uents funcions.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f(x,y)=x^{y^x}$.
\begin{sol}
	$\partial_{x}f(x,y)=x^{y^x}y^x\left(\ln(x)\ln(y)+\dfrac{1}{x}\right)$,
	\quad
	$\partial_{y}f(x,y)=x^{y^x}y^x xy^{x-1}\ln(x)$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=x^{xy}$.
\begin{sol}
$\partial_xf(x,y)=x^{yx}\left(y\ln(x)+y\right)$,\quad
$\partial_yf(x,y)=x^{yx}x\ln(x)$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=(x^2+y^2)^{x}$.
\begin{sol}
$\partial_xf(x,y)=(x^2+y^2)^{x}\left(\ln(x^2+y^2)+
	\dfrac{2x^2}{x^2+y^2}\right)$,\quad
$\partial_yf(x,y)=2xy(x^2+y^2)^{x-1}$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=xy\ln(x^2+y^2)$.
\begin{sol}
$\partial_xf(x,y)=y\ln(x^2+y^2)+\dfrac{2x^2y}{x^2+y^2}$,\quad
$\partial_yf(x,y)=x\ln(x^2+y^2)+\dfrac{2y^2x}{x^2+y^2}$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=\ln(\sqrt{x^2+y^2})$
\begin{sol}
$\partial_xf(x,y)=\dfrac{x}{x^2+y^2}$,\quad
$\partial_xf(x,y)=\dfrac{y}{x^2+y^2}$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$.
\begin{sol}
$\partial_xf(x,y)=-\dfrac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}$,\quad
$\partial_yf(x,y)=-\dfrac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$.
\begin{sol}
$\partial_xf(x,y)=\dfrac{y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}$,\quad
$\partial_yf(x,y)=\dfrac{x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$.
\begin{sol}
$\partial_xf(x,y)=\dfrac{-4xy^2}{(x^2-y^2)^2}$,\quad
$\partial_xf(x,y)=\dfrac{4yx^2}{(x^2-y^2)^2}$.
\end{sol}
\item $f(x,y)=\dfrac{\cos x+{\rm e}^{xy}}{x^2+y^2}$.
\begin{solEq}
\begin{minipage}[t]{0,865\textwidth}
	\begin{flalign*}
	\!\!\!\!\!\!\!\!\!\partial_{x}f (x,y) &= {\dfrac {-\sin x +
			y{{\rm e}^{xy}}}{{x}^{2}+{y}^{2}}}-2x\,
			{\dfrac { \cos  x +
				{{\rm e}^{xy}}}%
				{\left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)^{2}}},
				    & & & &\hfill\\
	\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\partial_{y}f (x,y) &= 
			{\dfrac { \left( {x}^{3}+x{y}^{2}-2\,y \right) 
			{{\rm e}^{xy}}-2\,y\cos  x }%
			{ \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right) ^{2}}}.
				    & & & &\hfill
			\tag*{$\triangleright$}
	\end{flalign*}	
\end{minipage}
\end{solEq}
\item $f(x,y,z)={\rm e}^{x}\tan (y^2z)$.
\begin{solEq}
\begin{minipage}[t]{0,865\textwidth}
	\begin{flalign*}
	\!\!\!\!\!\!\!\!\!\partial_{x}f(x,y,z) &= \rme^{x}\tan\left(y^{2}z\right),
					       & & & &\hfill\\
        \!\!\!\!\!\!\!\!\!\partial_{y}f(x,y,z) &= 2yz\,\rme^{x}\left(
		1 + \tan^{2}\left(y^{2}z\right)\right),
				     & & & &\hfill\\
	\!\!\!\!\!\!\!\!\!\partial_{z}f(x,y,z) &= y^{2}\rme^{x}\left(
		1 + \tan^{2}\left(y^{2}z\right)\right).& & & &\hfill
			\tag*{$\triangleright$}
	\end{flalign*}
\end{minipage}
\end{solEq}
\item $f(x,y,z)=x\sinh\left(\dfrac{y}{z}\right)$.
\begin{sol}
	$\partial_{x}f(x,y,z) = 
	\sinh\left(\dfrac{y}{z}\right),\quad
	\partial_{y}f(x,y,z) =
	\dfrac{x}{z}\cosh\left(\dfrac{y}{z}\right),\quad
	\partial_{z}f(x,y,z) =
	-\dfrac{xy}{z^{2}}\cosh\left(\dfrac{y}{z}\right)$.
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{ex}

\paragraph{A problemes, fer els exercicis $16$, $21$ i $23$ de la 
co\lgem ecció:}
\begin{ex}[Exercici $16$ de la co\lgem ecció]
Aplicant la definici\'o calculeu (si existeixen) les derivades parcials
primeres de les seg\"uents funcions en el $(0,0)$.
\begin{enumerate}[(a)]
		\item $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ si 
			$(x,y)\neq (0,0)$ i $f(0,0)=0$.
			\vspace{0,5\baselineskip}
			\begin{sol}
				$\partial_xf(0,0)=\partial_yf(0,0)=0$.
			\end{sol} 
		\item $f(x,y)=x\ln(x^2+y^2)$ si $(x,y)\neq (0,0)$ i $f(0,0)=0$.
			\vspace{0,5\baselineskip}
			\begin{sol}
				No existeix $\partial_xf(0,0)$, 
				$\partial_yf(0,0)=0$.
			\end{sol}
		\item $f(x,y)=(x^2+y^2)^{x}$ si $(x,y)\neq (0,0)$ i $f(0,0)=1$.
			\vspace{0,5\baselineskip}
			\begin{sol}
				No existeix $\partial_xf(0,0)$, $\partial_yf(0,0)=0$.
			\end{sol}
\end{enumerate}
\end{ex}

%{\bf A Problemes fer l'exercici $21$.}
%\paragraph{A Problemes, fer l'exercici $21$ de la co\lgem ecció:}
\begin{ex}[Exercici $21$ de la co\lgem ecció]
 Calculeu les derivades parcials primeres de les seg\"uents funcions i doneu la
 seva matriu jacobiana.
 \begin{enumerate}[(a)]
	\item $f(x,y)=({\rm e}^{xy}+y,y^2x)$.
		\vspace{0,5\baselineskip}
		\begin{sol}
			$J_{f}(x,y) =
			\Biggl(\begin{matrix}
            			y\,\rme^{xy} & x\,\rme^{xy}+1\\
              			y^2 & 2xy
				\end{matrix}\Biggr)$. 
		\end{sol}
% \begin{eqnarray*}Jf(x,y)=\left(\begin{array}{cc}
%            ye^{xy}&xe^{xy}+1\\
%              y^2&2xy
%                                           \end{array}\right)
%         \end{eqnarray*}
	\item $f(x,y)=(\cos(x+2y),y{\rm e}^{x+y},\cosh(xy^2))$.
		\vspace{0,5\baselineskip}
		\begin{sol}
			$J_{f}(x,y) =
			\Biggl(\begin{matrix}
			  -\sin(x+2y) & -2\sin(x+2y)\\
            		  y\,\rme^{x+y} & (y+1)\,\rme^{x+y}\\
              		  y^2\sinh(xy^2) & 2xy\sinh(xy^2)
			\end{matrix}\Biggr)$.
		\end{sol}
%\begin{eqnarray*}Jf(x,y)=\left(\begin{array}{cc}
%  -\sin(x+2y)&  -2\sin(x+2y)  \\
%            ye^{x+y}&(y+1)e^{x+y}\\
%           y^2\sinh(xy^2)& 2xy\sinh(xy^2)
%               \end{array}\right)
%         \end{eqnarray*}
	\item $f(x,y,z)=(z\tan(x^2+y^2),xy\ln(z))$.
		\vspace{0,5\baselineskip}
		\begin{sol}
			$J_{f}(x,y,z) = 
			\Biggl(\begin{matrix}
			  2xz\sec(x^2+y^2) & 2yz\sec(x^2+y^2) & \tan(x^2+y^2)\\
                          y\ln(z) & x\ln(z) & \dfrac{xy}{z}
	  		\end{matrix}\Biggr)$.
		\end{sol}
%\begin{eqnarray*}Jf(x,y,z)=\left(\begin{array}{ccc}
%  2xz\sec(x^2+y^2)&   2yz\sec(x^2+y^2) &  \tan(x^2+y^2)\\
%            y\ln(z)&x\ln(z)&\frac{xy}{z}
%               \end{array}\right)
%         \end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{ex}

