\documentclass[12pt,reqno]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{enumerate}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[catalan]{babel}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\textwidth 190mm %155%
\textheight 260mm
\topmargin -70pt
\oddsidemargin -35pt
\evensidemargin -35pt


\def\p{{\partial}}
\def\dfrac{\displaystyle\frac}
\def\dint{\displaystyle\int}
%\addtolength{\textwidth}{5cm} \addtolength{\textheight}{5cm} \addtolength{\topmargin}{-3.3cm}

% \textwidth 18truecm  \textheight 28truecm \addtolength{\topmargin}{-3.5cm}
% \oddsidemargin -0.85truecm \evensidemargin -5mm

%\pagestyle{empty}

\newif\ifresolved
%\resolvedtrue
\def\resol#1{\ifresolved  \ {#1}\else \hspace{17.5cm} \hfill\fi}


\begin{document}
\hrule\smallskip \medskip \noindent{\textbf{{\large{C\`alcul II /
        Continu\"\i tat i derivabilitat (Esquema)}}}
  \hfill\textsl{}} 
\par\par
\medskip\noindent{\textsl{1 de setembre de 2015}}\hfill \par\par 
\medskip\hrule\vspace{0.5cm}

%\noindent{\bf{Teoria.}} \hfill {\small{\sl{( punts)}}}
\medskip

% \noindent{\bf INDEX:}
% \begin{itemize}
%  \item {\bf Secci\'o $1$.-} {PAS DE $\R$ \mbox{ A } $\R^n$:  $1$ hora a PROBLEMES}
% \item {\bf Secci\'o $2$.-} {TOPOLOGIA DE  $\R^n$: $1$ hora a PROBLEMES}
% \item {\bf Secci\'o $3$.-}  {CONTINUITAT A  $\R^n$:  $4$ hores a TEORIA i $2$ hores a PROBLEMES}
% \item {\bf Secci\'o $4$.-} {DERIVABILITAT A  $\R^n$: $2$ hores a TEORIA i $2$ hores a PROBLEMES}
% \item {\bf Secci\'o $5$.-} {FUNCIONS DE CLASSE   ${\mathcal C}^m$:  $1$ hora a TEORIA i $1$ hora a PROBLEMES}
% \item {\bf Secci\'o $6$.-} {LA REGLA DE LA CADENA $2$ hores a  TEORIA i $2$ hores a PROBLEMES}
% \item {\bf Secci\'o $7$.-} {DERIVADA DIRECCIONAL $1$ hora a  PROBLEMES}
% \item {\bf Secci\'o $8$.-} {FORMULA DE TAYLOR: $2$ hores a TEORIA i $1$ hora a PROBLEMES}
% \item {\bf Secci\'o $9$.-} {EXTREMS: $2$ hores a TEORIA i $1$ hora a PROBLEMES}
% \end{itemize}

\noindent{\bf \'{I}NDEX:}
\begin{itemize}
 \item {\bf Secci\'o $1$.-} {PAS DE $\R$ \mbox{ A } $\R^n$} ($1$h P)
\item {\bf Secci\'o $2$.-} {TOPOLOGIA DE  $\R^n$} ($1$h P)
\item {\bf Secci\'o $3$.-} {CONTINUITAT A $\R^n$} ($4$h T, $2$h P)
\item {\bf Secci\'o $4$.-} {DERIVABILITAT A $\R^n$} ($3$h T i $2$h a P)
\item {\bf Secci\'o $5$.-} {FUNCIONS DE CLASSE ${\mathcal C}^m$} ($1$h T, $1$h P)
\item {\bf Secci\'o $6$.-} {LA REGLA DE LA CADENA} ($1$h T i $2$h P)
\item {\bf Secci\'o $7$.-} {DERIVADA DIRECCIONAL} ($1$h P)
\item {\bf Secci\'o $8$.-} {FORMULA DE TAYLOR} ($2$h T, $1$h P)
\item {\bf Secci\'o $10$.-}%
      {TEOREMA DE LES FUNCIONS INVERSA I IMPL\'{I}CITA} ($1$h T, $2$h P)
\item {\bf Secci\'o $11$.-} {EXTREMS} ($2$h T i $1$h P)
\end{itemize}

\newpage

\noindent
\textbf{PAS DE $\R$ A $\R^n$} ($1$h P)
\begin{enumerate}[1.]
\item $x=x_1\in \R\Longrightarrow x=(x_1,\dots,x_n)\in\R^n$. $x_j$
  s'anomena coordenada $j-$\`essima del punt $x$.  

\noindent
Casos particulars: a $\R^2$ els punts normalment es denoten per
$(x,y)$, i a $\R^3$  per $(x,y,z)$. 
\item $x_1,y_1\in\R$ producte $x_1y_1 \Longrightarrow x,y\in\R^n$
  producte escalar $\langle x,y\rangle:= x.y:=\sum_{j=1}^n x_jy_j$. 
\item $x_1\in \R$ norma $||x_1||:=|x_1|=\sqrt{x_1^2}\Longrightarrow
  x\in\R^n$ norma $||x||:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$. La norma \'es
  la dist\`ancia a l'origen (Teorema de Pit\`agoras). Mostrar-ho a
  $\R^2$. 
\item  $x_1,y_1\in\R$ dist\`ancia de $x_1$ a $y_1$,
  $d(x_1,y_1):=||x_1-y_1|| \Longrightarrow x,y\in\R^n$ 
dist\`ancia de $x$ a $y$, $d(x,y):=||x-y||$ (Teorema de
Pit\`agoras). Mostrar-ho a $\R^2$. 
\item Int\`erval obert (bola $1$-dimensional) de radi $r>0$ centrat
  en $y_1$, 
$${\mathcal{B}}_r^1(y_1):=(y_1-r,y_1+r)=\{x_1\in\R:
d(x_1,y_1)<r\}\Longrightarrow$$ 
bola oberta $n$-dimensional de radi $r>0$ centrada en $y$, 
${\mathcal{B}}_r^n(y):=\{x\in\R^n: d(x,y)<r\}$.
(Fer exemples a $\R^2$ i $\R^3$).
\end{enumerate}
%
{\bf Propietats:}
\begin{itemize}
 \item $\forall \lambda\in\R, x\in\R^n$ es satisf\`a $||\lambda x||=|\lambda|||x||.$
\item $||x||\geq 0,\qquad||x||=0\Longleftrightarrow x=0.$
\item Donats $x, y\in\R^n$ es satisf\`a  $\langle x, y\rangle=\langle y, x\rangle$, i.e., el producte escalar \'es sim\`etric.
\item Donats $x, y, z\in\R^n$ es satisf\`a  $\langle x+y, z\rangle=\langle x, z\rangle+\langle y, z\rangle$, i.e., el producte escalar \'es bilineal.
\end{itemize}
%
{\bf Desigualtats:}
\begin{enumerate}[1.]
\item Cauchy-Schwarz
$$|\langle x,y\rangle|\leq ||x||||y||.
$$
PROVA: Siguin $t\in \R$, $x,y\in\R^n$ amb $y\not=0$. Tenim:
$$g(t)=||x+ty||^2=||x||^2+2t\langle x,y\rangle +t^2||y||^2\geq 0.$$
%\Longrightarrow g'(t)=2(\langle x,y\rangle +t||y||^2).$
Llavors,
per $t_0=-\frac{\langle x,y\rangle}{||y||^2}$ tindrem
$g(t_0)=||x||^2-\frac{\langle x,y\rangle^2}{||y||^2}\geq
0\Longleftrightarrow \langle x,y\rangle^2\leq ||x||^2||y||^2$. Finalment si $y=0$ la desigualtat es trivial. $\square$

\item Triangular
$$||x+y||\leq ||x||+||y||\Longleftrightarrow d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y).
$$
PROVA: 
$$||x+y||^2=||x||^2+2\langle x,y\rangle +||y||^2\leq
||x||^2+2||x||||y||+||y||^2=(||x||+||y||)^2.$$
D'altra banda:
$$d(x,y)=||x-y||=||(x-z)+(z-y)||\leq ||x-z||+||z-y||=d(x,z)+d(z,y). \square$$
\textbf{Corol.lari:} $\left|||x||-||y||\right|\leq ||x-y||$.
%
\item $|\langle x,y \rangle|\leq \sum_{j=1}^n|x_jy_j|$. \'Es
  consequ\`encia inmediata de la desigualtat triangular. 
\item $\forall j\quad |x_j|\leq ||x||$. \'Es trivial, pero important.
\end{enumerate}

\newpage

\noindent
\textbf{TOPOLOGIA DE  $\R^n$} ($1$h P)

\vspace{0.5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Definici\'o} (Oberts a $\R^n$). $\Omega\in \R^n$ obert
$\Longleftrightarrow$  $\forall x\in \Omega, \exists \epsilon>0\ni
{\mathcal{B}}_{\epsilon}^n(x) \subset \Omega$. 

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Definici\'o} (Tancats a $\R^n$). $\Omega\in \R^n$ tancat
$\Longleftrightarrow$ $\Omega^c\equiv \R^n\setminus \Omega$ \'es
obert. El conjunt $\Omega^c$ s'anomena complementari d'$\Omega$.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Definici\'o:} Donat $\Omega\in \R^n$ i $a\in \Omega$ direm:
\begin{itemize}
 \item $a$ \'es un punt de l'interior de
   $\Omega\Longleftrightarrow\exists \epsilon>0\ni {\mathcal
     B}_{\epsilon}^n(a)\subset \Omega$. 
\item $a$ \'es un punt de l'exterior de
  $\Omega\Longleftrightarrow\exists \epsilon>0\ni {\mathcal
    B}_{\epsilon}^n(a)\subset \Omega^c$.
\item $a$ \'es un punt de la frontera de
  $\Omega\Longleftrightarrow\forall\epsilon>0,\quad {\mathcal
    B}_{\epsilon}^n(a)\cap \Omega\not=\varnothing \mbox{ i }
  {\mathcal B}_{\epsilon}^n(a)\cap \Omega^c\not=\varnothing$.
\end{itemize}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
{\bf Notaci\'o:}
\begin{itemize}
 \item $\mathring{A}=\{x\in\R^n: x 
       \text{ \'es punt de l'interior de } A\}$.
\item $\mathop{ext} A=\{x\in\R^n: x 
       \text{ \'es punt de l'exterior de } A\}$.
\item $\partial A=\{x\in\R^n: x 
       \text{ \'es punt de la frontera de } A\}$.
\end{itemize}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
{\bf Definici\'o} (Clausura o adher\`encia). Donat $A\in\R^n$ la
clausura (o adher\`encia) d'$A$ \'es
$\bar{A}=\mathring{A}\cup \partial A$  

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Proposici\'o:}
\begin{itemize}
 \item $A$ obert $\Longleftrightarrow A=\mathring{A}$.
\item $A$ tancat $\Longleftrightarrow A=\bar{A}$.
\end{itemize}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Observaci\'o:} La clausura de ${\mathcal{B}}_{r}^n(a)$, que
denotarem per $\overline{\mathcal{B}}_{r}^n(a)$, s'anomena bola
tancada de $\R^n$ de radi $r$ i centrada en el punt $a$.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Definici\'o} (Acotat). $\Omega\subset \R^n$ \'es un conjunt
acotat $\Longleftrightarrow \exists R>0
 \ni \Omega \subset{\mathcal B}_R^n(0)$.  

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Definici\'o} (Compacte). $\Omega\subset \R^n$ \'es un conjunt
compacte $\Longleftrightarrow$ \'es tancat i acotat. 

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Propietats dels conjunts:} La uni\'o d'oberts \'es sempre un
obert. La intersecci\'o finita d'oberts \'es un obert. La uni\'o
finita de tancats \'es un tancat. La intersecci\'o de tancats \'es
sempre un tancat. 

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exemples:}
\begin{enumerate}[1.]
 \item $\cup_{k=2}^{\infty}{\mathcal B}_{1-1/k}^n(0)$ \'es obert.
\item  $\cap_{k=1}^{\infty}\overline{{\mathcal B}}_{1/k}^n(0)$ \'es
  tancat. (Es dedueix de $1$ i de la propietat $(A\cup B)^c=A^c\cap
  B^c$). 
\item $\cup_{k=2}^{\infty}\overline{{\mathcal B}}_{1-1/k}^n(0)$ \'es
  obert. 
\item $\cap_{k=1}^{\infty}{{\mathcal B}}_{1/k}^n(0)$ \'es tancat.
\item La frontera de ${\mathcal B}_{r}^n(0)$ s\'on els punt de
  $\R^n$ que satisfan $||x||=r$. 
\item $\R^n$ \'es obert i tancat a la vegada. (Tot punt de $\R^n$
  \'es interior i no t\'e frontera). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Fer l'exercici $1$:} Digueu quins dels seg\"uents conjunts
son oberts, tancats o compactes. \emph{Observaci\'{o}:} veu\-rem quan
estudiem continu\"\i tat, que ``en general'' els conjunts definits
per desigualtats del tipus $\lessgtr$ s\'on oberts. I els definits
per desigualtats del tipus $\lesseqqgtr$ s\'on tancats. De moment ho
acceptem i ja ho veurem mes endevant. 
\begin{enumerate}[(a)]
\item $A = \{(x, y)\in \R^2 \mbox{ : } x^2 + y^2\leq x,\,
{\rm e}^{xy} - \sin x\leq y^4 + {\rm e}^x\}$.

