%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Tema 2. Integració en varies varibles  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper,twoside,12pt]{exam}
\printanswers
\usepackage{problemes}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[font=footnotesize]{caption}

\def\assignatura{C\`{a}lcul II}

\def\codi{240022}
\def\GrauMaster{GETI}
\def\EscolaFacultat{ETSEIB}

\hypersetup{
	pdfauthor   = {Equip Docent C\'{a}lcul II},
	pdftitle    = {Problemes Tema 2: Integraci\'o en varies variables}
	pdfsubject  = {Problemes}
}

\renewcommand{\solutiontitle}%
{\noindent\textbf{Solució:}\enspace}

\pagestyle{head}
\firstpageheader{\EscolaFacultat}%
		{\assignatura~(\codi)}%
		{\thepage}%
\firstpageheadrule

\runningheader{}{\thesection.~\currentname}{\thepage}
\runningheadrule

\bracketedpoints
\unframedsolutions

\lstdefinestyle{myc++}{
	language=[11]C++,
  	frame=single,
	numbers=left,
	numberstyle=\small,
%	framexleftmargin=15pt,
%	numbersep=8pt,
	captionpos=b,
	showstringspaces=flase,
	escapeinside={(*}{*)},
	mathescape
}

%\captionsetup[lstlisting]{font=footnotesize}

\renewcommand{\lstlistingname}{Llistat}% Listing -> Llistat
\renewcommand{\lstlistlistingname}%
{Índex dels \lstlistingname s}% List of Listings -> Índex dels llistats

\newcommand{\includecode}[2][c]
 {\lstinputlisting[caption=#2, escapechar=,
   style=custom#1]{#2}<!---->}

% Example
% \includecode{sched.c}
% \includecode[asm]{sched.s}

\newcommand{\osnp}[1]{\oldstyle{\np{#1}}}
\npdecimalsign{.}
\npthousandsep{\,}
\npproductsign{\times}%

\renewcommand{\choicelabel}{(\roman{choice})}

\begin{document}
\subsection*{Problema 23. Apartats (c), (d), (e)}

\begin{questions}
	\setcounter{question}{22}
%--------------------------------- Problema 23 (c,d,e) ----------------------- 
\question\label{prob:23_c_d_e}
Useu coordenades cartesianes, cilíndriques o esfèriques (o bé el principi de
Cavalieri) per a calcular el volum  dels dominis de $\R^{3}$ limitades per les
superfícies que s'indiquen.
\begin{parts}
	\setcounter{partno}{2}
	\part $z^{2} = x^{2} + y^{2}$, $z = x^{2} + y^{2}$ ($z\ge 0$).
	\part Part de l'esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ que és exterior
	al cilindre $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ ($a > b > 0$).
	\part $z = x^{2} - 4 x + 1$, $1-z = x^{2} + y^{2}$.
\end{parts}
\begin{solution}
\begin{parts}
\setcounter{partno}{2}
\part Busquem el volum, $m(B)$, del domini $B$ limitat ``per sobre'' pel con
$z^{2} = x^{2} + y^{2}$, amb $z \ge 0$, i ``per sota'' pel paraboloide circular $z
= x^{2} + y^{2}$.  En coordenades cilíndriques, aquesta regió la podem
parametritzar com: $0\le \theta\le 2\pi$, $0 \le r\le 1$, $r^{2} \le z \le r$, 
Aleshores, 
\begin{displaymath}
	m(B) = \int_{0}^{2\pi}\rmd \theta
	\int_{0}^{1} r\rmd r\int_{r^{2}}^{r}\rmd z
	= 2\pi\int_{0}^{1} r\left( 1 - r^{2} \right) \rmd r
	= 2\pi \left.\left( \dfrac{r^{3}}{3} - \dfrac{r^{4}}{4}\right)
		\right|_{0}^{1} = \dfrac{\pi}{6}.
\end{displaymath}
\part En coordenades cilíndriques el domini $B$ descrit a l'enunciat es pot
parametritzar mitjançant les desigualtats: 
\begin{displaymath}
B: 0\le\theta\le 2\pi,\quad b\le r\le a,\quad 0\le z\le \sqrt{a^{2} -
r^{2}}.
\end{displaymath}
Llavors, el volum corresponent, $m(B)$, resulta
\begin{align*}
	m(B) &= 8 \int_{0}^{\pi/4} \rmd\theta \int_{b}^{a} r\rmd r
	\int_{0}^{\sqrt{a^{2} - r^{2}}}\!\!\!\rmd z =
		4\pi\int_{b}^{a} r\sqrt{a^{2} - r^{2}}\,\rmd r = 
		\dfrac{4\pi}{3}\left.\left[-\left(a^{2} - r^{2}\right)\right. 
				\right|_{r=b}^{r=a}\\
	     &= \frac{4\pi}{3}\left(a^{2} -
		b^{2}\right)^{3/2}.
\end{align*}
\part La regió definida per les superfícies de l'enunciat està limitada
``per sobre'' pel paraboloide circular $z = 1 - x^{2} - y^{2}$ i 
``per sota'' pel cilindre parabòlic $z = x^{2} - 4x + 1$. 

\vspace{\baselineskip}
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
\includegraphics[scale=0.8]{T2FigP23e-crop.pdf}
\captionof{figure}{Domini $B$ limitat per les 
	superfícies $z = x^{2} - 4x + 1$,
	$z = 1- x^{2} - y^{2}$.
}
\label{fig:T2P23e}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{0.5\textwidth}
La projecció sobre el pla $z = 0$ de la regió, $B$, definida per les 
dues superfícies (vegeu la figura~\ref{fig:T2P23e}) ve donada per l'e\lgem ipse
$\mathcal{E}:\, (x-1)^{2} + y^{2}/2 \le 1.$
%\begin{displaymath}
%y\mathcal{E}:\, (x-1)^{2} + \dfrac{y^{2}}{2} \le
%1.
%\end{displaymath}
Amb això, 
\begin{align}
	m(B) &= \iint_{\mathcal{E}}\rmd x \rmd y
	\int_{x^{2} - 4x + 1}^{1 - x^{2} - y^{2}}\!\!
	\rmd z\nonumber\\
	     &= -2\iint_{\mathcal{E}} \left( (x-1)^{2}
	     + \dfrac{y^{2}}{2} -1\right)\rmd x\rmd y
	     \label{eq:IntP23e}
\end{align}
Fent servir les coordenades polars adaptades,
$x = 1 + r\cos\theta$, $y = \sqrt{2} r\sin\theta$, la
integral~\eqref{eq:IntP23e} es pot reescriure com
\begin{align*}
	m(B) &= -2\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\!\!\rmd\theta 
	\int_{0}^{1}\! r\left(r^{2} -1\right)\rmd r
	=\pi\sqrt{2}.
\end{align*}
%	\\
%	     &= -2\sqrt{2}\pi\left.\left(\frac{r^{4}}{4} -\frac{r^{2}}{2}
%				     \right)\right|_{0}^{1}
%				     = \pi\sqrt{2}.
%\end{align*}
%
%\begin{displaymath}
%	x = 1 + r\cos\theta, \qquad y = \sqrt{2} r\sin\theta,\quad z = z
%\end{displaymath}
\end{minipage}
\end{parts}
\end{solution}

\end{questions}


%-------------------------------- Referències --------------------------------
%\bibliographystyle{plain}
%\nocite{*}
%\bibliography{alnRefs}

\end{document}