%{\bf A Problemes fer l'exercici $23$.}
%\paragraph{A Problemes, fer l'exercici $23$ de la co\lgem ecció:}

\begin{ex}[Exercci $23$ de la co\lgem ecció] 
D'acord amb la llei dels gasos perfectes tenim la relaci\'o $PV=kT$, on $P$
\'es la pressi\'o, $V$ el volum, $T$ la temperatura i $k$ una constant.
Demostreu que
\begin{displaymath}
\dfrac{\partial T}{\partial P}
\dfrac{\partial P}{\partial V}
\dfrac{\partial V}{\partial T}=-1,
\end{displaymath}
on $\dfrac{\partial T}{\partial P}$ vol dir que a\"{\i}llem $T$ com a funci\'o
de $(P,V)$ i derivem respecte de $P$. \'Idem per a les altres.
\end{ex}

\begin{sol}
Aïllant de l'equació $T$, $P$ i $V$ respecte de les altres dues variables i 
derivant les expressión corresponents respecte de $P$, $V$ i $T$ s'obté:
$\partial_PT=V/k$, $\partial_VP=-kT/V^2$  i $\partial_TV=k/P$, d'on resulta que
el producte d'aquestes tres derivades parcials satisfà
$\partial_PT\partial_VP\partial_TV=-KT/(VP)=-1$.
\end{sol}
%\newpage

%\noindent{\bf{FUNCIONS DE CLASSE   ${\mathcal C}^m$:  $1$ hora a TEORIA i $1$
%hora a PROBLEMES}}
%\vspace{0.5cm}
\section{Funcions de Classe $\mathcal{C}^{m}$ (1h T, 1h P)}
%{\bf OBSERVACIO: A classe NO ho explico usant permutacions. Ara, per escriure-ho
%de manera compacta m'ha semblat la millor opci\'o.}
%\vspace{1cm}
\noindent
Sigui $f:\varOmega\subset\R^n\rightarrow \R$.
Analogament com s'ha definit $\partial_{x_j}f(a)$ podem definir la derivada parcial
d'ordre $m$:
\begin{displaymath}
	\partial_{x_{\sigma(1)}\dots x_{\sigma(m)}}^m f(a),\quad \mbox{ on }
k\in\{1,\dots ,m\}\mapsto \sigma(k)\in\{1,\dots ,n\}\footnotemark{}
\end{displaymath}
on, \emph{per conveni}, s'entendrà que les derivades es fan per ordre de
proximitat a $f$. Així, per exemple,
\begin{displaymath}
	\partial^{2}_{yx}f =\partial_{y}\left(\partial_{x}f\right).  
\end{displaymath}
%\footnotetext{A classe no cal fer servir permutacions, però a l'hora
%d'escriure ens ha semblat la millor opció}
%
%{\bf Conveni:} S'entendra que les derivades es fan per ordre de proximitat a $f$.
%
%Aix{\'\i} $\partial_{yx}^2f=\partial_{y}(\partial_{x}f)$.

%{\bf Exercici:} 
\begin{ex}
Calculeu totes les derivades parcials de segon ordre de 
$f(x,y)= x^3+xy+y\sin(x)$.
\end{ex}
%Soluci\'o:
\begin{sol}
	$\partial^2_{x^2}f(x,y)=6x-y\sin x$,
	$\partial^2_{xy}f(x,y)=\partial^2_{yx}f(x,y)=1+\cos x$, 
	$\partial^2_{y^2}f(x,y)=0$.
\end{sol}

%{\bf Definici\'o:}
\begin{definition}
Direm que $f\in  {\mathcal C}^m(\varOmega)$ ($f$ \'es de classe 
${\mathcal C}^m(\varOmega)$) si per a qualsevol $\sigma:\{1,\dots,m\}\rightarrow
\{1,\dots,n\}$, la funció derivada parcial d'ordre $m$,
$\partial_{x_{\sigma(1)}\dots x_{\sigma(m)}}^m f$, és contínua a $\varOmega$.
En particular, si $f$ és contínua en $\varOmega$ escriurem 
$f\in\mathcal{C}^{0}(\varOmega)$.
%$$ f \quad\mbox{cont{\'\i}nua a}\quad \varOmega \Longleftrightarrow
%f\in  {\mathcal C}^0(\varOmega).$$
\end{definition}

%{\bf Teorema:} (de Schwarz)
\begin{teor}[Schwarz]
	$f\in\mathcal{C}^{2}(\varOmega)\Rightarrow 
	\partial^{2}_{x_{k}x_{j}}f =
		\partial^{2}_{x_{j}x_{k}}f$ per a tot $j,k\in\{1,\dots,n\}$.
	En general,
\begin{displaymath}
	f\in\mathcal{C}^{m}(\varOmega)\Longrightarrow
	\partial^{m}_{x_{\sigma(1)}\dots x_{\sigma(m)}}f =
	\partial^{m}_{x_{p(\sigma(1))}\dots x_{p(\sigma(m))}}f,
\end{displaymath}
per a tota permutació $p:\{1,\dots,n\}\rightarrow\{1,\dots,n\}$ i tota 
$\sigma:\{1,\dots,m\}\rightarrow\{1,\dots,n\}$.
\end{teor}

%$$f\in  {\mathcal C}^2(\varOmega) \Longrightarrow \partial^2_{x_kx_j}f=
%\partial^2_{x_jx_k}f$$
%
%En general:
%
% $$f\in  {\mathcal C}^m(\varOmega) \Longrightarrow
% \partial_{x_{\sigma(1)}\dots x_{\sigma(m)} }^m f=
%\partial_{x_{p(\sigma(1))}\dots x_{p(\sigma(m))} }^m f, \quad \forall p \mbox{
%permutaci\'o de $n$ elements}.$$
%

%{\bf Exercici:} \'Es el $24$ de la llista:
\begin{ex}[Problema $24$ de la co\lgem ecció]
Per a quins valors de $a$, $b$, $c$ i $d$ pot existir una funci\'o $f(x,y)$ tal
que $\dfrac{\partial f}{\partial x}=ax+by$ i $\dfrac{\partial f}{\partial
y}=cx+dy$?  Per a aquests valors calculeu totes les possibles solucions per a
$f$.
\end{ex}
\begin{sol}
%SOLUCIO: 
$b=c$ i $f(x,y)=\dfrac{a}{2}x^2+bxy+ \dfrac{d}{2}y^2$.
\end{sol}
%{\bf Teorema:}

\begin{teor}
$f\in  {\mathcal C}^m(\varOmega)\Rightarrow f\in  
\mathcal{C}^{m-s}(\varOmega) \mbox{ amb }  0\leq s\leq m$. 
Equivalentment,
\begin{displaymath}
f\notin\mathcal{C}^m(\varOmega) \Longrightarrow f\notin
\mathcal{C}^{m+s}(\varOmega)
\end{displaymath}
amb $s\geq 0$. En particular, ${\mathcal C}^1$ implica cont{\'\i}nua;
equivalentment, no cont{\'\i}nua implica no ${\mathcal C}^1$.
\end{teor}
%{\bf Exercici:}

\begin{ex}
Comproveu que la funci\'o $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\not= (0,0)$, i
$f(0,0)=0$ no \'es ${\mathcal C}^1$ a l'origen.
\end{ex}

\begin{definition}[Laplaci\`a]
Si $f$ \'es una funci\'o escalar, el seu Laplaci\`a es defineix com la
diverg\`encia del seu gradient, i.e.:
\begin{displaymath}
\Delta f=\langle \nabla,\nabla f\rangle.
\end{displaymath}
\end{definiton}

%{\bf Exercici:} 
\begin{ex}
Demostreu que $\Delta \langle x,\nabla f\rangle = 2\Delta f+\langle x,\nabla
\Delta f\rangle$. (\'Es senzill per\`o llarg).
\end{ex}

\paragraph{A problemes, fer l'exercici $25$ de la co\lgem ecció:}
\begin{ex}[Problema $25$ de la co\lgem ecció]
	Considereu la funci\'o $f(x,y)=\begin{cases}
		\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & \text{ si }(x,y)\neq (0,0),\\
	\phantom{0000}0, & \text{ si } (x,y) = (0,0).\end{cases}$
\begin{enumerate}[(a)]
\item Aplicant la definci\'o de derivada parcial calculeu 
	$\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)$.
\begin{sol}
$\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$.
\end{sol}
\item Calculeu $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$  si $(x,y)\neq (0,0)$.
\vspace{0,5\baselineskip}
\begin{sol}
$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{y^3}{\sqrt{(x^2+y^2)^{3}}}$.  
\end{sol}
\item Demostreu que no existeix $\limc\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\partial f}%
{\partial x}(x,y)$.
\vspace{0,5\baselineskip}
\begin{sol}
Per rectes surt molt f\`acil.
\end{sol}
\item Quin \'es el subconjunt $D\subset \R^2$ m\'es gran on tenim que $f\in C^1(D)$?
\begin{sol}
$D=\R^2\setminus \{(0,0)\}$.
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{sol}