\emph{Soluci\'{o}.} \'Es compacte ja que \'es la intersecci\'o entre
$\overline{\mathcal B}_{1/2}^2(1/2,0)$ i $\{(x, y)\in \R^2:  
{\rm e}^{xy} - \sin x\leq y^4 + {\rm e}^x\}$. El primer es compacte
i el segon tancat. 
\item $B = \{(x, y, z)\in \R^3: x^2 + y^2 + z^2\leq 1,\,
{\rm e}^{xy}+{\rm e}^{yz}+{\rm e}^{zx}\geq x+y+z\}$.

\emph{Soluci\'{o}.} Mateix raonament que en el cas anterior. \'Es la
intersecci\'o de la bola tancada unitat centrada a l'origen i un
tancat, per tant, compacte. 
\item $C = \{(x, y)\in \R^2: x^2 - y^2\leq 0, y\leq 2x\}$.

\emph{Soluci\'{o}.} \'Es tancat ja que \'es la intersecci\'o de dos
tancats, per\'o no \'es compacte ja que no est\`a acotat (els punts
de la forma  $(x,x)\quad \forall x\in \R^+$ pertanyen a $C$.)
\item $D = \{(x, y, z)\in \R^3: 0<x^2-y^2+z^2<1,\, xyz>0\}$.

\emph{Soluci\'{o}.} \'Es la intersecci\'o de dos oberts, per tant,
obert. 
\item $E=\{(x,y)\in\R^2: x^2+\sin y>0, \, x\neq 0,\, y\neq 0\}$. 

\emph{Soluci\'{o}.} \'Es oberta, ja que \'es la intersecci\'o de
tres oberts. 
\item $F = \{(x, y)\in\R^2 \mbox{ : } 1 < x^2 + y^2 \leq 2\}$.

\emph{Soluci\'{o}.} No \'es ni obert ni
tancat. $\bar{F}=\bar{\mathcal B}^2_{\sqrt{2}}(0,0) 
\setminus{\mathcal B}^2_{1}(0,0)\supset F$ per tant no \'es
tancat. L'interior de $F$ \'es 
${\mathcal B}^2_{\sqrt{2}}(0,0)\setminus \bar{\mathcal B}^2_{1}(0,0)
\subset F$ per tant no \'es obert. 
\item $G=\left\{(x,y)\in\R^2: x>1,\, \dfrac{x^2+y^2}{x}<2\right\}$.

\emph{Soluci\'{o}.} \'Es la intersecci\'o d'oberts, per tant, \'es
obert. 
\end{enumerate}

\newpage

\noindent
\textbf{CONTINU\"{I}TAT A $\R^n$} ($3$h T, $2$h P)

\vspace{0.5\baselineskip}
\noindent
Es comen\c ca amb la definici\'o  norma i dist\`ancia a $\R^n$ per
poder definir  bola a $\R^n$ i obert a $\R^n$. 

\begin{enumerate}[1.]
\item Sigui $x=(x_1,\dots,x_n)$ punt de $\R^n$. La norma d'$x$ es
defineix $||x||:=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^nx_k^2}$ i \'es la dist\`ancia del
punt $x$ a l'origen. (Teorema de Pit\`agoras. Mostrar-ho a $\R^2$).

\item Donats $x, y\in\R^n$, la dist\`ancia de $x$ a $y$ \'es
$d(x,y):=||x-y||$ (Teorema de Pit\`agoras. Mostrar-ho a $\R^2$).

\item ${\mathcal B}_r^n(y)$ \'es la bola $n$-dimensional oberta de
  radi $r$ centrada en el punt $y$. \'Es el conjunt de punts que
  estan a dist\`ancia menor que $r$ del punt $y$. 

\item $\Omega$ \'es un obert de $\R^n$ si per cada punt de $\Omega$,
  podem trobar un bola oberta centrada en aquest punt i de radi prou
  petit (aquest, en general, dependra del punt) de manera que
  aquesta estigui totalment continguda en  $\Omega$.
\end{enumerate}
%
\textbf{Definici\'o} (Funci\'o vectorial de diverses
variables). $f=(f_1,\dots,f_m):\Omega\subset \R^n\longrightarrow
\R^m$, $\Omega$ obert. On $f_j$ s\'on {\it funcions escalars}, i.e.,
$f_j:\Omega\subset \R^n\longrightarrow \R$, $\forall j=1,..,m$. 

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exemple:} $f(x,y,z)=(\sin(xy), z^2+x+3y)$. Aqu{\'\i}
$\Omega=\R^3$, $f_1(x,y,z)=\sin(xy)$ i $f_2(x,y,z)=z^2+x+3y$.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Definici\'o} (Domini i Imatge).
\begin{itemize}
\item Domini: ${\mathcal D}(f)=\left\{ x\in \R^n: f(x)\in \R^m\right\}$.
\item Imatge: (o rang) ${\mathcal R}(f)=\left\{ y\in \R^m:  
\exists\, x\in {\mathcal D}(f)\text{ t.q. } y=f(x)\right\}$.
\end{itemize}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exemple:} $f(x)=(\ln(||x||),\ln(1-||x||))$ amb
$x\in\R^n$. Llavors: 
\begin{enumerate}[1.]
\item ${\mathcal D}(f)={\mathcal B}_1^n(0)\setminus\{0\}$.
\item ${\mathcal R}(f)=\left\{(y_1,y_2)\in\R^2: y_1\in
               (-\infty,0),\quad y_2=\ln(1-e^{y_1})\right\}$.
\end{enumerate}
%
\textbf{Definici\'o:} (Gr\`afica). $f:\Omega\subset 
\R^n\longrightarrow \R^m$, ${\mathcal G}(f)=\{ (x, f(x)): x\in
{\mathcal D}(f)\}\subset \R^{n+m}$. 

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exemples:}
\begin{enumerate}[1.]
 \item $f:{\mathcal B}_1^2(0,0)\subset\R^{2}\longrightarrow \R$ donada
   per $(x,y)\in{\mathcal B}_1^2(0,0)\mapsto a^2x^2+b^2y^2$ amb
   $a\not=b$. La seva gr\`afica \'es un parabolo\"\i de el·l\'\i
   ptic.  
\item $f:{\mathcal B}_1^2(0,0)\in\R^{2}\longrightarrow \R$ donada per
   $(x,y)\in{\mathcal B}_1^2(0,0)\mapsto a^2x^2-b^2y^2$. La seva
   gr\`afica \'es una ``sella''. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Definici\'o} (Conjunts de nivell). Sigui
$f:\Omega\subset \R^n\longrightarrow \R^m$, $c\in {\mathcal
  R}(f)$. Llavors, el conjunt de nivell es defineix com
$L_c(f):=\left\{ x\in {\mathcal D}(f): f(x)=c\right\}$.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Nota:} Quan $n=2 \mbox{ i } m=1$ s'anomenen {\it corbes de
  nivell}, quan $n=3 \mbox{ i } m=1$ s'anomenen {\it
  superf{\'\i}cies de nivell}. En general, quan $m=1$ s'anomenen
{\it hipersuperf{\'\i}cies de nivell}. 

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exemples:}
\begin{enumerate}[1.]
 \item  Les corbes de nivell de $f(x,y)=x^2-y^2$ s\'on hip\`erboles.
\item Les superf{\'\i}cies de nivell de $f(x,y,z)=3x^2+y^2+4z^2$
  s\'on el·lipsoides. 
\end{enumerate}

\vspace{0.5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Definici\'o} (L{\'\i}mit).
Recordem el concepte de l{\'\i}mit en dimensi\'o $1$. Si tenim
$f:(A,B)\subset \R\rightarrow \R$ i $a\in  (A,B)$, llavors: 
\begin{displaymath}
\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L \Longleftrightarrow \forall \epsilon>0,
\exists \quad \delta=\delta(\epsilon)>0 \ni 
 x\in (a-\delta, a+\delta)\setminus \{a\}
\Longrightarrow f(x)\in (L-\epsilon, L+\epsilon).
\end{displaymath}
\'Es a dir, donat un int\`erval de radi $\epsilon$ centrat en el
punt $L$, sempre podem trobar un int\`erval de radi
$\delta=\delta(\epsilon)$ centrat en el punt $a$, de manera que  si
un punt pertany a aquest int\`erval i NO \'es $a$, llavors la seva
imatge pertany a l'int\`erval de radi $\epsilon$ centrat en el punt
$L$. Dit d'una altra manera, si $x$ est\`a a dist\`ancia 
d'$a<\delta$, pero estrictament positiva, llavors $f(x)$ est\`a a
dist\`ancia d'$L<\epsilon$.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exemple:} $\lim_{x\rightarrow 1}x^2=1$. Fixem $\epsilon>0$,
llavors per $|x-1|<\delta$ tenim 
\begin{displaymath}
|x^2-1|=|x-1||x+1|<\delta
|x+1|<3\delta=\epsilon,
\end{displaymath} 
per tant, nom\'es cal triar $\delta(\epsilon)=\epsilon/3$.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
Aix{\'\i} a $\R^n$ tindrem, $f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R^m$,
funci\'o vectorial, $f=(f_1,\dots,f_m)$, $\Omega$ obert i
$a\in\Omega$. 

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
Llavors:
\begin{displaymath}
\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L \Longleftrightarrow \forall \epsilon>0,
\exists \quad \delta=\delta(\epsilon)>0 \ni x\in
{\mathcal{B}}_{\delta}^n(a)\setminus \{a\} 
\Longrightarrow f(x)\in {\mathcal{B}}_{\epsilon}^m(L).
\end{displaymath}
\textbf{Nota:} El valor de $f(a)$ {\it no} juga cap paper en la
definici\'o. Modificar el seu valor no afecta ni l'exist\`encia ni
el valor del l{\'\i}mit. 


{\bf Exemple:}

$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{\sin(x^2y^2)}{x^2+y^4}=0$. Efectivament, fixem
$\epsilon>0$, llavors per
 $(x,y)\in {\mathcal{B}}_{\delta}^2(0,0)$ tenim
$$d\left(\frac{\sin(x^2y^2)}{x^2+y^4}, 0\right)=\left|\frac{\sin(x^2y^2)}{x^2+y^4}\right|\leq \frac{x^2 y^2}{x^2+y^4}\leq y^2\leq
d^2((x,y), (0,0))<{\delta}^{2}.
$$

Triem doncs $\delta=\sqrt{\epsilon}$.


{\bf Exercici:}

Usant la definici\'o veure que la funci\'o $f(x,y)=\frac{x^2\cos(y)+xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ tendeix a zero a l'origen.


SOLUCIO: $\delta=\epsilon/2$.


{\bf Exemple:} Recordem que la relaci\'o $|ab|\leq \frac{1}{2}(a^2+b^2)$ pot ser molt \'util per a calcular l{\'\i}mits:

Considerem la funci\'o $f(x,y)=\frac{x^2y^3}{x^4+y^4}$ i volem veure que el seu  l{\'\i}mit a l'origen és zero. Doncs usem que $2x^2y^2\leq x^4+y^4$ per obtenir l'acotaci\'o
$$|f(x,y)|\leq \frac{|y|}{2}\leq \frac{\delta}{2}=\epsilon.$$


Un exemple una mica m\'es complicat \'es $f(x,y)=\frac{x^4y}{x^6+y^2}$. Ara usem la descomposici\'o $$x^4|y|= |x|^{\frac{7}{2}}.|x|^{\frac{1}{2}}|y|\leq \frac{1}{2}(|x|^7+|x|y^2).$$

Llavors tindrem
$$|f(x,y)|\leq \frac{|x|^7}{2(x^6+y^2)}+\frac{|x|y^2}{2(x^6+y^2)}\leq |x|\leq \delta=\epsilon,$$
on hem usat $\frac{1}{x^6+y^2}\leq \frac{1}{x^6}$ i  $\frac{1}{x^6+y^2}\leq \frac{1}{y^2}$.


\vspace{0.25cm}

{\bf Exemple:} Demostrem que $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\left(1+y^{\frac{1}{3}}-\left(7x^3+32y^4\right)^{\frac{1}{5}}\right)=1$. Fixem-nos que tenim
$7x^3+32y^4\leq 32||(x,y)||$ i a m\'es, per $0<z<1$ tenim $z^{\frac{1}{3}}\leq z^{\frac{1}{5}}$. Aix{\'\i} doncs,
$$\left|y^{\frac{1}{3}}-\left(7x^3+32y^4\right)^{\frac{1}{5}}\right|\leq ||(x,y)||^{\frac{1}{3}}+2||(x,y)||^{\frac{1}{5}}\leq 3||(x,y)||^{\frac{1}{5}}\leq 3\delta^{\frac{1}{5}}=\epsilon.
$$

\vspace{0.25cm}

{\bf Observaci\'o:} A $\R$ el l{\'\i}mit de $f$ en $x=a$ $ \exists \Longleftrightarrow$
$$\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)\mbox{ i }\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)\quad  \exists, \mbox{ i coincideixen}.
$$

En canvi a $\R^n$ hi ha infinites maneres d'arribar a $x=a$ (per rectes, par\`aboles, etc.).

Aix{\'\i}  doncs, si el  l{\'\i}mit de $f$  en $x=a$ $\exists$, llavors $\forall \sigma:(A,B)\subset \R\rightarrow \R^n; t \rightarrow \sigma(t)=(\sigma_1(t),\dots,\sigma_n(t))$

corba a $\R^n\ni \sigma(0)=a$
$$\lim_{t\rightarrow 0}f(\sigma(t))\quad \exists \mbox{ i val el mateix}.
$$

Per tant, donades $\sigma_1$ i $\sigma_2$ dues corbes de $\R^n\ni \sigma_1(0)=\sigma_2(0)$,
$$\lim_{t\rightarrow 0}f(\sigma_1(t))\not=\lim_{t\rightarrow 0}f(\sigma_2(t))\Longrightarrow\lim_{x\rightarrow a}f(x)\nexists.
$$



{\bf Exemple:} (Es essencialment l'exercici $9$ de problemes) Discutiu el l{\'\i}mit a l'origen de

 $f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$ i $f(x,y)=\frac{xy^2}{x^4+y^2}$.


 La primera funci\'o NO t\'e l{\'\i}mit a l'origen (nom\'es cal pendre la par\`abola $y=x^2$. En canvi, per a

 la segona tenim $\frac{|x|y^2}{x^4+y^2}\leq |x|$, per tant
 a l'origen el l{\'\i}mit \'es zero.


\vspace{0.25cm}
{\bf Exemple:}
$f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y}$ si $x^2+y\not= 0$,

 i $f(x,y)=0$ si $x^2+y= 0$.

Triem $\sigma_1(t)=(t,t)$ i $\sigma_2(t)=(t, -t^2+t^6)$ llavors
$$\lim_{t\rightarrow 0}f(\sigma_1(t))=0,\quad \lim_{t\rightarrow 0}f(\sigma_2(t))=1\Longrightarrow
\lim_{(x_1,x_2)\rightarrow (0,0)}f(x_1,x_2)\quad \nexists$$



{\bf Proposici\'o:} Donat $p:\R^n\rightarrow \R; x\rightarrow
p(x)$ un \emph{monomi} de grau $m$ i coeficient $1$. Llavors si $n>1$

\begin{eqnarray*}
 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{p(x)}{||x||^k}=\left\{\begin{array}{ccc}
                                                   0&\mbox{si}& m>k\\
\nexists&\mbox{si}& m\leq k
                                                  \end{array}\right.
\end{eqnarray*}



PROVA: Com $|x_j|\leq ||x||, \forall j$ tenim que  $\frac{|p(x)|}{||x||^k}\leq ||x||^{m-k}\leq \delta^{m-k}$. Doncs si $m>k$ ja ext\`a.

Si $m<k$ prenem la recta $\sigma(t)=t(1,\dots,1)$ i clarament $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{p(\sigma(t))}{||\sigma(t)||^k}=
\lim_{t\rightarrow 0} t^{m} |t|^{-k}/n^{k/2} \quad \nexists$.


Si $m=k$  Per $\sigma(t)=t(1,\dots,1)$ tenim $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{p(\sigma(t))}{||\sigma(t)||^k}$ nom\'es existeix si $k$ \'es parell,
i en aquest cas

val $ 1/n^{k/2}$. En canvi per $\bar{\sigma}(t)=t(1,0\dots, 0)$
s'obt\'e:
$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{p(\bar{\sigma}(t))}{||\bar{\sigma}(t)||^k}=0$ { o b\'e } no existeix, per

tant, el l{\'\i}mit NO existeix.


{\bf Definici\'o:} (Continu\"\i tat)

$f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R^m$, funci\'o vectorial, $f=(f_1,\dots,f_m)$, $\Omega$ obert i $a\in\Omega$.

\begin{enumerate}
 \item $$ f \mbox{ cont\'\i nua a } a \Longleftrightarrow \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a).$$
\item  $$ f \mbox{ cont\'\i nua a } \Omega \Longleftrightarrow f \mbox{ cont\'\i nua  } \forall x\in \Omega.$$
\end{enumerate}






{\bf Criteris de continu\"\i tat:}

Amb la suma, producte i composici\'o de funcions cont{\'\i}nues s'obtenen funcions cont{\'\i}nues.



{\bf Propietats de les funcions cont{\'\i}nues:}
\begin{enumerate}
 \item $f:\R^n\rightarrow \R^m$ amb ${\mathcal D}(f)=\R^n$ i $f$ cont{\'\i}nua a tot $\R^n$. Llavors l'anti-imatge d'un obert de $\R^m$ \'es un obert
de $\R^n$ i
l'anti-imatge d'un tancat de $\R^m$ \'es un
tancat de $\R^n$.
\item $f:\R^n\rightarrow \R^m$  amb $f$ cont{\'\i}nua. Llavors la imatge d'un compacte de $\R^n$ \'es un compacte de $\R^m$.
\end{enumerate}

{\bf Exemple $1$:} El conjunt $A=\{x\in\R^n: 1<||x||^3<2\}$ \'es obert. Si considerem la funci\'o

$f(x)=||x||^3$ llavors $A$ \'es l'anti-imatge
de $(1,2)$ que \'es un obert de $\R$.


{\bf Exemple $2$:}
$f:\R\rightarrow \R$; $f(x)=E(x)$ funci\'o part entera d'$x$. Llavors si triem $\Omega=\{1\}$ resulta

que $f^{-1}(\Omega)=[1,2)$ NO \'es tancat.

{\bf Exemple $3$:}

\begin{eqnarray}
 f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
      x&,x<1\\
        2&, x\geq 1,     \end{array}
\right.
\end{eqnarray}

llavors $f([0,2])=[0,1)\cup \{2\}$ NO \'es tancat, i per tant tampoc compacte.

\vspace{0.5cm}
NOTA: La propietat $1$ justifica el que v\`arem fer per resoldre l'Exercici $1$.

%\newpage

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf A Problemes fer l'exercici $2$:}

\noindent
Doneu el domini de definci\'o de les seg\"uents funcions.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f(x,y)=\dfrac{\sqrt{9-x^2-y^2}}{x^2+y^2-4}$.

${\mathcal D}(f)={\mathcal B}_3^2(0,0)\setminus\partial{\mathcal B}_2^2(0,0)$.
\item $f(x,y)=\sqrt{16-4x^2-y^2}$.

${\mathcal D}(f)$ \'es la clausura de l'el.lipse $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}\leq 1$.
\item $f(x,y)=(\ln(xy),\sqrt{4-x^2-y^2})$.

${\mathcal D}(f)=\bar{\mathcal B}_2^2(0,0)\cap \left(\{(x,y): x>0, y>0\}\cup\{(x,y): x<0, y<0\}\right)$.
\item $f(x,y)=\arcsin \left(\dfrac{y}{x}\right)$.

${\mathcal D}(f)=\{(x,y): -1\leq \dfrac{y}{x}\leq 1\}$.
\item $f(x,y)=\arctan \left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)$.

${\mathcal D}(f)=\R^2\setminus \{(0,0)\}$.
\item $f(x,y)=\sqrt{y-xy-1}$. (Indicaci\'o: Determineu el conjunt $y-xy-1=0$.)

${\mathcal D}(f)=\{(x,y): x<1, y\geq \frac{1}{1-x}\}\cup \{(x,y): x>1, y\leq \frac{1}{1-x}\}$.
\item $f(x,y,z)=\dfrac{x}{\sqrt{9-x^2-y^2-z^2}}$.

${\mathcal D}(f)={\mathcal B}_3^3(0,0,0)$.
\end{enumerate}




{\bf A Problemes fer l'exercici $3$:}

Trobeu les corbes de nivell de les seg\"uents funcions i digueu quina \'es la seva imatge.
\begin{enumerate}
\item $f(x,y)=x^2+y^2$.

Les corbes de nivell s\'on circumfer\`encies i ${\mathcal R}(f)=[0,\infty)$.

\item $f(x,y)=4x^2+y^2$.

Les corbes de nivell s\'on el.lipses i ${\mathcal R}(f)=[0,\infty)$.
\item $f(x,y)=x^2-y$.

Les corbes de nivell s\'on par\`aboles i ${\mathcal R}(f)=\R$.
\item $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$, definida per a $(x,y)\neq (0,0)$. (Indicaci\'o: A\"{\i}lleu $y$ en termes de $x$ sobre cada corba de nivell.)

Despres d'a\"\i llar $y$ (resoldre una equaci\'o de segon grau) les corbes de nivell surten rectes.
Per veure la imatge, fixem-nos en que $(x-y)^2\geq 0\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy\Leftrightarrow f(x,y)\leq 1/2$. D'altra banda,
$(x+y)^2\geq 0\Leftrightarrow x^2+y^2\geq -2xy\Leftrightarrow f(x,y)\geq -1/2$
per tant
${\mathcal R}(f)=[-1/2,1/2]$.
\item $f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$, definida per a $(x,y)\neq (0,0)$. (Indicaci\'o: Feu com~(d).)

Les corbes de nivell s\'on les rectes $y=\pm\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}x$, i per tant, ${\mathcal R}(f)=[-1,1]$.

\item $f(x,y)=(x^2+y^2){\rm e}^{-x^2-y^2}$.
(Indicaci\'o: Relacioneu els valors de $f$ amb els de la funci\'o $h(z)=z{\rm e}^{-z}$.)

De la gr\`afica d'$h$ es dedueix que les corbes de nivell s\'on circumfer\`encies i ${\mathcal R}(f)=(-\infty,e^{-1}]$ ja que $h$ t\'e un \`unic m\`axim
absolut $z=1$.
\end{enumerate}


{\bf A Problemes fer l'exercici $8$ :}

 Per a les seg\"uents funcions, trobeu valors per a $\delta(\epsilon)$ (``els millors que pogueu'') tals que

si
$\sqrt{x^2+y^2}\leq\delta(\epsilon)$
 llavors $|f(x,y)-f(0,0)|\leq\epsilon$. (Indicaci\'o: Recordeu que $|x|\leq\sqrt{x^2+y^2}$ i

$|y|\leq\sqrt{x^2+y^2}$ .)
\begin{enumerate}
\item $f(x,y)=\sqrt[3]{xy}$.

$\delta(\epsilon)=\epsilon^{3/2}$.
\item $f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq (0,0)$ i $f(0,0)=0$.

$\delta(\epsilon)=\epsilon$.
\item $f(x,y)=\dfrac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}$.

$\delta(\epsilon)=\sqrt{\epsilon/2}$.
\end{enumerate}



{\bf A Teoria fer l'exercici $11$:}

 Calculeu (si existeixen) els seg\"uents l\'{\i}mits.
\begin{enumerate}
\item $\lim_{(x,y)\to (0,1)}\dfrac{\arccos(x/y)}{1+xy}$.

$\pi/2$.
\item $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}$.

No existeix (per rectes).
\item $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$.

$0$.
\item $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$.

No existeix (per rectes).
\item $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^2y^2}{x^4+y^4}$.

No existeix (per rectes).
\item $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$.

No existeix (per rectes).
\item $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$.

$0$.
\item $\lim_{(x,y)\to (0,0)} xy \ln(x^2+y^2)$. (Indicaci\'o: Proveu primer que $\lim_{z\to 0^+}z^a\ln(z)=0$ si $a>0$ |per molt petit que sigui|
 i feu una identificaci\'o adequada de $z$ i una bona tria del valor de $a$.)

$0$.
\item $\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\dfrac{xyz}{x^2+y^2+z^2}$.

$0$.
\item $\lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$, definida si $x,y>0$ i $x\neq y$.

$0$.
\item $\lim_{(x,y)\to (1,1)}\tan\left(\dfrac{\pi}{x^2+y^2}\right)$.

No existeix.
\end{enumerate}













{\bf A Problemes fer els exercicis $13$ i $14$:}

\vspace{0.5cm}

{\bf EX 13.-} Sigui $f(x,y)=\dfrac{\cos(xy)-1}{x^2y^2}$ si $xy\neq 0$ i $f(x,y)=a$ si $xy=0$.
\begin{enumerate}
\item Per a quin valor de $a\in\R$ \'es $f$ cont\'{\i}nua en $(0,0)$?

$a=1/2$. Per Taylor en una variable.
\item Per aquest valor de $a$ discutiu la continu\"{\i}tat de $f$ en $\R^2$.

Cont{\'\i}nua a tot $\R^2$.
\end{enumerate}



{\bf EX 14.-} Per a les seg\"uents funcions definides a trossos discutiu la seva continu\"{\i}tat en $\R^2$.
\begin{enumerate}
\item $f(x,y)=\dfrac{\sin(xy)}{xy}$ si $xy\neq 0$ i $f(x,y)=1$ si $xy=0$.