\paragraph{A problemes, fer l'exercici $27$ de la co\lgem ecció:}
\begin{ex}
Considereu la funci\'o $f(x,y)=xy\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq (0,0)$
i $f(0,0)=0$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Calculeu $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ i $\dfrac{\partial
	f}{\partial y}(x,y)$, si $(x,y)\neq (0,0)$.
\begin{sol}
$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}$,
$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}$
\end{sol}
\item Usant la definici\'o  calculeu $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ i
$\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)$.
\begin{sol}
$\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$.
\end{sol}
\item Usant la definici\'o calculeu $\dfrac{\partial^2 f}%
	{\partial x\partial y}(0,0)$ i $\dfrac{\partial^2 f}%
	{\partial y\partial x}(0,0)$.
\begin{hint}
Feu servir que
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)= \dfrac{\partial f}%
{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)(0,0)= 
\limc\limits_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,h)-
\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{h}$.
\end{hint}
\begin{sol}
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=1$, 
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)=-1$.
\end{sol}
\item Quin \'es el subconjunt $D\subset \R^2$ m\'es gran on tenim que $f\in C^2(D)$?
\begin{sol}
$D=\R^2\setminus \{(0,0)\}$.
\end{sol}
\item Quin \'es el subconjunt $D\subset \R^2$ m\'es gran on tenim que 
$f\in C^\infty(D)$?
\begin{sol}
$D=\R^2\setminus \{(0,0)\}$.
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{ex}

%\newpage
%\noindent
%\textbf{LA REGLA DE LA CADENA} ($1$h T i $1$h P)

%\vspace{0.5\baselineskip}
%\noindent
\section{La regla de la cadena ($1$h T, $1$h P)}
\noindent
A $\R$ la regla de la cadena diu el seg\"uent: donades dues funcions derivables,
$f:A\subseteq\R\longrightarrow\R$ i $g:B\subseteq\R\longrightarrow\R$, amb $A$ i $B$ 
oberts, llavors per a cada $x\in B$, si $g(x)\in B$, és $(f\circ g)'(x) = 
f'\left(g(x)\right)g'(x)$. Aquest resultat es pot ge\-ne\-ra\-lit\-zar per 
a funcions de vàries variables.
%$g(B)\subseteq A$ 
%$f:\varOmega^*\rightarrow R$ i $g:\varOmega\rightarrow \R$ tenim que si
%$\tilde{f}(x)\equiv f(g(x))$, llavors $\tilde{f}'(x)=f'(g(x))g'(x)$.

%\begin{prop}[Regla de la cadena]
\begin{prop}[Regla de la cadena]
\vspace{0,5\baselineskip}
Donades dues funcions vectorials, 
$f\!:\!U\subseteq\R^m\longrightarrow \R^k$, amb $U$ obert, $f\in\mathcal{C}^{1}(U)$, i 
$g\!:\!V\subseteq\R^n\longrightarrow \R^m$, amb $V$ obert, $g\in\mathcal{C}^{1}(V)$,
\begin{displaymath}
	J_{f\circ g}(x)=J_{f}\left(g(x)\right)\cdot J_{g}(x).
\end{displaymath}
per a tot $x\in V$ amb $g(x)\in U$. En components:
\begin{displaymath}
	\partial_{j}\left(f\circ g\right)_{r}\left(x_{1},\dots,x_{n}\right) =
	\sum_{\ell=1}^{m} \partial_{\ell}f_{r}
	\left(g_{1}\left(x_{1},\dots,x_{n}\right),\dots,
	g_{m}\left(x_{1},\dots,x_{m}\right)\right)
	\partial_{j}g_{\ell}\left(x_{1},\dots,x_{n}\right),
\end{displaymath}
per a cada $j=1,\dots,n$ i per a cada $r = 1,\dots,k$.

Si definim $F := f\circ g: W\longrightarrow\R^{k}$, amb $W = V\cap g^{-1}(U)$
aleshores,
\begin{displaymath}
	J_{f\circ g} = J_{f}g\cdot J_{g}.
\end{displaymath}
En components,
\begin{displaymath}
	\partial_{j} F_{r} =
	\partial_{j}\left(f\circ g\right)_{r} = 
	\sum_{\ell = 1}^{m}\partial_{\ell}\left(f_{r}\circ g\right)
	\partial_{j}g_{\ell},
\end{displaymath}
per a cada $j=1,\dots,n$ i per a cada $r = 1,\dots,k$.
%tindrem que la matriu jacobiana de $\tilde{f}$ es pot calcular de
%la seg\"uent forma:
%$$J_{x}\tilde{f}(x)=J_yf(g(x))\cdot J_{x}g(x).$$
\end{prop}

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Cassos concrets:}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
$f:\varOmega^*\subset \R^m\rightarrow \R; y\rightarrow f(y)$ funci\'o
escalar, i $g:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R^m; x\rightarrow g(x)$ funci\'o
vectorial.
\begin{displaymath}
  \tilde{f}(x):=f\circ g(x)= f(g(x))=f(g_1(x),\dots,g_m(x)),
\end{displaymath}
llavors:

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
De la regla de la cadena dedu{\"\i}m:
$$\nabla_{x}\tilde{f}(x)=\nabla_yf(g(x))\cdot J_{x}g(x).$$
Per tant,
$$\partial_{x_j}\tilde{f}(x)=\langle \nabla_yf(g(x)),(\partial_{x_j}g(x))^T\rangle=
\nabla_yf(g(x))\cdot \partial_{x_j}g(x)=\sum_{l=1}^m\partial_{y_l}f(g(x))\partial_{x_j}g_l(x).
$$

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Exercici:} $f(u,v,w)=u^2+v^2-w$, $g(x,y)=(x^2y,y^2,e^{-xy})$. Calculeu $\partial_{x}\tilde{f}(x,y)$.

\vspace{0,25\baselineskip} \emph{Soluci\'o:} $\partial_{x}\tilde{f}(x,y)=4x^3y^2+ye^{-xy}$.









{\bf Exemple:} (Corbes a $\R^n$)

$\sigma:(a,b)\subset \R\rightarrow \R^n; t \rightarrow \sigma(t)=(\sigma_1(t),\dots,\sigma_n(t))$,
$f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow f(x)$ funci\'o escalar.


$$\tilde{f}(t):=f(\sigma(t))\Longrightarrow \tilde{f}'(t)=\langle \nabla_xf(\sigma(t)),(\sigma'(t))^T\rangle
=\sum_{l=1}^m\partial_{l}f(\sigma(t))\sigma'_l(t).$$








%{\bf A Teoria:} Fer l'exercici $33$.




En general, per funcions vectorials

$f:\varOmega^*\subset \R^m\rightarrow \R^k; y\rightarrow f(y)$, i $g:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R^m; x\rightarrow g(x)$.

$\tilde{f}(x):=f\circ g(x)$,
en forma matricial tindrem doncs que la matriu jacobiana de $\tilde{f}$ ser\`a:

$$J_{x}\tilde{f}(x)=J_yf(g(x))\cdot J_{x}g(x).$$



Fixem-nos que la regla de la cadena tamb\'e ens diu (multiplicant fila per columna) que:
$$\partial_{x_j}\tilde{f}_r(x)=\sum_{l=1}^m\partial_{y_l}f_r(g(x))\partial_{x_j}g_l(x).
$$








{\bf Exercici:}

$f(u,v)=(\cos v+u^2, e^{u+v}, u-v)$, $g(x,y)=(e^{x^2}, x-\sin y)$. Calculeu $J \tilde{f}(0,0)$.

Soluci\'o:

\begin{eqnarray*}
 J \tilde{f}(0,0)=\left(\begin{array}{cc}
0&0\\e&-e\\-1&1
 \end{array}\right).
\end{eqnarray*}





{\bf Aplicaci\'o:} (Hipersuperf{\'\i}cies de nivell) ({\bf Aix\`o NO ho explico a classe})

$g:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow g(x)$ funci\'o escalar.


{\bf Definici\'o:}

El conjunt $\{x\in\R^n : g(x)=\mbox{Constant}\}$ s'anomena hipersuperfice de nivell (HSN)

\vspace{0.5cm}
Sigui $\sigma(t)\subset \mbox{HSN}$ una corba qualsevol i $\tilde{g}(t):=g(\sigma(t))=\mbox{Constant}$,
llavors
$$0=\tilde{g}'(t)=\langle \nabla g(\sigma(t)),(\sigma'(t))^T\rangle\quad \forall\sigma(t)\subset \mbox{HSN}
\Rightarrow \nabla g \perp \mbox{HSN}.$$

Per tant, donat $x_0\in\mbox{HSN}$, el {\it hiperpla tangent} a la HSN  que passa per $x_0$ ($HPT_{x_0}$) \'es
$$\langle \nabla g(x_0),x-x_0\rangle=0.$$

En particular donada $f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow f(x)$ funci\'o escalar, la seva gr\`afica
$$G(f):=\{(x,x_{n+1})\in \R^{n+1}: x_{n+1}-f(x)=0\}$$

 \'es una HSN de $g(x,x_{n+1})= x_{n+1}-f(x)$. Per tant,  $HPT_{(x_0, f(x_0))}$ \'es
$$x_{n+1}=f(x_0)+\langle \nabla f(x_0),x-x_0\rangle.$$

{\bf Nota:} Donada $G{f}$, $N(x_0):=(\nabla f(x_0),-1)$ \'es el vector normal a  $HPT_{(x_0, f(x_0))}$. Llavors

si $\{e^{m}_j\}_{j=1,\cdots,m}$ \'es la base can\`onica de $\R^n$:
$$\langle v^{n+1}_j(x_0), N(x_0)\rangle=0, \quad \forall j=1,\cdots,n,\qquad \mbox{ on }\quad
v^{n+1}_j(x_0):=e^{n+1}_j+\partial_jf(x_0)e^{n+1}_{n+1}.
$$

Per tant $\{ v^{n+1}_j(x_0)\}_{j=1,\cdots,n}$ generen  $HPT_{(x_0, f(x_0))}$

De fet, si considerem $\varphi:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R^{n+1}; x\rightarrow (x,f(x))$, llavors
$$J\varphi(x_0)e^n_j= v^{n+1}_j(x_0), \quad \forall j=1,\cdots,n.$$


La matriu jacobiana de $\varphi$ envia la base can\`onica de $\R^n$ al vectors que generen  $HPT_{(x_0, f(x_0))}$.

\vspace{0.5cm}


{\bf A Problemes fer els exercicis $29$, $33$}

 {\bf EX 29.-} Siguin $f(u,v)=(\tan(u-1)-{\rm e}^v,u^2-v^2)$ i $g(x,y)=({\rm e}^{x-y},x-y)$.
Calculeu $D(f\circ g)(1,1)$

mitjan\c{c}ant la regla de la cadena.


\begin{eqnarray*}
 D {f}(u,v)=\left(\begin{array}{cc}
\sec^2(u-1)&-e^v\\2u&-2v
 \end{array}\right), \quad
D {g}(x,y)=\left(\begin{array}{cc}
e^{x-y}&-e^{x-y}\\1&-1
 \end{array}\right).\quad g(1,1)=(1,0)\Longrightarrow
\end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*}
 D(f\circ g)(1,1)=Df(1,0)Dg(1,1)=
\left(\begin{array}{cc}
1&-1\\2&0
 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}
1&-1\\1&-1
 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0&0\\2&-2
 \end{array}\right).
\end{eqnarray*}

{\bf EX 33.-} Donada una funci\'o $f=f(u,v,w)$ de classe $C^1$, calculeu mitjan\c{c}ant la regla de la cadena

expressions per a les derivades o derivades parcials primeres de la funci\'o $h$ en termes de les de

$\alpha$,
$\beta$ i $\gamma$ en cadascun dels casos seg\"uents.
\begin{enumerate}
\item $h(x)=f(x,\alpha(x),\beta(x)).$

$h'(x)= \partial_1f(x,\alpha(x),\beta(x))+\partial_2f(x,\alpha(x),\beta(x))\alpha'(x)+\partial_3f(x,\alpha(x),\beta(x))\beta'(x)$.
\item $h(x,y)=f(y,\alpha(x,y),\beta(x)).$

$\partial_xh(x,y)=\partial_2f(y,\alpha(x,y),\beta(x))\partial_x\alpha(x,y)+\partial_3f(y,\alpha(x,y),\beta(x))\beta'(x)$,

$\partial_yh(x,y)=\partial_1f(y,\alpha(x,y),\beta(x))+\partial_2f(y,\alpha(x,y),\beta(x))\partial_y\alpha(x,y)$.

\item $h(x,y,z)=f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z)).$

$\partial_xh(x,y)=\partial_3f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z))\partial_x\gamma(x,y,z)$,


$\partial_yh(x,y)= \partial_2f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z))\partial_y\beta(y,z)+
\partial_3f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z))\partial_y\gamma(x,y,z)$,


$\partial_zh(x,y)=   \partial_1f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z))\alpha'(z)+\partial_2f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z))\partial_z\beta(y,z)$


\hspace{2cm} $+\partial_3f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z))\partial_z\gamma(x,y,z)$.

\end{enumerate}


\newpage

\noindent{\bf{DERIVADA DIRECCIONAL $1$ hora a  PROBLEMES}}
\vspace{0.5cm}

$f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow f(x)$, $a\in\varOmega$, $v$ vector de $\R^n$ amb $||v||=1$.

Definim $\tilde{f}:{\mathcal B}_r^1(0)\subset \R\rightarrow \R; t\rightarrow \tilde{f}(t):=f(a+tv)$.

{\bf Definici\'o:}(derivada direccional de $f$ en $a$ segons $v$)
$$\partial_vf(a)\equiv D_v f(a):=\tilde{f}'(0).$$





OBSERVACIO: Aquesta definici\'o \'es equivalent a:
$$\partial_vf(a)\equiv D_v f(a)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}.$$






{\bf Teorema:} (F\'ormula del gradient)

$f\in {\mathcal C}^1(\varOmega)\Longrightarrow\partial_vf(a)=\langle v,\nabla f(a)\rangle$.



{\bf Nota:}

$\partial_{e^n_j}f(a)=\partial_{j}f(a)$.



{\bf Proposici\'o:} Si $f\in {\mathcal C}^1(\varOmega)$, $\varOmega$ obert i $a\in  \varOmega$. Susposem que $a$ NO \'es un punt cr{\'\i}tic, llavors

la derivada direccional m\`axima en $a$ s'asoleix en la direccio de $v=\nabla f(a)/||\nabla f(a)||$ i val $||\nabla f(a)||$.

Prova: \'Es trivial a partir del Teorema anterior.


{\bf Exemple:} Calculeu la derivada direccional m\`axima de $f(x_1,x_2)=x_1^{x_2}$ en $(e,1)$.

Soluci\'o: $\sqrt{1+e^2}$.



{\bf A Problemes fer els exercicis $34$ i $35$.}

{\bf EX. 34.-} Useu la f\'ormula del gradient per calcular les seg\"uents derivades direccionals.
\begin{enumerate}
\item $D_uf(1,0)$ si $f(x,y)=\ln\sqrt{x^2+y^2}$ i $u=(2/\sqrt{5},1/\sqrt{5})$.

$D_uf(1,0)=2/\sqrt{5}$.
\item $D_uf(0,-1)$ si $f(x,y)={\rm e}^x\cos(\pi y)$ i $u=(-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$.

$D_uf(0,-1)=1/\sqrt{2}$.
\item $D_uf(1,0,0)$ si $f(x,y,z)=x^2{\rm e}^{-yz}$ i $u=(1/\sqrt{3},-1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$.

$D_uf(1,0,0)=2/\sqrt{3}$.
\end{enumerate}

{\bf EX. 35.-}  El perfil d'una certa muntanya es modela mitjan\c{c}ant la funci\'o $$h(x,y)=5000-0.01x^2-0.02y^2,$$

 on si $(x,y)$
\'es un punt del pla (``imaginari'') que defineix la base de la muntanya, llavors $z=h(x,y)$

ens d\'ona la corresponent al\c{c}ada.

\begin{enumerate}
\item Un muntanyer es troba en el punt $(x,y)=(10,10)$, a punt de fer el cim.
En quina direcci\'o s'ha de moure per pujar m\'es r\`apidament? Quin \'es el pendent?