Cont{\'\i}nua a tot $\R^2$.
\item $f(x,y)=\max\{x,y\}$ si $x>0$ i $f(x,y)=0$ si $x\leq 0$.

Cont{\'\i}nua a  $\R^2\setminus \{(0,y): y\geq 0\}$.
\item $f(x,y)=x$ si $|x|\leq |y|$ i $f(x,y)=y$ si $|x|>|y|$.

Cont{\'\i}nua a  $\R^2\setminus \{(x,-x): x\in\R\}$.
\item $f(x,y)=x$ si $x^2+y^2\leq 1$ i $f(x,y)=y$ si $x^2+y^2> 1$.

\'Es discont{\'\i}nua a $\partial {\mathcal B}^2_1(0,0)\setminus \{(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2} ),(-1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2} )\}$.
\end{enumerate}








\newpage


\noindent{\bf{DERIVABILITAT A  $\R^n$: $2$ hores a TEORIA i $2$ hores a PROBLEMES} }
\vspace{0.5cm}

$f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R$, funci\'o escalar, $a\in\Omega$.

{\bf Notaci\'o:} (Derivada parcial)
\begin{itemize}\item
Newton-Lagrange (1671): $f_{x_j}(a)$
\item
Leibniz (1684): $\frac{\partial}{\partial x_j}f(a)\equiv\partial_{x_j}f(a)\equiv\partial_{j}f(a)$
\item
Arbogast (1800): $D_{x_j} f(a)\equiv D_j f(a)$
\end{itemize}

%$$\frac{\partial}{\partial x_j}f(a)\equiv\partial_{x_j}f(a)\equiv\partial_{j}f(a)\equiv f_{x_j}(a)\equiv D_{x_j} f(a)\equiv D_j f(a).$$

{\bf Definici\'o:} (Derivada parcial)

Sigui $\tilde{f}:{\mathcal B}^1_{\epsilon}(a_j)\subset \R\rightarrow \R; x_j\rightarrow \tilde{f}(x_j):= f(a_1,\dots,x_j,\dots, a_n)$. Definim
la derivada parcial de $f$

respecte $x_j$ en el punt $a$ com:
$$\partial_{j}f(a):=\tilde{f}'(a_j),$$

on $\tilde{f}'(a_j)$ \'es la derivada d'una funci\'o real d'una variable (vegi's C\`alcul I).


OBSERVACIO: Aquesta definici\'o \'es equivalent a:
$$\partial_{j}f(a):=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(a_1,\dots,a_j+t,\dots, a_n)-f(a)}{t}.$$


{\bf Exemple:}

$f(x,y)=\frac{y-\sin(y)}{x^2+y^2},\quad f(0,0)=0$. Llavors:
\begin{enumerate}
 \item $\partial_1f(0,0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{0}{t^3}=0.$
\item $\partial_2f(0,0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t-\sin t}{t^3}=
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^3/6}{t^3}=1/6.$
\end{enumerate}



{\bf Exercici:} Calculeu les derivades parcials de $f(x,y)=xe^{y\sin{x}}$ en el punt $(\frac{\pi}{2},0)$.


SOLUCIO: $\partial_xf(\pi/2,0)=1$, $\partial_yf(\pi/2,0)=\pi/2$.


{\bf Nota:}

Sigui $f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R^m$, funci\'o vectorial, $f=(f_1,\dots,f_m)$, $\Omega$ obert i $a\in\Omega$. La seva derivada

parcial
respecte $x_j$ en el punt $a$ \'es el seg\"uent  vector columna

$$\partial_{j}f(a):=(\partial_{j}f_1(a),\dots \partial_{j}f_m(a))^T.$$

{\bf Cas particular:} (Corba a $\R^n$)

$\sigma:(a,b)\subset \R\rightarrow \R^n; t \rightarrow \sigma(t)=(\sigma_1(t),\dots,\sigma_n(t))\Rightarrow
\sigma'(t) \mbox{ \'es el vector tangent a la corba } $.

{\bf Definici\'o:} (Derivada d'una funci\'o escalar)

$f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R$, funci\'o escalar,  $\Omega$ obert i $a\in\Omega$. La seva derivada


$$\nabla_xf(a)\equiv\nabla f(a)\equiv D_x f(a)\equiv D f(a):=(\partial_1f(a),\dots,\partial_nf(a)),$$

s'anomena {\it gradient} de $f$ en el punt $a$, i \'es un vector fila.


{\bf Definici\'o:} (Punt cr{\'\i}tic)

Si $a$ satisf\`a $\nabla f(a)=0$ direm que \'es un {\it punt cr{\'\i}tic} de $f$.



{\bf Definici\'o:} (Derivada d'una funci\'o vectorial)

$f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R^m$, funci\'o vectorial, $f=(f_1,\dots,f_m)$, $\Omega$ obert i $a\in\Omega$.

$$J_xf(a)\equiv Jf(a)\equiv D_x f(a)= D f(a):=(\nabla f_1(a),\dots,\nabla f_m(a))^T,$$

s'anomena {\it matriu jacobiana} de $f$ en el punt $a$, i \'es un matriu amb $m$ files i $n$ columnes. M\'es

precisament, a la $j$-\`essima
fila hi ha $\nabla f_j(a)$.


{\bf Exercici:} Calculeu la matriu jacobiana de $f(x,y)=(e^{x+y}+y, xy^2, \cos(xy^2))$.


SOLUCIO: \begin{eqnarray*}Jf(x,y)=\left(\begin{array}{cc}
            e^{x+y}&e^{x+y}+1\\
              y^2&2xy\\
              -\sin(xy^2)&  -2y\sin(xy^2)
                                           \end{array}\right)
         \end{eqnarray*}


{\bf Comentari:} A $\R$ $f'(x_0) \quad \exists\Longrightarrow f$ cont{\'\i}nua en $x_0$. En canvi en dimensi\'o mes gran que $1$,

l'exist\`encia de totes les derivades parcials en un  punt NO implica que la funci\'o sigui cont{\'\i}nua

en aquest punt.

{\bf Exemple:}

$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\not= (0,0)$, i $f(0,0)=0$. Clarament $\partial_1 f(0,0)=\partial_2 f(0,0)=0$, pero $f$

no \'es cont{\'\i}nua a $(0,0)$ (Useu dues rectes de diferent pendent que passin per l'origen).



{\bf L'operador $\nabla$}

A $\R^n$, l'operador $\nabla$ es defineix de la seg\"uent forma:

$$\nabla=(\partial_1,\dots,\partial_n).$$

Aplicat a una funcio escalar $f:\Omega\subset\R^n\rightarrow \R$ s'obt\'e el seu gradient. Per\`o tamb\'es es pot aplicar a funcions
vectorials  $f:\Omega\subset\R^n\rightarrow \R^n$, de la seg\"uent forma:

$$\langle\nabla, f(x)\rangle=\sum_{j=1}^n\partial_j f_j(x),$$
obtenint l'anomenada {\it diverg\`encia de $f$}. (Es pot entendre com el producte escalar de $\nabla$ amb $f$).
%\newpage

{\bf A Problemes fer l'exercici $20$.}

Calculeu per derivaci\'o directa les derivades parcials primeres de les seg\"uents funcions.
\begin{enumerate}
\item $f(x,y)=x^{y^x}$.

$\partial_xf(x,y)=x^{y^x}y^x\left(\ln(x)\ln(y)+\frac{1}{x}\right)$, $\partial_yf(x,y)=x^{y^x}y^x xy^{x-1}\ln(x)$.
\item $f(x,y)=x^{xy}$.

$\partial_xf(x,y)=x^{yx}\left(y\ln(x)+y\right)$, $\partial_yf(x,y)=x^{yx}x\ln(x)$.
\item $f(x,y)=(x^2+y^2)^{x}$.

$\partial_xf(x,y)=(x^2+y^2)^{x}\left(\ln(x^2+y^2)+\frac{2x^2}{x^2+y^2} \right)$, $\partial_yf(x,y)=2xy(x^2+y^2)^{x-1}$.
\item $f(x,y)=xy\ln(x^2+y^2)$.

$\partial_xf(x,y)=y\ln(x^2+y^2)+\frac{2x^2y}{x^2+y^2}$, $\partial_yf(x,y)=x\ln(x^2+y^2)+\frac{2y^2x}{x^2+y^2}$.
\item $f(x,y)=\ln(\sqrt{x^2+y^2})$

$\partial_xf(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$, $\partial_xf(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2}$.
\item $f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$.

$\partial_xf(x,y)=-\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}$, $\partial_yf(x,y)=-\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}$.
\item $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$.

$\partial_xf(x,y)=\dfrac{y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}$, $\partial_yf(x,y)=\dfrac{x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}$.
\item $f(x,y)=\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$.

$\partial_xf(x,y)=\dfrac{-4xy^2}{(x^2-y^2)^2}$, $\partial_xf(x,y)=\dfrac{4yx^2}{(x^2-y^2)^2}$
\item $f(x,y)=\dfrac{\cos x+{\rm e}^{xy}}{x^2+y^2}$.
\item $f(x,y,z)={\rm e}^{x}\tan (y^2z)$.
\item $f(x,y,z)=x\sinh\left(\dfrac{y}{z}\right)$.
\end{enumerate}




{\bf A Problemes fer l'exercici $16$.}

Aplicant la definici\'o calculeu (si existeixen) les derivades parcials primeres de les seg\"uents funcions en el $(0,0)$.
\begin{enumerate}
\item $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq (0,0)$ i $f(0,0)=0$.

$\partial_xf(0,0)=\partial_yf(0,0)=0$.
\item $f(x,y)=x\ln(x^2+y^2)$ si $(x,y)\neq (0,0)$ i $f(0,0)=0$.

$\partial_xf(0,0) \nexists$, $\partial_yf(0,0)=0$.
\item $f(x,y)=(x^2+y^2)^{x}$ si $(x,y)\neq (0,0)$ i $f(0,0)=1$.

$\partial_xf(0,0) \nexists$, $\partial_yf(0,0)=0$.
\end{enumerate}



{\bf A Problemes fer l'exercici $21$.}

 Calculeu les derivades parcials primeres de les seg\"uents funcions i doneu la seva matriu jacobiana.
\begin{enumerate}
\item $f(x,y)=({\rm e}^{xy}+y,y^2x)$.
 \begin{eqnarray*}Jf(x,y)=\left(\begin{array}{cc}
            ye^{xy}&xe^{xy}+1\\
              y^2&2xy
                                           \end{array}\right)
         \end{eqnarray*}



\item $f(x,y)=(\cos(x+2y),y{\rm e}^{x+y},\cosh(xy^2))$.
\begin{eqnarray*}Jf(x,y)=\left(\begin{array}{cc}
  -\sin(x+2y)&  -2\sin(x+2y)  \\
            ye^{x+y}&(y+1)e^{x+y}\\
           y^2\sinh(xy^2)& 2xy\sinh(xy^2)
               \end{array}\right)
         \end{eqnarray*}



\item $f(x,y,z)=(z\tan(x^2+y^2),xy\ln(z))$.
\begin{eqnarray*}Jf(x,y,z)=\left(\begin{array}{ccc}
  2xz\sec(x^2+y^2)&   2yz\sec(x^2+y^2) &  \tan(x^2+y^2)\\
            y\ln(z)&x\ln(z)&\frac{xy}{z}
               \end{array}\right)
         \end{eqnarray*}




{\bf A Problemes fer l'exercici $23$.}


D'acord amb la llei dels gasos perfectes tenim la relaci\'o $PV=kT$, on $P$ \'es la pressi\'o, $V$ el volum, $T$ la
temperatura i $k$ una constant. Demostreu que
\[
\dfrac{\partial T}{\partial P}\dfrac{\partial P}{\partial V}\dfrac{\partial V}{\partial T}=-1.
\]
($\dfrac{\partial T}{\partial P}$ vol dir que a\"{\i}llem $T$ com a funci\'o de $(P,V)$ i derivem respecte de $P$. \'Idem per a les altres.)

$\partial_PT=V/k$, $\partial_VP=-kT/V^2$  i $\partial_TV=k/P$ $ \Longrightarrow \partial_PT\partial_VP\partial_TV=-KT/(VP)=-1$.




\end{enumerate}






\newpage

\noindent{\bf{FUNCIONS DE CLASSE   ${\mathcal C}^m$:  $1$ hora a TEORIA i $1$ hora a PROBLEMES}}
\vspace{0.5cm}


{\bf OBSERVACIO: A classe NO ho explico usant permutacions. Ara, per escriure-ho

de manera compacta m'ha semblat la millor opci\'o.}

\vspace{1cm}

Sigui $f:\Omega\subset\R^n\rightarrow \R$.
Analogament com s'ha definit $\partial_{x_j}f(a)$ podem definir la derivada parcial

d'ordre $m$:
$$\partial_{x_{\sigma(1)}\dots x_{\sigma(m)}}^m f(a) \quad \mbox{ on } \sigma: \{1,\dots ,m\}\rightarrow\{1,\dots ,n\}
.$$


{\bf Conveni:} S'entendra que les derivades es fan per ordre de proximitat a $f$.