$v=-(1/\sqrt{5},2/\sqrt{5})$. Pendent \'es la derivada direccional, per tant, val $1/\sqrt{5}$.
\item Si enlloc de triar la direcci\'o de m\`axima pendent opta per triar-ne una amb pendent del $40\%$,
quina direcci\'o ha de seguir? (Indicaci\'o: Un pendent del $40\%$ correspon a un vector $(\alpha,\beta)\in\R^2$ unitari
tal que $D_{(\alpha,\beta)}h(10,10)=0.4$. Hi ha dues possible solucions per a $(\alpha,\beta)$.)


$(0,-1)$ i $(-4/5,-3/5)$.
\end{enumerate}


\newpage

\noindent
\textbf{F\'{O}RMULA DE TAYLOR} ($2$ hores a TEORIA i $1$ hora a PROBLEMES)
\vspace{0,5\baselineskip}

%{\bf Teorema del valor mig:} Sigui $f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow f(x)$, $f\in{\mathcal C}^1(\varOmega)$, $x^0, x^1\in \varOmega$.

%Si existeix un segment $\overline{x^0x^1}\subset \varOmega$, que uneix $x^0$ i $x^1$, llavors sempre existeix $x^*\in \overline{x^0x^1}$ de manera

%que
%$$f(x^1)-f(x^0)=\langle\nabla f(x^*),x^1-x^0\rangle .$$


%NOTA: Aquest Teorema ens permet afitar l'error que fem a l'aproximar $f(x^1)$ per $f(x^0)$.

%Efectivament, l'error esta afitat per
%$$|\langle\nabla f(x^*),x^1-x^0\rangle  |\leq (\mbox{Cauchy-Schwarz})\leq ||\nabla f(x^*) ||||x^1-x^0 ||\leq M ||x^1-x^0 ||,$$

%on
%$M=max_{x\in\overline{x_0x_1}}||\nabla f(x) ||$.


%Una  acotaci\'o  millor de l'error \'es
%$$|\langle\nabla f(x^*),x^1-x^0\rangle |\leq \sum_{j=1}^n|\partial_j f(x^*) ||x_j^1-x_j^0 |\leq \sum_{j=1}^nM_j |x_j^1-x_j^0 |,$$

%on
%$M_j=max_{x\in\overline{x_0x_1}}|\partial_j f(x) |$.


%Nota: Al ser dificil calcular expl{\'\i}citament els valors de $M_j$, el que farem \'es la seg\"uent aproximaci\'o:

%$M_j\cong |\partial_j f(x^0)|$,
%i aix{\'\i} obtindrem l'anomenada ''{\bf f\'ormula de propagaci\'o de l'error}``:

%$$|\langle\nabla f(x^*),x^1-x^0\rangle |\leq \sum_{j=1}^n |\partial_j f(x^0)| |x_j^1-x_j^0 |.$$


%NOTA: l'error relatiu es defineix com $|f(x^1)-f(x^0)|/|f(x^0)|$.


%{\bf Exercici 41:} El fem a teor{\'\i}a

% El per\'{\i}ode d'oscil$\cdot$laci\'o d'un p\`endol ve donat per $T(L,g)=2\pi\sqrt{L/g}$, on $L$
%\'es la longitud de

%la barnilla i $g$ l'acceleraci\'o de la gravetat. Si per a unes dades concretes $L_0$ i $g_0$ obtenim el
%valor

%$T(L_0,g_0)$ i considerem unes altres dades lleugerament modificades, $L=L_0+\Delta L$ i $g=g_0+\Delta g$,

%useu la f\'ormula de
%propagaci\'o de l'error per veure que, suposant que $\Delta L$ i $\Delta g$ s\'on quantitats

%prou petites, llavors podem estimar l'error
%relatiu en aproximar $T(L,g)$ per $T(L_0,g_0)$ per l'expressi\'o:
%\[
%\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{|\Delta L|}{L_0}+\dfrac{|\Delta g|}{g_0}\right).
%\]

\noindent
\textbf{F\'ormula de Taylor a $\R^n$:} Sigui
$f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow f(x)$, $a,
a+h\in\varOmega$ obert, $f\in{\mathcal C}^k(\varOmega)$
\begin{itemize}
\item Aproximaci\'o lineal: $f(a+h)\cong f(a)+\langle h,\nabla f(a)\rangle$.
\item Aproximaci\'o quadr\`atica:
  \begin{displaymath}
    f(a+h)\cong f(a)+\langle
    h,\nabla f(a)\rangle+\frac{1}{2}\langle hHf(a),h\rangle,
  \end{displaymath}
on $Hf(a):=J\nabla f(a)$ \'es una matriu sim\`etrica $n\times n$
anomenada {\it hessiana}.
\item Aproximaci\'o d'ordre $k$:
\begin{displaymath}
f(a+h)\cong \sum_{j=0}^k \frac{\langle h,\nabla \rangle^j}{j!}
f(a).
\end{displaymath}
Aqu{\'\i} $\langle h,\nabla \rangle$ \'es l'operador $\sum_{j=1}^n h_j\partial_j$, i
$\langle h,\nabla \rangle^jf=\langle h,\nabla \rangle(\langle h,\nabla \rangle^{j-1}f)$.
\end{itemize}

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Nota:} El pas de $\R$ a $\R^n$ \'es la substituci\'o
$\frac{d}{dx_1}\rightarrow\langle h,\nabla \rangle$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Nota:} $\mathop{\mathrm Tr} Hf(a)=\Delta f(a)$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Cas particular:} per $ n = 2$, $f:\varOmega\subset
\R^2\rightarrow \R; (x,y)\rightarrow f(x,y)$, $a, a+h\in\varOmega$, $f\in{\mathcal C}^k(\varOmega)$;
l'aproximaci\'o d'ordre $k$ s'escriu
$$f(a+h)\cong \sum_{j=0}^k\sum_{l=0}^j\frac{1}{l!(j-l)!}\partial^j_{x^ly^{j-l}}f(a)h_1^lh_2^{j-l}.$$

\vspace{\baselineskip}
\noindent
En general, a $\R^n$ tindrem:
$$f(a+h)\cong \sum_{j=0}^k\sum_{|m|_{1}=j}\frac{1}{m_1!\cdots
  m_n!}\partial^j_{x_1^{m_1}... x_n^{m_n}}f(a)h_1^{m_1}\dots
h_n^{m_n},$$
on la norma $|\cdot|_{1}$ es defineix com
$|\eta|_{1}:=\sum_{i=1}^{n} |\eta_{i}|$, $\eta\in\R^{n}$.


% \end{itemize}
\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Aplicaci\'o al c\`alcul de derivades d'ordre superior.}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exemple:} Calculeu $\partial^7_{y^3x^4}f(3,0)$, on
$f(x,y)=\left(\frac{x}{3}\right)^x$. Per fer-ho escrivim:
$$f(x,y)=e^{y\ln\left(1+\frac{x-3}{3}\right)},$$
i com $e^z\cong 1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}$ observem que per
obtenir el terme del polinomi de Taylor que cont\'e $y^3$, hem de considerar
$$\frac{1}{6}y^3\ln^3\left(1+\frac{x-3}{3}\right)\cong \frac{1}{6}y^3\left(\frac{x-3}{3}\right)^3\left(1-\frac{x-3}{6}\right)^3,$$
per concloure que
$$\frac{1}{3!4!}\partial^7_{y^3x^4}f(3,0)=-\frac{1}{324}\Longrightarrow \partial^7_{y^3x^4}f(3,0)=-\frac{4}{9}
.$$

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exercici:} Sigui $f(x,y)=e^{xy^3}$. Quan val $\partial^{12}_{x^3y ^9}f(0,0)$? Resposta: $9!$

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Exemple:} Calculeu $\partial^{10}_{x^5y^2z^3}f(0,0,0)$ on
$f(x,y,z)=e^{xy}\sin(xz)$. Notem que
$$f(x,y,z)=\dots -\dfrac{1}{2!3!}x^5y^2z^3+\dots =
\dfrac{1}{5!2!3!}\partial^{10}_{x^5y^2z^3}f(0,0,0)x^5y^2z^3+\dots$$
Per tant, $\partial^{10}_{x^5y^2z^3}f(0,0,0)=-5!$