Aix{\'\i} $\partial_{yx}^2f=\partial_{y}(\partial_{x}f)$.


{\bf Exercici:} Calculeu totes les derivades parcials de segon ordre de $f(x,y)= x^3+xy+y\sin(x)$.

Soluci\'o:

$$ \partial^2_{x^2}f=6x-y\sin(x),\quad \partial^2_{xy}=\partial^2_{yx}f=1+\cos(x),\quad \partial^2_{y^2}f=0.$$








{\bf Definici\'o:}

Direm que $f\in  {\mathcal C}^m(\Omega)$ ($f$ \'es de classe ${\mathcal C}^m(\Omega)$) si
$$\partial_{x_{\sigma(1)}\dots x_{\sigma(m)}}^m f \quad\mbox{cont{\'\i}nua a}\quad \Omega, \quad \forall \sigma.$$

En particular:

$$ f \quad\mbox{cont{\'\i}nua a}\quad \Omega \Longleftrightarrow
f\in  {\mathcal C}^0(\Omega).$$












{\bf Teorema:} (de Schwarz)

$$f\in  {\mathcal C}^2(\Omega) \Longrightarrow \partial^2_{x_kx_j}f= \partial^2_{x_jx_k}f$$

En general:

 $$f\in  {\mathcal C}^m(\Omega) \Longrightarrow \partial_{x_{\sigma(1)}\dots x_{\sigma(m)} }^m f=
\partial_{x_{p(\sigma(1))}\dots x_{p(\sigma(m))} }^m f, \quad \forall p \mbox{ permutaci\'o de $n$ elements}.$$



{\bf Exercici:} \'Es el $24$ de la llista:

Per a quins valors de $a$, $b$, $c$ i $d$ pot existir
una funci\'o $f(x,y)$ tal que $\dfrac{\partial f}{\partial x}=ax+by$ i $\dfrac{\partial f}{\partial y}=cx+dy$?

 Per a
aquests valors calculeu totes les possibles solucions per a $f$.

SOLUCIO: $b=c$ i $f(x,y)=\frac{a}{2}x^2+bxy+ \frac{d}{2}y^2$.

{\bf Teorema:}

$$f\in  {\mathcal C}^m(\Omega) \Longrightarrow f\in  {\mathcal C}^{m-s}(\Omega) \mbox{ amb }  0\leq s\leq m.$$

Equivalentment

$$f\notin  {\mathcal C}^m(\Omega) \Longrightarrow f\notin  {\mathcal C}^{m+s}(\Omega) \mbox{ amb }  0\leq s.$$

En particular, ${\mathcal C}^1$ implica cont{\'\i}nua, equivalentment, no cont{\'\i}nua implica no ${\mathcal C}^1$.

{\bf Exercici:}

Comproveu que la funci\'o $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\not= (0,0)$, i $f(0,0)=0$ no \'es
${\mathcal C}^1$ a l'origen.





{\bf El Laplaci\`a:} Si $f$ \'es una funci\'o escalar, el seu Laplaci\`a es defineix com la diverg\`encia del seu

gradient:
$$\Delta f=\langle \nabla,\nabla f\rangle.$$


{\bf Exercici:} Demostreu que $\Delta \langle x,\nabla f\rangle = 2\Delta f+\langle x,\nabla \Delta f\rangle$. (\'Es senzill per\`o llarg).


\newpage


\noindent
{\bf A Problemes fer l'exercici $25$.}

\noindent
Considereu la funci\'o $f(x,y)=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ si $(x,y)\neq (0,0)$ i $f(0,0)=0$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Aplicant la definci\'o de derivada parcial calculeu $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)$.

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$.
\item Calculeu $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$  si $(x,y)\neq (0,0)$.

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{y^3}{\sqrt{(x^2+y^2)^{3}}}$.
\item Demostreu que $\not\exists\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$.


Per rectes surt molt f\`acil.
\item Quin \'es el subconjunt $D\subset \R^2$ m\'es gran on tenim que $f\in C^1(D)$?

$D=\R^2\setminus \{(0,0)\}$.
\end{enumerate}





{\bf A Problemes fer l'exercici $27$.}

Considereu la funci\'o $f(x,y)=xy\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq (0,0)$ i $f(0,0)=0$.
\begin{enumerate}
\item Calculeu $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ i $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$, si $(x,y)\neq (0,0)$.

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}$,
$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}$
\item Usant la definici\'o  calculeu $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ i $\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)$.

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$.
\item Usant la definici\'o calculeu $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)$ i $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)$.
\[
\left(
\mbox{Indicaci\'o: }\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)=
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)(0,0)=
\lim_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,h)-\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{h}.\right)
\]


$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=1$, $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)=-1$.
\item Quin \'es el subconjunt $D\subset \R^2$ m\'es gran on tenim que $f\in C^2(D)$?

$D=\R^2\setminus \{(0,0)\}$.
\item Quin \'es el subconjunt $D\subset \R^2$ m\'es gran on tenim que $f\in C^\infty(D)$?

$D=\R^2\setminus \{(0,0)\}$.
\end{enumerate}

\newpage
\noindent
\textbf{LA REGLA DE LA CADENA} ($1$h T i $1$h P)

\vspace{0.5\baselineskip}
\noindent
A $\R$ la regla de la cadena diu el seg\"uent: Donades
$f:\Omega^*\rightarrow R$ i $g:\Omega\rightarrow \R$ tenim que si
$\tilde{f}(x)\equiv f(g(x))$, llavors $\tilde{f}'(x)=f'(g(x))g'(x)$.

\vspace{0,5\baselineskip}
En general: per funcions vectorials $f:\Omega^*\subset
\R^m\rightarrow \R^k; y\rightarrow f(y)$, i
$g:\Omega\subset\R^n\rightarrow \R^m; x\rightarrow g(x)$.
tindrem que la matriu jacobiana de $\tilde{f}$ es pot calcular de
la seg\"uent forma:
$$J_{x}\tilde{f}(x)=J_yf(g(x))\cdot J_{x}g(x).$$

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Cassos concrets:}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
$f:\Omega^*\subset \R^m\rightarrow \R; y\rightarrow f(y)$ funci\'o
escalar, i $g:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R^m; x\rightarrow g(x)$ funci\'o
vectorial.
\begin{displaymath}
  \tilde{f}(x):=f\circ g(x)= f(g(x))=f(g_1(x),\dots,g_m(x)),
\end{displaymath}
llavors:

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
De la regla de la cadena dedu{\"\i}m:
$$\nabla_{x}\tilde{f}(x)=\nabla_yf(g(x))\cdot J_{x}g(x).$$
Per tant,
$$\partial_{x_j}\tilde{f}(x)=\langle \nabla_yf(g(x)),(\partial_{x_j}g(x))^T\rangle=
\nabla_yf(g(x))\cdot \partial_{x_j}g(x)=\sum_{l=1}^m\partial_{y_l}f(g(x))\partial_{x_j}g_l(x).
$$

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Exercici:} $f(u,v,w)=u^2+v^2-w$, $g(x,y)=(x^2y,y^2,e^{-xy})$. Calculeu $\partial_{x}\tilde{f}(x,y)$.

\vspace{0,25\baselineskip} \emph{Soluci\'o:} $\partial_{x}\tilde{f}(x,y)=4x^3y^2+ye^{-xy}$.









{\bf Exemple:} (Corbes a $\R^n$)

$\sigma:(a,b)\subset \R\rightarrow \R^n; t \rightarrow \sigma(t)=(\sigma_1(t),\dots,\sigma_n(t))$,
$f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow f(x)$ funci\'o escalar.


$$\tilde{f}(t):=f(\sigma(t))\Longrightarrow \tilde{f}'(t)=\langle \nabla_xf(\sigma(t)),(\sigma'(t))^T\rangle
=\sum_{l=1}^m\partial_{l}f(\sigma(t))\sigma'_l(t).$$








%{\bf A Teoria:} Fer l'exercici $33$.




En general, per funcions vectorials

$f:\Omega^*\subset \R^m\rightarrow \R^k; y\rightarrow f(y)$, i $g:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R^m; x\rightarrow g(x)$.

$\tilde{f}(x):=f\circ g(x)$,
en forma matricial tindrem doncs que la matriu jacobiana de $\tilde{f}$ ser\`a:

$$J_{x}\tilde{f}(x)=J_yf(g(x))\cdot J_{x}g(x).$$



Fixem-nos que la regla de la cadena tamb\'e ens diu (multiplicant fila per columna) que:
$$\partial_{x_j}\tilde{f}_r(x)=\sum_{l=1}^m\partial_{y_l}f_r(g(x))\partial_{x_j}g_l(x).
$$








{\bf Exercici:}

$f(u,v)=(\cos v+u^2, e^{u+v}, u-v)$, $g(x,y)=(e^{x^2}, x-\sin y)$. Calculeu $J \tilde{f}(0,0)$.

Soluci\'o:

\begin{eqnarray*}
 J \tilde{f}(0,0)=\left(\begin{array}{cc}
0&0\\e&-e\\-1&1
 \end{array}\right).
\end{eqnarray*}





{\bf Aplicaci\'o:} (Hipersuperf{\'\i}cies de nivell) ({\bf Aix\`o NO ho explico a classe})

$g:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow g(x)$ funci\'o escalar.


{\bf Definici\'o:}

El conjunt $\{x\in\R^n : g(x)=\mbox{Constant}\}$ s'anomena hipersuperfice de nivell (HSN)

\vspace{0.5cm}
Sigui $\sigma(t)\subset \mbox{HSN}$ una corba qualsevol i $\tilde{g}(t):=g(\sigma(t))=\mbox{Constant}$,
llavors
$$0=\tilde{g}'(t)=\langle \nabla g(\sigma(t)),(\sigma'(t))^T\rangle\quad \forall\sigma(t)\subset \mbox{HSN}
\Rightarrow \nabla g \perp \mbox{HSN}.$$

Per tant, donat $x_0\in\mbox{HSN}$, el {\it hiperpla tangent} a la HSN  que passa per $x_0$ ($HPT_{x_0}$) \'es
$$\langle \nabla g(x_0),x-x_0\rangle=0.$$

En particular donada $f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow f(x)$ funci\'o escalar, la seva gr\`afica
$$G(f):=\{(x,x_{n+1})\in \R^{n+1}: x_{n+1}-f(x)=0\}$$

 \'es una HSN de $g(x,x_{n+1})= x_{n+1}-f(x)$. Per tant,  $HPT_{(x_0, f(x_0))}$ \'es
$$x_{n+1}=f(x_0)+\langle \nabla f(x_0),x-x_0\rangle.$$

{\bf Nota:} Donada $G{f}$, $N(x_0):=(\nabla f(x_0),-1)$ \'es el vector normal a  $HPT_{(x_0, f(x_0))}$. Llavors

si $\{e^{m}_j\}_{j=1,\cdots,m}$ \'es la base can\`onica de $\R^n$:
$$\langle v^{n+1}_j(x_0), N(x_0)\rangle=0, \quad \forall j=1,\cdots,n,\qquad \mbox{ on }\quad
v^{n+1}_j(x_0):=e^{n+1}_j+\partial_jf(x_0)e^{n+1}_{n+1}.
$$

Per tant $\{ v^{n+1}_j(x_0)\}_{j=1,\cdots,n}$ generen  $HPT_{(x_0, f(x_0))}$

De fet, si considerem $\varphi:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R^{n+1}; x\rightarrow (x,f(x))$, llavors
$$J\varphi(x_0)e^n_j= v^{n+1}_j(x_0), \quad \forall j=1,\cdots,n.$$


La matriu jacobiana de $\varphi$ envia la base can\`onica de $\R^n$ al vectors que generen  $HPT_{(x_0, f(x_0))}$.

\vspace{0.5cm}


{\bf A Problemes fer els exercicis $29$, $33$}

 {\bf EX 29.-} Siguin $f(u,v)=(\tan(u-1)-{\rm e}^v,u^2-v^2)$ i $g(x,y)=({\rm e}^{x-y},x-y)$.
Calculeu $D(f\circ g)(1,1)$

mitjan\c{c}ant la regla de la cadena.


\begin{eqnarray*}
 D {f}(u,v)=\left(\begin{array}{cc}
\sec^2(u-1)&-e^v\\2u&-2v
 \end{array}\right), \quad
D {g}(x,y)=\left(\begin{array}{cc}
e^{x-y}&-e^{x-y}\\1&-1
 \end{array}\right).\quad g(1,1)=(1,0)\Longrightarrow
\end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*}
 D(f\circ g)(1,1)=Df(1,0)Dg(1,1)=
\left(\begin{array}{cc}
1&-1\\2&0
 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}
1&-1\\1&-1
 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0&0\\2&-2
 \end{array}\right).
\end{eqnarray*}

{\bf EX 33.-} Donada una funci\'o $f=f(u,v,w)$ de classe $C^1$, calculeu mitjan\c{c}ant la regla de la cadena

expressions per a les derivades o derivades parcials primeres de la funci\'o $h$ en termes de les de

$\alpha$,
$\beta$ i $\gamma$ en cadascun dels casos seg\"uents.
\begin{enumerate}
\item $h(x)=f(x,\alpha(x),\beta(x)).$

$h'(x)= \partial_1f(x,\alpha(x),\beta(x))+\partial_2f(x,\alpha(x),\beta(x))\alpha'(x)+\partial_3f(x,\alpha(x),\beta(x))\beta'(x)$.
\item $h(x,y)=f(y,\alpha(x,y),\beta(x)).$

$\partial_xh(x,y)=\partial_2f(y,\alpha(x,y),\beta(x))\partial_x\alpha(x,y)+\partial_3f(y,\alpha(x,y),\beta(x))\beta'(x)$,

$\partial_yh(x,y)=\partial_1f(y,\alpha(x,y),\beta(x))+\partial_2f(y,\alpha(x,y),\beta(x))\partial_y\alpha(x,y)$.

\item $h(x,y,z)=f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z)).$

$\partial_xh(x,y)=\partial_3f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z))\partial_x\gamma(x,y,z)$,


$\partial_yh(x,y)= \partial_2f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z))\partial_y\beta(y,z)+
\partial_3f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z))\partial_y\gamma(x,y,z)$,


$\partial_zh(x,y)=   \partial_1f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z))\alpha'(z)+\partial_2f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z))\partial_z\beta(y,z)$


\hspace{2cm} $+\partial_3f(\alpha(z),\beta(y,z),\gamma(x,y,z))\partial_z\gamma(x,y,z)$.

\end{enumerate}


\newpage

\noindent{\bf{DERIVADA DIRECCIONAL $1$ hora a  PROBLEMES}}
\vspace{0.5cm}

$f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow f(x)$, $a\in\Omega$, $v$ vector de $\R^n$ amb $||v||=1$.

Definim $\tilde{f}:{\mathcal B}_r^1(0)\subset \R\rightarrow \R; t\rightarrow \tilde{f}(t):=f(a+tv)$.

{\bf Definici\'o:}(derivada direccional de $f$ en $a$ segons $v$)
$$\partial_vf(a)\equiv D_v f(a):=\tilde{f}'(0).$$





OBSERVACIO: Aquesta definici\'o \'es equivalent a:
$$\partial_vf(a)\equiv D_v f(a)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}.$$






{\bf Teorema:} (F\'ormula del gradient)

$f\in {\mathcal C}^1(\Omega)\Longrightarrow\partial_vf(a)=\langle v,\nabla f(a)\rangle$.



{\bf Nota:}

$\partial_{e^n_j}f(a)=\partial_{j}f(a)$.



{\bf Proposici\'o:} Si $f\in {\mathcal C}^1(\Omega)$, $\Omega$ obert i $a\in  \Omega$. Susposem que $a$ NO \'es un punt cr{\'\i}tic, llavors

la derivada direccional m\`axima en $a$ s'asoleix en la direccio de $v=\nabla f(a)/||\nabla f(a)||$ i val $||\nabla f(a)||$.

Prova: \'Es trivial a partir del Teorema anterior.


{\bf Exemple:} Calculeu la derivada direccional m\`axima de $f(x_1,x_2)=x_1^{x_2}$ en $(e,1)$.

Soluci\'o: $\sqrt{1+e^2}$.



{\bf A Problemes fer els exercicis $34$ i $35$.}

{\bf EX. 34.-} Useu la f\'ormula del gradient per calcular les seg\"uents derivades direccionals.
\begin{enumerate}
\item $D_uf(1,0)$ si $f(x,y)=\ln\sqrt{x^2+y^2}$ i $u=(2/\sqrt{5},1/\sqrt{5})$.

$D_uf(1,0)=2/\sqrt{5}$.
\item $D_uf(0,-1)$ si $f(x,y)={\rm e}^x\cos(\pi y)$ i $u=(-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$.

$D_uf(0,-1)=1/\sqrt{2}$.
\item $D_uf(1,0,0)$ si $f(x,y,z)=x^2{\rm e}^{-yz}$ i $u=(1/\sqrt{3},-1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$.

$D_uf(1,0,0)=2/\sqrt{3}$.
\end{enumerate}

{\bf EX. 35.-}  El perfil d'una certa muntanya es modela mitjan\c{c}ant la funci\'o $$h(x,y)=5000-0.01x^2-0.02y^2,$$

 on si $(x,y)$
\'es un punt del pla (``imaginari'') que defineix la base de la muntanya, llavors $z=h(x,y)$

ens d\'ona la corresponent al\c{c}ada.

\begin{enumerate}
\item Un muntanyer es troba en el punt $(x,y)=(10,10)$, a punt de fer el cim.
En quina direcci\'o s'ha de moure per pujar m\'es r\`apidament? Quin \'es el pendent?


$v=-(1/\sqrt{5},2/\sqrt{5})$. Pendent \'es la derivada direccional, per tant, val $1/\sqrt{5}$.
\item Si enlloc de triar la direcci\'o de m\`axima pendent opta per triar-ne una amb pendent del $40\%$,
quina direcci\'o ha de seguir? (Indicaci\'o: Un pendent del $40\%$ correspon a un vector $(\alpha,\beta)\in\R^2$ unitari
tal que $D_{(\alpha,\beta)}h(10,10)=0.4$. Hi ha dues possible solucions per a $(\alpha,\beta)$.)


$(0,-1)$ i $(-4/5,-3/5)$.
\end{enumerate}


\newpage

\noindent
\textbf{F\'{O}RMULA DE TAYLOR} ($2$ hores a TEORIA i $1$ hora a PROBLEMES)
\vspace{0,5\baselineskip}

%{\bf Teorema del valor mig:} Sigui $f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow f(x)$, $f\in{\mathcal C}^1(\Omega)$, $x^0, x^1\in \Omega$.

%Si existeix un segment $\overline{x^0x^1}\subset \Omega$, que uneix $x^0$ i $x^1$, llavors sempre existeix $x^*\in \overline{x^0x^1}$ de manera

%que
%$$f(x^1)-f(x^0)=\langle\nabla f(x^*),x^1-x^0\rangle .$$


%NOTA: Aquest Teorema ens permet afitar l'error que fem a l'aproximar $f(x^1)$ per $f(x^0)$.

%Efectivament, l'error esta afitat per
%$$|\langle\nabla f(x^*),x^1-x^0\rangle  |\leq (\mbox{Cauchy-Schwarz})\leq ||\nabla f(x^*) ||||x^1-x^0 ||\leq M ||x^1-x^0 ||,$$

%on
%$M=max_{x\in\overline{x_0x_1}}||\nabla f(x) ||$.


%Una  acotaci\'o  millor de l'error \'es
%$$|\langle\nabla f(x^*),x^1-x^0\rangle |\leq \sum_{j=1}^n|\partial_j f(x^*) ||x_j^1-x_j^0 |\leq \sum_{j=1}^nM_j |x_j^1-x_j^0 |,$$

%on
%$M_j=max_{x\in\overline{x_0x_1}}|\partial_j f(x) |$.


%Nota: Al ser dificil calcular expl{\'\i}citament els valors de $M_j$, el que farem \'es la seg\"uent aproximaci\'o:

%$M_j\cong |\partial_j f(x^0)|$,
%i aix{\'\i} obtindrem l'anomenada ''{\bf f\'ormula de propagaci\'o de l'error}``:

%$$|\langle\nabla f(x^*),x^1-x^0\rangle |\leq \sum_{j=1}^n |\partial_j f(x^0)| |x_j^1-x_j^0 |.$$


%NOTA: l'error relatiu es defineix com $|f(x^1)-f(x^0)|/|f(x^0)|$.


%{\bf Exercici 41:} El fem a teor{\'\i}a

% El per\'{\i}ode d'oscil$\cdot$laci\'o d'un p\`endol ve donat per $T(L,g)=2\pi\sqrt{L/g}$, on $L$
%\'es la longitud de

%la barnilla i $g$ l'acceleraci\'o de la gravetat. Si per a unes dades concretes $L_0$ i $g_0$ obtenim el
%valor

%$T(L_0,g_0)$ i considerem unes altres dades lleugerament modificades, $L=L_0+\Delta L$ i $g=g_0+\Delta g$,

%useu la f\'ormula de
%propagaci\'o de l'error per veure que, suposant que $\Delta L$ i $\Delta g$ s\'on quantitats

%prou petites, llavors podem estimar l'error
%relatiu en aproximar $T(L,g)$ per $T(L_0,g_0)$ per l'expressi\'o:
%\[
%\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{|\Delta L|}{L_0}+\dfrac{|\Delta g|}{g_0}\right).
%\]

\noindent
\textbf{F\'ormula de Taylor a $\R^n$:} Sigui
$f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow f(x)$, $a,
a+h\in\Omega$ obert, $f\in{\mathcal C}^k(\Omega)$
\begin{itemize}
\item Aproximaci\'o lineal: $f(a+h)\cong f(a)+\langle h,\nabla f(a)\rangle$.
\item Aproximaci\'o quadr\`atica:
  \begin{displaymath}
    f(a+h)\cong f(a)+\langle
    h,\nabla f(a)\rangle+\frac{1}{2}\langle hHf(a),h\rangle,
  \end{displaymath}
on $Hf(a):=J\nabla f(a)$ \'es una matriu sim\`etrica $n\times n$
anomenada {\it hessiana}.
\item Aproximaci\'o d'ordre $k$:
\begin{displaymath}
f(a+h)\cong \sum_{j=0}^k \frac{\langle h,\nabla \rangle^j}{j!}
f(a).
\end{displaymath}
Aqu{\'\i} $\langle h,\nabla \rangle$ \'es l'operador $\sum_{j=1}^n h_j\partial_j$, i
$\langle h,\nabla \rangle^jf=\langle h,\nabla \rangle(\langle h,\nabla \rangle^{j-1}f)$.
\end{itemize}

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Nota:} El pas de $\R$ a $\R^n$ \'es la substituci\'o
$\frac{d}{dx_1}\rightarrow\langle h,\nabla \rangle$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Nota:} $\mathop{\mathrm Tr} Hf(a)=\Delta f(a)$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Cas particular:} per $ n = 2$, $f:\Omega\subset
\R^2\rightarrow \R; (x,y)\rightarrow f(x,y)$, $a, a+h\in\Omega$, $f\in{\mathcal C}^k(\Omega)$;
l'aproximaci\'o d'ordre $k$ s'escriu
$$f(a+h)\cong \sum_{j=0}^k\sum_{l=0}^j\frac{1}{l!(j-l)!}\partial^j_{x^ly^{j-l}}f(a)h_1^lh_2^{j-l}.$$

\vspace{\baselineskip}
\noindent
En general, a $\R^n$ tindrem:
$$f(a+h)\cong \sum_{j=0}^k\sum_{|m|_{1}=j}\frac{1}{m_1!\cdots
  m_n!}\partial^j_{x_1^{m_1}... x_n^{m_n}}f(a)h_1^{m_1}\dots
h_n^{m_n},$$
on la norma $|\cdot|_{1}$ es defineix com
$|\eta|_{1}:=\sum_{i=1}^{n} |\eta_{i}|$, $\eta\in\R^{n}$.


% \end{itemize}
\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Aplicaci\'o al c\`alcul de derivades d'ordre superior.}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exemple:} Calculeu $\partial^7_{y^3x^4}f(3,0)$, on
$f(x,y)=\left(\frac{x}{3}\right)^x$. Per fer-ho escrivim:
$$f(x,y)=e^{y\ln\left(1+\frac{x-3}{3}\right)},$$
i com $e^z\cong 1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}$ observem que per
obtenir el terme del polinomi de Taylor que cont\'e $y^3$, hem de considerar
$$\frac{1}{6}y^3\ln^3\left(1+\frac{x-3}{3}\right)\cong \frac{1}{6}y^3\left(\frac{x-3}{3}\right)^3\left(1-\frac{x-3}{6}\right)^3,$$
per concloure que
$$\frac{1}{3!4!}\partial^7_{y^3x^4}f(3,0)=-\frac{1}{324}\Longrightarrow \partial^7_{y^3x^4}f(3,0)=-\frac{4}{9}
.$$

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exercici:} Sigui $f(x,y)=e^{xy^3}$. Quan val $\partial^{12}_{x^3y ^9}f(0,0)$? Resposta: $9!$

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Exemple:} Calculeu $\partial^{10}_{x^5y^2z^3}f(0,0,0)$ on
$f(x,y,z)=e^{xy}\sin(xz)$. Notem que
$$f(x,y,z)=\dots -\dfrac{1}{2!3!}x^5y^2z^3+\dots =
\dfrac{1}{5!2!3!}\partial^{10}_{x^5y^2z^3}f(0,0,0)x^5y^2z^3+\dots$$
Per tant, $\partial^{10}_{x^5y^2z^3}f(0,0,0)=-5!$

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Generalitzaci\'o:} $f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R^m;
x\rightarrow f(x)$, $a, a+h\in\Omega$ obert; llavors
l'aproximaci\'o lineal \'es:
\begin{displaymath}
  f(a+h)\cong f(a)+ h (Jf(a))^{\top}.
\end{displaymath}
%
%\vspace{\baselineskip}
%\noindent
Com a cas particular, si $f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R^n$
\'es inversible i $f(a)=b$, llavors $f^{-1}(b+h)\cong a+
h.((Jf(a))^{-1})^T$; i per tant, en un entorn de $b$ podem
calcular {\it aproximadament} la inversa de $f$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Residu de Taylor:} Donada $f:\Omega\subset \R^n\rightarrow
\R; x\rightarrow f(x)$; $a, a+h\in\Omega$ obert; $f\in{\mathcal
  C}^{k+1}(\Omega)$. Definirem el \emph{residu d'ordre $k$} en un
entorn del punt $a$, com la seg\"uent funci\'o:
\begin{displaymath}
R_k(h)= f(a+h)- \sum_{j=0}^k \frac{\langle h,\nabla \rangle^j}{j!}
f(a).
\end{displaymath}
La propietat important del residu, \'es el seg\"uent resultat:
\begin{displaymath}
  \lim_{h\rightarrow 0}\frac{|R_k(h)|}{||h||^k}=0.
\end{displaymath}

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Aplicaci\'o al c\`alcul de l{\'\i}mits:} Fer a teoria l'exercici $43$:

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
Calculeu, si existeix, el seg\"uent l\'{\i}mit.
\begin{displaymath}
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac{{\rm e}^x\sin(x+y)-x-y-x^2-xy}{x^2+y^2}.
\end{displaymath}
(Indicaci\'o: Calculeu el desenvolupaments de Taylor del numerador
fins ordre 2 i useu les propietats del residu de Taylor $R_2(x,y)$).