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Generalitzaci\'o:} $f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R^m;
x\rightarrow f(x)$, $a, a+h\in\varOmega$ obert; llavors
l'aproximaci\'o lineal \'es:
\begin{displaymath}
  f(a+h)\cong f(a)+ h (Jf(a))^{\top}.
\end{displaymath}
%
%\vspace{\baselineskip}
%\noindent
Com a cas particular, si $f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R^n$
\'es inversible i $f(a)=b$, llavors $f^{-1}(b+h)\cong a+
h.((Jf(a))^{-1})^T$; i per tant, en un entorn de $b$ podem
calcular {\it aproximadament} la inversa de $f$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Residu de Taylor:} Donada $f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow
\R; x\rightarrow f(x)$; $a, a+h\in\varOmega$ obert; $f\in{\mathcal
  C}^{k+1}(\varOmega)$. Definirem el \emph{residu d'ordre $k$} en un
entorn del punt $a$, com la seg\"uent funci\'o:
\begin{displaymath}
R_k(h)= f(a+h)- \sum_{j=0}^k \frac{\langle h,\nabla \rangle^j}{j!}
f(a).
\end{displaymath}
La propietat important del residu, \'es el seg\"uent resultat:
\begin{displaymath}
  \lim_{h\rightarrow 0}\frac{|R_k(h)|}{||h||^k}=0.
\end{displaymath}

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Aplicaci\'o al c\`alcul de l{\'\i}mits:} Fer a teoria l'exercici $43$:

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
Calculeu, si existeix, el seg\"uent l\'{\i}mit.
\begin{displaymath}
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac{{\rm e}^x\sin(x+y)-x-y-x^2-xy}{x^2+y^2}.
\end{displaymath}
(Indicaci\'o: Calculeu el desenvolupaments de Taylor del numerador
fins ordre 2 i useu les propietats del residu de Taylor $R_2(x,y)$).

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'o:} Aquest l{\'\i}mit val zero.

% \newpage
% \textbf{Proposici\'{o}.} En les condicions de la definici\'{o} del
% Residu de Taylor (veure adalt); donades $a\in\varOmega$, $h\in\R^{n}$
% amb $a+h\in\varOmega$; existeix $\xi\in\[0,1]$ t.q.~el residu de
%   Taylor d'ordre $k$

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{A Problemes, fer l'exercici $37$} (com exemple d'aproximaci\'{o} lineal):

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
La resist\`encia total $R$ corresponent a dues resist\`encies
$R_1$ i $R_2$ conectades en paral$\cdot$lel verifica
\begin{displaymath}
\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}.
\end{displaymath}
Usant l'aproximaci\'o lineal, estimeu la variaci\'o del valor de
$R$ si incrementem el valor de $R_1$ de $10$ ohms a $10.5$ ohms i
decreixem el valor de $R_2$ de $15$ ohms a $13$ ohms.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.}
$R(R_1,R_2)=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$. Llavors,
\begin{displaymath}
  R(10,15)=6,\qquad \partial_1R(10,15)=9/25,\qquad \partial_2R(10,15)=4/2.
\end{displaymath}
D'altra banda,
\begin{displaymath}
R(10.5,13)-R(10,15)\cong \partial_1R(10,15)\times
0.5+ \partial_2R(10,15)\times (-2)=-7/50.
\end{displaymath}

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf A Problemes, fer  els exercicis $40$ i $41$:}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{EX.~40.-} Calculeu totes les derivades parcials fins ordre
2 de les seg\"uents funcions i doneu el seu desenvolupament de Taylor
fins a termes de grau 2 inclosos entorn del punt que s'indica en
cada cas.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Taylor de $f(x,y)=\sin(xy)$ entorn del punt $(1,\pi/2)$.
\item Taylor de $f(x,y)=x^y$ entorn del punt $(1,1)$.
\item Taylor de $f(x,y)={\rm e}^{x/y}$ entorn del punt $(0,1)$.
\item Taylor de $f(x,y,z)={\rm e}^{-x}\sin(yz)$ entorn del punt $(0,1,\pi)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{EX.~41.-} Mitjan\c{c}ant l'us de desenvolupaments de
Taylor de funcions d'una variable (coneguts a priori), calculeu
els desenvolupaments de Taylor en l'origen fins a termes de grau
dos inclosos de les seg\"uents funcions.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f(x,y)={\rm e}^{xy}\ln(1+x+y)$.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y)\sim \ln(1+x+y)\sim x+y- (x+y)^2/2$.
\item $f(x,y)={\rm e}^x\cos y$.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y)\sim 1+x+(x^2-y^2)/2$.

\item $f(x,y)=\dfrac{1}{1+x+y}$.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y)\sim 1-(x+y)+ (x+y)^2/2$.
\item $f(x,y,z)={\rm e}^{x+y}\sqrt{1+x}\cos(x+y+z)$.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y,z)\sim 1+\frac{3}{2}x +
y-\frac{3}{8}x^2+\frac{1}{2}yx- zx-zy-\frac{1}{2}z^2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
{\bf A Problemes, fer l'exercici $42$:}

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
Calculeu el desenvolupament de Taylor en l'origen de les
seg\"uents funcions fins l'ordre que s'indica en cada cas i doneu
el valor de totes les derivades parcials de la funci\'o en el
$(0,0)$ corresponents a l'ordre m\`axim fins al qual s'ha
desenvolupat (p.~ex., si desenvolupem fins a ordre $5$
volem $\partial^5_{x^{n}y^{m}} f(0,0)$, amb $n+m=5$).
%
\begin{enumerate}[(a)]
\item  $f(x,y)=\ln(1+x^2-y)$ fins ordre 3.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y)\cong
y-x^2+\frac{1}{2}y^2-yx^2+\frac{1}{3}y^3\Longrightarrow
  \partial^3_{y^3}f(0,0)=2,\quad\partial^3_{yx^2}f(0,0)=-2$.
\item $f(x,y)=\cos(xy)$ fins ordre 8.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y)
\cong 1-\frac{1}{2}(yx)^2+\frac{1}{24}(yx)^4
\Longrightarrow \partial^4_{y^4x^4}f(0,0)=24$.
\item $f(x,y)={\rm e}^{x^2-y^2}$ fins ordre 8.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y) \cong 1+
(x^2-y^2)+\frac{1}{2}(x^2-y^2)^2+\frac{1}{6}(x^2-y^2)^3+\frac{1}{24}(x^2-y^2)^4
\Longrightarrow$
\begin{displaymath}
\partial^8_{x^8}f(0,0)=\partial^8_{y^8}f(0,0)=8!/4!,\ \partial^8_{y^2x^6}f(0,0)
=\partial^8_{y^6 x^2}f(0,0)=-5!\, 2,\ \partial^8_{y^4x^4}f(0,0)=4!\, 6.
\end{displaymath}
\end{enumerate}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{A Problemes, fer l'exercici $44$:}

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
Determineu el valor de  $\lambda\in\R$ per tal que:
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\arctan(x^2+y)-x^2-y-\lambda y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}=0.
\]

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.}
$\arctan(x^2+y)\sim x^2+y-\frac{1}{3}y^3\Longrightarrow \lambda =-1/3$.

\newpage

\noindent
\textbf{TEOREMA DE LES FUNCIONS INVERSA I IMPL\'{I}CITA} ($1$h T, $1$h P)
\vspace{0.5cm}

\noindent
TEOREMA DE LA FUNCIO INVERSA:
\vspace{0,5\baselineskip}

\noindent
Sigui $f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \varOmega^*\subset \R^n$  una funci\'o ${\mathcal C}^1$ a $\varOmega$. Donat $p\in \varOmega$
tal que $det Df(p)\not= 0$, llavors $f$ \'es {\bf localment
  inversible}, \'es a dir, existeix $\epsilon>0$ demanera  que
${\mathcal B}_{\epsilon}^n(p)\subset \varOmega$ i
\begin{eqnarray*}
 f: {\mathcal B}_{\epsilon}^n(p)\rightarrow f\left({\mathcal B}_{\epsilon}^n(p)\right),
\end{eqnarray*}
($f$ restringida a la bola) \'es bijectiva, i per tant t\'e inversa $f^{-1}$.

%$f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \varOmega^*\subset \R^n$ bijectiva $f^{-1}:\varOmega^*\rightarrow \varOmega$
%inversa de $f$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Q\"{u}esti\'{o}:} com es calcula la inversa?
%
%\vspace{\baselineskip}
%\noindent
De la relaci\'o $f^{-1}(f(x))=x$, aplicant la regla de la cadena s'obt\'e
$$ Df^{-1}(f(x))=(Df(x))^{-1},$$
sempre que $Df(x)$ sigui inversible.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
Sigui $Df(x)$ la matriu $n\times n$ de les derivades de $f$, al seu determinant, $\det Df(x)$,
l'anomenarem {\it jacobi\`a} de $f$. Usant que $det AB=\det A \det B$ s'obt\'e
$$\det Df^{-1}(f(x))=1/ \det Df(x).$$

\noindent
{\bf Exercici:} Sigui $f:\R^2\rightarrow\R^2$ definida per $f(x,y)=(e^x+e^y,e^x-e^y)$. Comproveu que existeix
$f^{-1}$ i calculeu
$Df^{-1}$.