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'o:} Aquest l{\'\i}mit val zero.

% \newpage
% \textbf{Proposici\'{o}.} En les condicions de la definici\'{o} del
% Residu de Taylor (veure adalt); donades $a\in\Omega$, $h\in\R^{n}$
% amb $a+h\in\Omega$; existeix $\xi\in\[0,1]$ t.q.~el residu de
%   Taylor d'ordre $k$

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{A Problemes, fer l'exercici $37$} (com exemple d'aproximaci\'{o} lineal):

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
La resist\`encia total $R$ corresponent a dues resist\`encies
$R_1$ i $R_2$ conectades en paral$\cdot$lel verifica
\begin{displaymath}
\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}.
\end{displaymath}
Usant l'aproximaci\'o lineal, estimeu la variaci\'o del valor de
$R$ si incrementem el valor de $R_1$ de $10$ ohms a $10.5$ ohms i
decreixem el valor de $R_2$ de $15$ ohms a $13$ ohms.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.}
$R(R_1,R_2)=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$. Llavors,
\begin{displaymath}
  R(10,15)=6,\qquad \partial_1R(10,15)=9/25,\qquad \partial_2R(10,15)=4/2.
\end{displaymath}
D'altra banda,
\begin{displaymath}
R(10.5,13)-R(10,15)\cong \partial_1R(10,15)\times
0.5+ \partial_2R(10,15)\times (-2)=-7/50.
\end{displaymath}

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf A Problemes, fer  els exercicis $40$ i $41$:}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{EX.~40.-} Calculeu totes les derivades parcials fins ordre
2 de les seg\"uents funcions i doneu el seu desenvolupament de Taylor
fins a termes de grau 2 inclosos entorn del punt que s'indica en
cada cas.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Taylor de $f(x,y)=\sin(xy)$ entorn del punt $(1,\pi/2)$.
\item Taylor de $f(x,y)=x^y$ entorn del punt $(1,1)$.
\item Taylor de $f(x,y)={\rm e}^{x/y}$ entorn del punt $(0,1)$.
\item Taylor de $f(x,y,z)={\rm e}^{-x}\sin(yz)$ entorn del punt $(0,1,\pi)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{EX.~41.-} Mitjan\c{c}ant l'us de desenvolupaments de
Taylor de funcions d'una variable (coneguts a priori), calculeu
els desenvolupaments de Taylor en l'origen fins a termes de grau
dos inclosos de les seg\"uents funcions.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f(x,y)={\rm e}^{xy}\ln(1+x+y)$.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y)\sim \ln(1+x+y)\sim x+y- (x+y)^2/2$.
\item $f(x,y)={\rm e}^x\cos y$.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y)\sim 1+x+(x^2-y^2)/2$.

\item $f(x,y)=\dfrac{1}{1+x+y}$.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y)\sim 1-(x+y)+ (x+y)^2/2$.
\item $f(x,y,z)={\rm e}^{x+y}\sqrt{1+x}\cos(x+y+z)$.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y,z)\sim 1+\frac{3}{2}x +
y-\frac{3}{8}x^2+\frac{1}{2}yx- zx-zy-\frac{1}{2}z^2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
{\bf A Problemes, fer l'exercici $42$:}

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
Calculeu el desenvolupament de Taylor en l'origen de les
seg\"uents funcions fins l'ordre que s'indica en cada cas i doneu
el valor de totes les derivades parcials de la funci\'o en el
$(0,0)$ corresponents a l'ordre m\`axim fins al qual s'ha
desenvolupat (p.~ex., si desenvolupem fins a ordre $5$
volem $\partial^5_{x^{n}y^{m}} f(0,0)$, amb $n+m=5$).
%
\begin{enumerate}[(a)]
\item  $f(x,y)=\ln(1+x^2-y)$ fins ordre 3.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y)\cong
y-x^2+\frac{1}{2}y^2-yx^2+\frac{1}{3}y^3\Longrightarrow
  \partial^3_{y^3}f(0,0)=2,\quad\partial^3_{yx^2}f(0,0)=-2$.
\item $f(x,y)=\cos(xy)$ fins ordre 8.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y)
\cong 1-\frac{1}{2}(yx)^2+\frac{1}{24}(yx)^4
\Longrightarrow \partial^4_{y^4x^4}f(0,0)=24$.
\item $f(x,y)={\rm e}^{x^2-y^2}$ fins ordre 8.

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $f(x,y) \cong 1+
(x^2-y^2)+\frac{1}{2}(x^2-y^2)^2+\frac{1}{6}(x^2-y^2)^3+\frac{1}{24}(x^2-y^2)^4
\Longrightarrow$
\begin{displaymath}
\partial^8_{x^8}f(0,0)=\partial^8_{y^8}f(0,0)=8!/4!,\ \partial^8_{y^2x^6}f(0,0)
=\partial^8_{y^6 x^2}f(0,0)=-5!\, 2,\ \partial^8_{y^4x^4}f(0,0)=4!\, 6.
\end{displaymath}
\end{enumerate}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\textbf{A Problemes, fer l'exercici $44$:}

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
Determineu el valor de  $\lambda\in\R$ per tal que:
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\arctan(x^2+y)-x^2-y-\lambda y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}=0.
\]

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.}
$\arctan(x^2+y)\sim x^2+y-\frac{1}{3}y^3\Longrightarrow \lambda =-1/3$.

\newpage

\noindent
\textbf{TEOREMA DE LES FUNCIONS INVERSA I IMPL\'{I}CITA} ($1$h T, $1$h P)
\vspace{0.5cm}

\noindent
TEOREMA DE LA FUNCIO INVERSA:
\vspace{0,5\baselineskip}

\noindent
Sigui $f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \Omega^*\subset \R^n$  una funci\'o ${\mathcal C}^1$ a $\Omega$. Donat $p\in \Omega$
tal que $det Df(p)\not= 0$, llavors $f$ \'es {\bf localment
  inversible}, \'es a dir, existeix $\epsilon>0$ demanera  que
${\mathcal B}_{\epsilon}^n(p)\subset \Omega$ i
\begin{eqnarray*}
 f: {\mathcal B}_{\epsilon}^n(p)\rightarrow f\left({\mathcal B}_{\epsilon}^n(p)\right),
\end{eqnarray*}
($f$ restringida a la bola) \'es bijectiva, i per tant t\'e inversa $f^{-1}$.

%$f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \Omega^*\subset \R^n$ bijectiva $f^{-1}:\Omega^*\rightarrow \Omega$
%inversa de $f$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Q\"{u}esti\'{o}:} com es calcula la inversa?
%
%\vspace{\baselineskip}
%\noindent
De la relaci\'o $f^{-1}(f(x))=x$, aplicant la regla de la cadena s'obt\'e
$$ Df^{-1}(f(x))=(Df(x))^{-1},$$
sempre que $Df(x)$ sigui inversible.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
Sigui $Df(x)$ la matriu $n\times n$ de les derivades de $f$, al seu determinant, $\det Df(x)$,
l'anomenarem {\it jacobi\`a} de $f$. Usant que $det AB=\det A \det B$ s'obt\'e
$$\det Df^{-1}(f(x))=1/ \det Df(x).$$

\noindent
{\bf Exercici:} Sigui $f:\R^2\rightarrow\R^2$ definida per $f(x,y)=(e^x+e^y,e^x-e^y)$. Comproveu que existeix
$f^{-1}$ i calculeu
$Df^{-1}$.

\vspace{\baselineskip}

%{\bf Derivaci\'o impl{\'\i}cita}

\noindent
TEOREMA DE LA FUNCIO IMPLICITA:

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
Donada la funci\'o
$f:\Omega^*\subset \R^n\times \R^m\rightarrow \R^m;
(x,y)\rightarrow f(x,y)$, amb $x\in\R^n$ i $x\in\R^n$, (de classe
${\mathcal C^1}$ a $\Omega$) considerem el sistema d'equacions
$f(x,y)=0$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
Volem a{\"\i}llar les variables $y$'s en funci\'o de les
$x$'s. Quan \'es possible fer-ho?

\vspace{\baselineskip}
\noindent
Considerem $(p,q)\in\Omega^*$ tal que $f(p,q)=0$, llavors si $det
D_yf(p,q)\not=0$ ($D_yf$ \'es la matriu derivada de $f$ respecte les variables $y$
que \'es una matriu quadrada), podem a{\"\i}llar {\bf localment} les
$y$'s en funci\'o de les $x$'s. \'Es a dir, existeix $\epsilon>0$ i
una funci\'o ${\mathcal C^1}$ en la bola de radi $\epsilon$ centrada en $p$
\begin{eqnarray*}
 g:{\mathcal B}_{\epsilon}^n(p)\rightarrow \R^m; x\rightarrow g(x),
\end{eqnarray*}
tal que $\forall\, x\in {\mathcal B}_{\epsilon}^n(p)$,
\begin{eqnarray*}
 g(p)=q\quad \mbox{ i}\quad f(x,g(x))=0.
\end{eqnarray*}
La pregunta ara \'es: Com calculem la deriva de $g$ en el punt $p$?

\vspace{\baselineskip}
\noindent
Un exemple per entendre aquest tipus de derivaci\'o \'es el seg\"uent:
Donades $f:\Omega^*\subset \R^2\rightarrow\R$; $(x,y)\rightarrow
f(x,y)$ i $g:\Omega\subset \R\rightarrow\R$; $x\rightarrow g(x)$. Suposem que
satisfan l'equaci\'o
$$f(x,g(x))=0,$$
%
i volem calcular $g'(x)$ en funci\'o de les derivades de $f$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
Aplicant la regla de la cadena obtenim
$$
\partial_xf(x,g(x))+\partial_yf(x,g(x))g'(x)=0\quad \Longleftrightarrow \quad g'(x)=-\frac{\partial_xf(x,g(x))}{\partial_yf(x,g(x))}.
$$
En general: per funcions vectorials
$f:\Omega^*\subset \R^n\times \R^m\rightarrow \R^m;
(x,y)\rightarrow f(x,y)$, amb $x\in\R^n$, $y\in\R^m$; i $g:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R^m;
x\rightarrow g(x)$.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
Suposem que satisfan l'equaci\'o
$$f(x,g(x))=0,$$
i volem calcular $Dg(x)$ en funci\'o de les derivades de $f$.


\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
Si definim $\tilde{g}:\Omega\subset\R^n\rightarrow\R^n\times\R^m$,
$x\rightarrow (x,g(x))$. L'equaci\'o la podem escriure com $\tilde{f}(x)\equiv f(\tilde{g}(x))=0$, i ara aplicant la regla de la cadena s'obt\'e:
$$D_xf(x,g(x))+D_yf(x,g(x))Dg(x)=0\Longleftrightarrow Dg(x)=-\left(D_yf(x,g(x))\right)^{-1}D_xf(x,g(x)).
$$

\vspace{0,5\baselineskip}\noindent
\textbf{Un Exemple senzill:} $f:\Omega\subset \R^3\rightarrow \R$,
$f(x,y,z)=0$. Sigui $(x_0,y_0,z_0)\in \Omega$ tal que
$f(x_0,y_0,z_0)=0$. La condici\'o per a{\"\i}llar ``$z$'' en funci\'o de $(x,y)$ en un entorn de $(x_0,y_0,z_0)$ \'es
\begin{eqnarray*}
 \partial_zf(x_0,y_0,z_0)\not= 0.
\end{eqnarray*}

\vspace{\baselineskip}
\noindent
Llavors existeix $\epsilon>0$ i
una funci\'o ${\mathcal C^1}$ en la bola de radi $\epsilon$ centrada en $(x_0,y_0)$
\begin{eqnarray*}
 g:{\mathcal B}_{\epsilon}^2(x_0,y_0)\rightarrow \R^m; (x,y)\rightarrow g(x,y),
\end{eqnarray*}
tal que $\forall (x,y)\in {\mathcal B}_{\epsilon}^2(x_0,y_0)$
\begin{eqnarray*}
 g(x_0,y_0)=z_0\quad \mbox{ i}\quad f(x,y,g(x,y))=0.
\end{eqnarray*}
Les derivades de $g$ en el punt $(x_0,y_0)$ es calculen de la seg\"uent forma:
$$Dg(x_0,y_0)=-\left(D_zf(x_0,y_0,z_0)\right)^{-1}D_{(x,y)}f(x_0,y_0,z_0).
$$
\'Es a dir:
$$\partial_x g(x_0,y_0)=-\frac{1}{\partial_z f(x_0,y_0,z_0)}\partial_x f(x_0,y_0,z_0);\quad
\partial_y g(x_0,y_0)=-\frac{1}{\partial_z f(x_0,y_0,z_0)}\partial_y f(x_0,y_0,z_0).
$$
Observeu que tamb\'e es poden calcular aquestes derivades,
derivant implicitament l'equaci\'o
\begin{displaymath}
  f(x,y,g(x,y))=0
\end{displaymath}
i avaluar en el punt $(x_0,y_0,z_0)$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
Efectivament, usem la notaci\'o $f_x\equiv \partial_x f, f_{xy}\equiv \partial_{xy} f, ...$, llavors tindrem:

$$f_x+f_zg_x=0,\quad f_y+f_zg_y=0,
$$
i d'aqu{\'\i} trobem $g_x$ i $g_y$. Tamb\'e podem trobar les derivades d'ordre superior, per exemple $f_{xy}$. Primer derivem impl{\'\i}citament respecte $y$ i despr\`es respecte $x$ per
obtenir
$$f_{xy}+f_{z^2}g_yg_x+f_{zx}g_y+f_zg_{xy}=0,
$$
subtituint els valors de $g_x$ i $g_y$ finalment arrivem a:
$$f_{xy}+\frac{f_{z^2}f_yf_x}{f^2_z}-\frac{f_{zx}f_y}{f_z}+f_zg_{xy}=0,
$$
i d'aqu{\'\i} obtenim el valor de $g_{xy}$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exercici:}
El sistema
\begin{eqnarray*}
 \left\{\begin{array}{ccc}
         xe^{u+v}+2uv&=&1\\
ye^{u-v}-\dfrac{u}{1+v}&=&2x,
        \end{array}\right.
\end{eqnarray*}
detemina dues funcions $u(x,y)$ i $v(x,y)$ que satisfan $u(1,2)=v(1,2)=0$. Calculeu $\partial_x u(1,2)$
i $\partial_yv(1,2)$.

\newpage

\noindent
{\bf A Problemes, fer els exercicis $45$ i $48$:}

\vspace{0.5\baselineskip}
\noindent
{\bf EX 45.-}  Sigui $f(x,y,z)=(e^{2y}+e^{2z},e^{2x}-e^{2z}, x-y)$. Proveu que $f$ t\'e una inversa global i
calculeu la seva matriu derivada.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
{\bf EX 48.-}
El sistema
\begin{eqnarray*}
 \left\{\begin{array}{ccc}
        x+yv+e^{yu}+e^{xv}&=&3\\
y-xv+e^{xu}+e^{yv}&=&3,
        \end{array}\right.
\end{eqnarray*}
detemina dues funcions $u(x,y)$ i $v(x,y)$ que satisfan $u(1,1)=v(1,1)=0$. Sigui ara
$g(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$, calculeu $Dg(1,1)$ i $Dg^{-1}(0,0)$.

\newpage

\noindent
\textbf{EXTREMS RELATIUS} ($2$h T, $1$h P)

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
Considerem $f:\Omega\subset \R^n\rightarrow \R; x\rightarrow
f(x)$, $a\in\Omega$ obert, $f\in{\mathcal C}^2(\Omega)$

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
{\bf Definici\'o:}

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
\begin{itemize}
 \item Si $\exists\quad \epsilon>0\ni\forall x\in {\mathcal B}^n_{\epsilon}(a)\setminus \left\{0\right\}  \quad f(a)\geq f(x)$, direm que $a$ \'es
un m\`axim relatiu de $f$.
\item Si $\exists\quad \epsilon>0\ni\forall x\in {\mathcal B}^n_{\epsilon}(a)\setminus \left\{0\right\}  \quad f(a)\leq f(x)$, direm que $a$ \'es
un m{\'\i}nim relatiu de $f$.
\end{itemize}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
{\bf Proposici\'o:} $a$ extrem relatiu $\Longrightarrow$ $a$ punt
cr{\'\i}tic.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
PROVA: Usar l'aproximaci\'o lineal de Taylor.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Definici\'o:} $A$ matriu sim\`etrica $n\times n$, direm que \'es:
\begin{itemize}
 \item {\it Definida positiva} si tots els seus vap's s\'on estrictament positius $\Longleftrightarrow$  $\forall x\in \R^n\setminus \{0\}\quad xAx^T>0$.
\item {\it Definida negativa} si tots els seus vap's s\'on estrictament negatius $\Longleftrightarrow$  $\forall x\in \R^n\setminus \{0\}\quad xAx^T<0$.
\item {\it No definida} si no \'es ni definida positiva ni definida negativa.
\end{itemize}

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Proposici\'o:}
\begin{itemize}
 \item $a$ punt cr{\'\i}tic i $Hf(a)$ definida positiva $\Longrightarrow$ $a$ m{\'\i}nim relatiu.
\item $a$ punt cr{\'\i}tic i $Hf(a)$ definida negativa $\Longrightarrow$ $a$ m\`axim relatiu.
\end{itemize}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
PROVA: Usar l'aproximaci\'o quadr\` atica de Taylor.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Exercici:} Sigui $f:\R^n\rightarrow\R: x\rightarrow
f(x)=e^{-(1-||x||^2)^2}$. Demostreu que t\'e un m\'\i nim relatiu
en $0$ i que la hipersuperfice de nivell $||x||=1$ est\`a formada
per tots els m\`axims relatius de $f$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Observaci\'o:} NO tots el punts cr{\'\i}tics s\'on extrems
relatius. Exemple $(0,0)$ i $f(x,y)=x^2-y^2$. Fixem-nos que sobre
l'eix d'abcises l'origen \'es un m{\'\i}nim, en canvi sobre
el d'ordenades \'es un m\`axim. El mateix li passa a la funci\'o
$f(x,y)=x^4+y^4-4xy+1$ a l'origen. La Hessiana t\'e vaps $4$ i
$-4$, per tant no decideix. Sobre l'eix d'abcises l'origen \'es un
un m{\'\i}nim, en canvi sobre la recta $y=x$ \'es un m\`axim.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf Definici\'o:} Un punt cr{\'\i}tic $a$ t.q.~$\det Hf(a)\not=
0$ i $Hf(a)$ \'es no definida, direm que \'es un {\it punt de sella}.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Proposici\'o:} (Silvester-Jacobi) $A$ matriu sim\`etrica $n\times n$, direm que \'es:
\begin{itemize}
 \item  $A$ definida positiva $\Longleftrightarrow$ tots els seus menors s\'on estrictament positius.
\item $A$ definida negativa $\Longleftrightarrow$  tots els seus menors no s\'on zero i van alternant el signe comen\c cant per $-1$.
\end{itemize}

%{\bf Extrems absoluts}

%{\bf Teorema:} Donada $f:\Omega\subset\R^n\rightarrow \R$, amb $\Omega$ compacte i $f\in{\mathcal C}^0(\Omega)$, llavors $f$ sempre assoleix el

%seu m\`axim i m{\'\i}nim absoluts a $\Omega$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf SOBRE ELS EXTREMS ABSOLUTS:}

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
NOTA: Per motivar es pot proposar el problema de trencar una corda
en 2 trossos i formar un cercle amb un tro\c{c} i un quadrat amb
l'altre. I demanar per on s'ha de tallar la corda
per a que l'\`area total sigui m\`axima.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Proposici\'o:} Tota funci\'o cont{\'\i}nua en un compacte
(tancat i acotat) pren el seu m\`axim i m{\'\i}nim absoluts.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Com es troben?} Doncs, es busquen tots els m\`axims i
m{\'\i}nims relatius a l'interior del conjunt (buscant els punts
cr{\'\i}tics i miran si s\'on extrems), despr\'{e}s
es restringeix la funci\'o a la frontera del domini i es busquen
els m\`axims i m{\'\i}nims  a la frontera. Quan els tinguem tots (els
relatius i els de la frontera) es comparen
un a un i ja est\`a.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
\textbf{Exemple:} Considerem la funci\'o $f(x,y)=x^2-y^2$
restringida a $\bar{\mathcal B}_1^1(0,0)$. L'\`unic punt cr{\'\i}tic \'es
l'origen de coordenades on $f$ val zero.
Anem ara a mirar que passa a la frontera
$$\{(x,y): x^2+y^2=1\}.$$
Si restringim $f$ a aquest punts tenim $\bar{f}(x)=2x^2-1$ per
$x\in [-1,1]$. L'\'{u}nic punt cr{\'\i}tic a l'interior d'aquest
int\`erval \'es $x=0$, on $f$ val $-1$. Per\`o,
no hem acabat, finalment ens falta restringir $\bar{f}$ a
la frontera de $[-1,1]$, i.e., calcular $\bar{f}(\pm
1)=1$. Conclusi\'o: $f$ pren el seu m\`axim en $(\pm 1, 0)$ i el
seu m{\'\i}nim a $(0,\pm 1)$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf A Problemes fer els exercicis $53$ i $54$.}

\vspace{0,25\baselineskip}
\noindent
{\bf EX.~53.-} Per a la funci\'o $f(x,y)=x^2y+y^2x$ vegeu que
$(0,0)$ \'es un candidat a extrem relatiu per\`o que el m\`etode
del hessi\`a no permet caracteritzar-lo. A quina conclussi\'o
arribem si restringim els valors de $(x,y)$ als de la recta $y=x$?

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} $\nabla f(0,0)=(0,0)\Longrightarrow
x=y=0$. D'altra banda
\begin{displaymath}
Hf(0,0)=\left(\begin{array}{cc}
        0&0\\0&0\end{array}\right)
\end{displaymath}
i llavors el m\`etode del hessi\`a no ens permet caracteritzar el
punt. En canvi, sobre la recta $x=y$,
$f(x,x)=2x^3$, d'on es conclou que $(0,0)$ no \'{e}s cap
extrem de $f(x,y)$.
           % el punt $(0,0)$ \'es un punt d'inflexi\'o (no es ni
           % m\`axim ni m{\'\i}nim) $\Longrightarrow$ $(0,0)$ no
           % \'es extrem de $f(x,y)$.

\vspace{\baselineskip}
\noindent
{\bf EX.~54.-} Considereu la funci\'o $f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2)$.
\begin{enumerate}[1.]
\item Si restringim els valors de $(x,y)$ als d'una recta passant
  pel $(0,0)$, vegeu que l'origen \'es un m\'{\i}nim relatiu de la
  funci\'o amb independ\`encia de la recta triada.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} Agafant $y=\lambda x$, $\lambda\in\R$ qualsevol, s'obt\'{e}:
\begin{displaymath}
F(x,\lambda x)=x^2(\lambda -x)(\lambda -3x)\sim \lambda^2x^2
\end{displaymath}
(per $x\cong 0$), la qual cosa implica que $(0,0)$ \'es un m{\'\i}nim relatiu
sobre qualsevol recta que passi per l'origen.
\item Discutiu si el resultat de l'apartat~(a) us permet concloure que $f(x,y)$,
com a funci\'o de dues variables,  t\'e un m\'{\i}nim relatiu en el $(0,0)$.

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} No, ja que:
\begin{displaymath}
Hf(0,0)=\left(\begin{array}{cc}
               0&0\\0&2
             \end{array}\right).
\end{displaymath}
\item Estudieu si l'origen \'es o no un m\'{\i}nim relatiu si
  restringim els valors de $(x,y)$ als d'una par\`abola de la
  forma $y=ax^2$ i refineu la discussi\'o de l'apartat~(2).

\vspace{0,5\baselineskip}
\noindent
\emph{Soluci\'{o}.} Restringint la funci\'{o} sobre la par\`{a}bola resulta:
$f(x,ax)=x^4(a-1)(a-3)$; per tant,  quan $1<a<3$ $(0,0)$, \'es un
m\`axim relatiu $\Longrightarrow$  $(0,0)$ no \'es cap extrem de $f(x,y)$.
\end{enumerate}


\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