\vspace{\baselineskip}

%{\bf Derivaci\'o impl{\'\i}cita}

\noindent
TEOREMA DE LA FUNCIO IMPLICITA:

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
Donada la funci\'o
$f:\varOmega^*\subset \R^n\times \R^m\rightarrow \R^m;
(x,y)\rightarrow f(x,y)$, amb $x\in\R^n$ i $x\in\R^n$, (de classe
${\mathcal C^1}$ a $\varOmega$) considerem el sistema d'equacions
$f(x,y)=0$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
Volem a{\"\i}llar les variables $y$'s en funci\'o de les
$x$'s. Quan \'es possible fer-ho?

\vspace{\baselineskip}
\noindent
Considerem $(p,q)\in\varOmega^*$ tal que $f(p,q)=0$, llavors si $det
D_yf(p,q)\not=0$ ($D_yf$ \'es la matriu derivada de $f$ respecte les variables $y$
que \'es una matriu quadrada), podem a{\"\i}llar {\bf localment} les
$y$'s en funci\'o de les $x$'s. \'Es a dir, existeix $\epsilon>0$ i
una funci\'o ${\mathcal C^1}$ en la bola de radi $\epsilon$ centrada en $p$
\begin{eqnarray*}
 g:{\mathcal B}_{\epsilon}^n(p)\rightarrow \R^m; x\rightarrow g(x),
\end{eqnarray*}
tal que $\forall\, x\in {\mathcal B}_{\epsilon}^n(p)$,
\begin{eqnarray*}
 g(p)=q\quad \mbox{ i}\quad f(x,g(x))=0.
\end{eqnarray*}
La pregunta ara \'es: Com calculem la deriva de $g$ en el punt $p$?

\vspace{\baselineskip}
\noindent
Un exemple per entendre aquest tipus de derivaci\'o \'es el seg\"uent:
Donades $f:\varOmega^*\subset \R^2\rightarrow\R$; $(x,y)\rightarrow
f(x,y)$ i $g:\varOmega\subset \R\rightarrow\R$; $x\rightarrow g(x)$. Suposem que
satisfan l'equaci\'o
$$f(x,g(x))=0,$$
%
i volem calcular $g'(x)$ en funci\'o de les derivades de $f$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
Aplicant la regla de la cadena obtenim
$$
\partial_xf(x,g(x))+\partial_yf(x,g(x))g'(x)=0\quad \Longleftrightarrow \quad g'(x)=-\frac{\partial_xf(x,g(x))}{\partial_yf(x,g(x))}.
$$
En general: per funcions vectorials
$f:\varOmega^*\subset \R^n\times \R^m\rightarrow \R^m;
(x,y)\rightarrow f(x,y)$, amb $x\in\R^n$, $y\in\R^m$; i $g:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R^m;
x\rightarrow g(x)$.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
Suposem que satisfan l'equaci\'o
$$f(x,g(x))=0,$$
i volem calcular $Dg(x)$ en funci\'o de les derivades de $f$.


\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
Si definim $\tilde{g}:\varOmega\subset\R^n\rightarrow\R^n\times\R^m$,
$x\rightarrow (x,g(x))$. L'equaci\'o la podem escriure com $\tilde{f}(x)\equiv f(\tilde{g}(x))=0$, i ara aplicant la regla de la cadena s'obt\'e:
$$D_xf(x,g(x))+D_yf(x,g(x))Dg(x)=0\Longleftrightarrow Dg(x)=-\left(D_yf(x,g(x))\right)^{-1}D_xf(x,g(x)).
$$

\vspace{0,5\baselineskip}\noindent
\textbf{Un Exemple senzill:} $f:\varOmega\subset \R^3\rightarrow \R$,
$f(x,y,z)=0$. Sigui $(x_0,y_0,z_0)\in \varOmega$ tal que
$f(x_0,y_0,z_0)=0$. La condici\'o per a{\"\i}llar ``$z$'' en funci\'o de $(x,y)$ en un entorn de $(x_0,y_0,z_0)$ \'es
\begin{eqnarray*}
 \partial_zf(x_0,y_0,z_0)\not= 0.
\end{eqnarray*}

\vspace{\baselineskip}
\noindent
Llavors existeix $\epsilon>0$ i
una funci\'o ${\mathcal C^1}$ en la bola de radi $\epsilon$ centrada en $(x_0,y_0)$
\begin{eqnarray*}
 g:{\mathcal B}_{\epsilon}^2(x_0,y_0)\rightarrow \R^m; (x,y)\rightarrow g(x,y),
\end{eqnarray*}
tal que $\forall (x,y)\in {\mathcal B}_{\epsilon}^2(x_0,y_0)$
\begin{eqnarray*}
 g(x_0,y_0)=z_0\quad \mbox{ i}\quad f(x,y,g(x,y))=0.
\end{eqnarray*}
Les derivades de $g$ en el punt $(x_0,y_0)$ es calculen de la seg\"uent forma:
$$Dg(x_0,y_0)=-\left(D_zf(x_0,y_0,z_0)\right)^{-1}D_{(x,y)}f(x_0,y_0,z_0).
$$
\'Es a dir:
$$\partial_x g(x_0,y_0)=-\frac{1}{\partial_z f(x_0,y_0,z_0)}\partial_x f(x_0,y_0,z_0);\quad
\partial_y g(x_0,y_0)=-\frac{1}{\partial_z f(x_0,y_0,z_0)}\partial_y f(x_0,y_0,z_0).
$$
Observeu que tamb\'e es poden calcular aquestes derivades,
derivant implicitament l'equaci\'o
\begin{displaymath}
  f(x,y,g(x,y))=0
\end{displaymath}
i avaluar en el punt $(x_0,y_0,z_0)$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
Efectivament, usem la notaci\'o $f_x\equiv \partial_x f, f_{xy}\equiv \partial_{xy} f, ...$, llavors tindrem:

$$f_x+f_zg_x=0,\quad f_y+f_zg_y=0,
$$
i d'aqu{\'\i} trobem $g_x$ i $g_y$. Tamb\'e podem trobar les derivades d'ordre superior, per exemple $f_{xy}$. Primer derivem impl{\'\i}citament respecte $y$ i despr\`es respecte $x$ per
obtenir
$$f_{xy}+f_{z^2}g_yg_x+f_{zx}g_y+f_zg_{xy}=0,
$$
subtituint els valors de $g_x$ i $g_y$ finalment arrivem a:
$$f_{xy}+\frac{f_{z^2}f_yf_x}{f^2_z}-\frac{f_{zx}f_y}{f_z}+f_zg_{xy}=0,
$$
i d'aqu{\'\i} obtenim el valor de $g_{xy}$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exercici:}
El sistema
\begin{eqnarray*}
 \left\{\begin{array}{ccc}
         xe^{u+v}+2uv&=&1\\
ye^{u-v}-\dfrac{u}{1+v}&=&2x,
        \end{array}\right.
\end{eqnarray*}
detemina dues funcions $u(x,y)$ i $v(x,y)$ que satisfan $u(1,2)=v(1,2)=0$. Calculeu $\partial_x u(1,2)$
i $\partial_yv(1,2)$.

\newpage

\noindent
{\bf A Problemes, fer els exercicis $45$ i $48$:}

\vspace{0.5\baselineskip}
\noindent
{\bf EX 45.-}  Sigui $f(x,y,z)=(e^{2y}+e^{2z},e^{2x}-e^{2z}, x-y)$. Proveu que $f$ t\'e una inversa global i
calculeu la seva matriu derivada.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
{\bf EX 48.-}
El sistema
\begin{eqnarray*}
 \left\{\begin{array}{ccc}
        x+yv+e^{yu}+e^{xv}&=&3\\
y-xv+e^{xu}+e^{yv}&=&3,
        \end{array}\right.
\end{eqnarray*}
detemina dues funcions $u(x,y)$ i $v(x,y)$ que satisfan $u(1,1)=v(1,1)=0$. Sigui ara
$g(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$, calculeu $Dg(1,1)$ i $Dg^{-1}(0,0)$.

\newpage

\noindent
\textbf{EXTREMS RELATIUS} ($2$h T, $1$h P)

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
Considerem $f:\varOmega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow
f(x)$, $a\in\varOmega$ obert, $f\in{\mathcal C}^2(\varOmega)$

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
{\bf Definici\'o:}

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\begin{itemize}
 \item Si $\exists\quad \epsilon>0\ni\forall x\in {\mathcal B}^n_{\epsilon}(a)\setminus \left\{0\right\}  \quad f(a)\geq f(x)$, direm que $a$ \'es
un m\`axim relatiu de $f$.
\item Si $\exists\quad \epsilon>0\ni\forall x\in {\mathcal B}^n_{\epsilon}(a)\setminus \left\{0\right\}  \quad f(a)\leq f(x)$, direm que $a$ \'es
un m{\'\i}nim relatiu de $f$.
\end{itemize}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
{\bf Proposici\'o:} $a$ extrem relatiu $\Longrightarrow$ $a$ punt
cr{\'\i}tic.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
PROVA: Usar l'aproximaci\'o lineal de Taylor.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Definici\'o:} $A$ matriu sim\`etrica $n\times n$, direm que \'es:
\begin{itemize}
 \item {\it Definida positiva} si tots els seus vap's s\'on estrictament positius $\Longleftrightarrow$  $\forall x\in \R^n\setminus \{0\}\quad xAx^T>0$.
\item {\it Definida negativa} si tots els seus vap's s\'on estrictament negatius $\Longleftrightarrow$  $\forall x\in \R^n\setminus \{0\}\quad xAx^T<0$.
\item {\it No definida} si no \'es ni definida positiva ni definida negativa.
\end{itemize}

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Proposici\'o:}
\begin{itemize}
 \item $a$ punt cr{\'\i}tic i $Hf(a)$ definida positiva $\Longrightarrow$ $a$ m{\'\i}nim relatiu.
\item $a$ punt cr{\'\i}tic i $Hf(a)$ definida negativa $\Longrightarrow$ $a$ m\`axim relatiu.
\end{itemize}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
PROVA: Usar l'aproximaci\'o quadr\` atica de Taylor.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Exercici:} Sigui $f:\R^n\rightarrow\R: x\rightarrow
f(x)=e^{-(1-||x||^2)^2}$. Demostreu que t\'e un m\'\i nim relatiu
en $0$ i que la hipersuperfice de nivell $||x||=1$ est\`a formada
per tots els m\`axims relatius de $f$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Observaci\'o:} NO tots el punts cr{\'\i}tics s\'on extrems
relatius. Exemple $(0,0)$ i $f(x,y)=x^2-y^2$. Fixem-nos que sobre
l'eix d'abcises l'origen \'es un m{\'\i}nim, en canvi sobre
el d'ordenades \'es un m\`axim. El mateix li passa a la funci\'o
$f(x,y)=x^4+y^4-4xy+1$ a l'origen. La Hessiana t\'e vaps $4$ i
$-4$, per tant no decideix. Sobre l'eix d'abcises l'origen \'es un
un m{\'\i}nim, en canvi sobre la recta $y=x$ \'es un m\`axim.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Definici\'o:} Un punt cr{\'\i}tic $a$ t.q.~$\det Hf(a)\not=
0$ i $Hf(a)$ \'es no definida, direm que \'es un {\it punt de sella}.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Proposici\'o:} (Silvester-Jacobi) $A$ matriu sim\`etrica $n\times n$, direm que \'es:
\begin{itemize}
 \item  $A$ definida positiva $\Longleftrightarrow$ tots els seus menors s\'on estrictament positius.
\item $A$ definida negativa $\Longleftrightarrow$  tots els seus menors no s\'on zero i van alternant el signe comen\c cant per $-1$.
\end{itemize}

%{\bf Extrems absoluts}

%{\bf Teorema:} Donada $f:\varOmega\subset\R^n\rightarrow \R$, amb $\varOmega$ compacte i $f\in{\mathcal C}^0(\varOmega)$, llavors $f$ sempre assoleix el

%seu m\`axim i m{\'\i}nim absoluts a $\varOmega$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf SOBRE ELS EXTREMS ABSOLUTS:}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
NOTA: Per motivar es pot proposar el problema de trencar una corda
en 2 trossos i formar un cercle amb un tro\c{c} i un quadrat amb
l'altre. I demanar per on s'ha de tallar la corda
per a que l'\`area total sigui m\`axima.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Proposici\'o:} Tota funci\'o cont{\'\i}nua en un compacte
(tancat i acotat) pren el seu m\`axim i m{\'\i}nim absoluts.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Com es troben?} Doncs, es busquen tots els m\`axims i
m{\'\i}nims relatius a l'interior del conjunt (buscant els punts
cr{\'\i}tics i miran si s\'on extrems), despr\'{e}s
es restringeix la funci\'o a la frontera del domini i es busquen
els m\`axims i m{\'\i}nims  a la frontera. Quan els tinguem tots (els
relatius i els de la frontera) es comparen
un a un i ja est\`a.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exemple:} Considerem la funci\'o $f(x,y)=x^2-y^2$
restringida a $\bar{\mathcal B}_1^1(0,0)$. L'\`unic punt cr{\'\i}tic \'es
l'origen de coordenades on $f$ val zero.
Anem ara a mirar que passa a la frontera
$$\{(x,y): x^2+y^2=1\}.$$
Si restringim $f$ a aquest punts tenim $\bar{f}(x)=2x^2-1$ per
$x\in [-1,1]$. L'\'{u}nic punt cr{\'\i}tic a l'interior d'aquest
int\`erval \'es $x=0$, on $f$ val $-1$. Per\`o,
no hem acabat, finalment ens falta restringir $\bar{f}$ a
la frontera de $[-1,1]$, i.e., calcular $\bar{f}(\pm
1)=1$. Conclusi\'o: $f$ pren el seu m\`axim en $(\pm 1, 0)$ i el
seu m{\'\i}nim a $(0,\pm 1)$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf A Problemes fer els exercicis $53$ i $54$.}

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
{\bf EX.~53.-} Per a la funci\'o $f(x,y)=x^2y+y^2x$ vegeu que
$(0,0)$ \'es un candidat a extrem relatiu per\`o que el m\`etode
del hessi\`a no permet caracteritzar-lo. A quina conclussi\'o
arribem si restringim els valors de $(x,y)$ als de la recta $y=x$?

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $\nabla f(0,0)=(0,0)\Longrightarrow
x=y=0$. D'altra banda
\begin{displaymath}
Hf(0,0)=\left(\begin{array}{cc}
        0&0\\0&0\end{array}\right)
\end{displaymath}
i llavors el m\`etode del hessi\`a no ens permet caracteritzar el
punt. En canvi, sobre la recta $x=y$,
$f(x,x)=2x^3$, d'on es conclou que $(0,0)$ no \'{e}s cap
extrem de $f(x,y)$.
           % el punt $(0,0)$ \'es un punt d'inflexi\'o (no es ni
           % m\`axim ni m{\'\i}nim) $\Longrightarrow$ $(0,0)$ no
           % \'es extrem de $f(x,y)$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf EX.~54.-} Considereu la funci\'o $f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2)$.
\begin{enumerate}[1.]
\item Si restringim els valors de $(x,y)$ als d'una recta passant
  pel $(0,0)$, vegeu que l'origen \'es un m\'{\i}nim relatiu de la
  funci\'o amb independ\`encia de la recta triada.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} Agafant $y=\lambda x$, $\lambda\in\R$ qualsevol, s'obt\'{e}:
\begin{displaymath}
F(x,\lambda x)=x^2(\lambda -x)(\lambda -3x)\sim \lambda^2x^2
\end{displaymath}
(per $x\cong 0$), la qual cosa implica que $(0,0)$ \'es un m{\'\i}nim relatiu
sobre qualsevol recta que passi per l'origen.
\item Discutiu si el resultat de l'apartat~(a) us permet concloure que $f(x,y)$,
com a funci\'o de dues variables,  t\'e un m\'{\i}nim relatiu en el $(0,0)$.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} No, ja que:
\begin{displaymath}
Hf(0,0)=\left(\begin{array}{cc}
               0&0\\0&2
             \end{array}\right).
\end{displaymath}
\item Estudieu si l'origen \'es o no un m\'{\i}nim relatiu si
  restringim els valors de $(x,y)$ als d'una par\`abola de la
  forma $y=ax^2$ i refineu la discussi\'o de l'apartat~(2).

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} Restringint la funci\'{o} sobre la par\`{a}bola resulta:
$f(x,ax)=x^4(a-1)(a-3)$; per tant,  quan $1<a<3$ $(0,0)$, \'es un
m\`axim relatiu $\Longrightarrow$  $(0,0)$ no \'es cap extrem de $f(x,y)$.
\end{enumerate}


\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
